用户：Antti Karttunen/Speculations/On the fixed points of A071661

这是我的推测/证明系列中的另一页。这旨在清理http://www.iki.fi/kartturi/matikka/Nekomorphisms/About_A126312.htm2003年编写，2006年修订。

序言

下面的引理0是由指向我的沃特·梅森（用稍微更具体的术语），而且这是Garsia-Milne对合原理.

这与序列有关A126312号,A080070型（尤其是相关的插图)和A123050型.

唐纳德·克努特（Donald Knuth），在他的《史前4a：生成所有树》（Pre-Fascicle 4a：Generating All Trees）中（我直到2003年才记得读过，无论如何，我在提交时都不知道A079438号和A080070型)，在练习11（第31页）第7.2.1.6节中问道：

如果F类是一片森林，它结合 F类^R（右）通过从左到右的镜面反射获得。

（即，博士,即*A057164号在我们的注释中），以及练习12（在同一页上）：

如果F类是一片森林，它转置 F类^T型是通过左右交换获得二叉树的森林二叉树中的链接表示F类.

（即，佛罗里达州,即*A057163号在我们的注释中），以及练习12（在同一页上）：

在练习14（第32页）中：

查找所有标记的林F类这样的话F类^RT公司=F^信托收据.

在练习17中（在同一页上）：

描述所有特征未标记的森林F类这样的话F类^RT公司=英尺^信托收据（见练习14。）

回答第48页练习17：

看来我们不可能F类^RT公司=F^信托收据除非F=F^R（右）.在这种假设下，F类^RT公司=F^信托收据当且仅当F类和F类^R（右）都是自我结合。

大卫·卡伦发现了这类森林的两个无限家族参数i、 j，k>=0.
（此处未描述树木，但可以找到两棵较小的树在我2003年1月24日的画作第11页的顶部：http://oies.org/a079438.pdf,另一科的第一批标本可以在顶部找到第18页。--阿拉斯加州）
...
Knuth接着问道：还有其他情况吗？

也就是说，在我的注释中第个 = 佛罗里达州 o个 博士 o个 佛罗里达州(A069787号 = A057163号o个A057164号o（o）A057163号)条件医生（T） = 第d（T）是指和Knuth的一样F类^RT公司=F^信托收据.

Knuths“……当且仅当F类和F类^R（右）都是自我结合。"意味着F类对称（相对于A057164号),即F=F^R（右），在我们的符号中医生（T） = 医生（T）.

确定的固定点A071661号

%%关于加泰罗尼亚双射的几个引理和猜想A057505号/A057506号,%即Donaghey地图M，如%R.Donaghey，加泰罗尼亚树上的自形和包围，%《组合理论》，B辑，29（1980），75-90。%%Antti Karttunen，2003年1月，网址：http://www.iki.fi/~卡图里/%2006年6月12日修订。%%这里详细阐述了一些定义和条件%使用Prolog-code。%%这适用于GNU prolog网址：http://www.gnu.org/software/prolog%%加载方式：%咨询（'c:\\matikka\\Nekomorphisms\\a079438p.txt'）。% %fl实现平面二叉树的映射(A057163号):%（fl代表翻转）fl（[]，[]）。fl（[L1|R1]，[L2|R2]）：-fl（L1、R2），fl（R1，L2）。%dr实现平面通用树的映射(A057164号):%（dr代表deepreverse）%请注意Prolog中可能出现的双重用法：%在谓词扩展中，我们使用dr（L，R）来反映括号%出现在实例化变量L中，并存储结果%到非标准化变量R中，%但另一次，我们使用dr（T，T）检查实例化的%变量T包含对称括号/通用树。dr（[]，[]）。dr（[L1|R1]，Z）：-dr（L1、L2），dr（R1、R2），追加（R2，[L2]，Z）。%%append由Prolog提供，但可以定义为：%%追加（[]，B，B）。%B追加到空列表的末尾=B。（B也可以为空）。%%追加（[A1|AR]，B，[A1|CR]）：-%追加（AR、B、CR）。%%工作原理如下：%% | ?- 追加（[a，b，c]，[]，Z）。% %Z=[a，b，c]% %是的% | ?- 追加（[a，b，c]，[1,2,3,4]，Z）。% %Z=[a，b，c，1,2,3,4]% %是的% | ?- 追加（A，[1,2,3,4]，[A，b，c，1,2,3,4]）。% %A=[A，b，c]？ ;% %没有% | ?- 追加（[a，b]，b，[a，b，c，1,2,3,4]）。% %B=【c，1，2，3，4】% %是的%%以下列出了串联为[A，B，c]的所有列表A&B：% | ?- 追加（A，B，[A，B，c]）。% %A=[]%B=[a，B，c]？ ;% %A=【A】%B=[B，c]？ ;% %A=【A，b】%B=【c】？ ;% %A=【A、b、c】%B=[]？ ;% %没有% | ?- % symmetric_trees_with_primitive_and_right_slanting_zigzag_tree（[[]|R]）：-延伸（[]，R）。延伸（L，[R]）：-dr（左，右），fl（[R]，dr（T，T）。延伸（L，[T|[R]]）：-dr（左，右），fl（[R]，L2），延伸（L2，FT），fl（英尺，英尺），dr（T，T）。%%如果我们有无限的智慧，即无限的堆栈，%和一台速度无限快的计算机，下面将给出%所有解决方案：% % | ?- symmetric_trees_with_primitive_and_right_slanting_zigzag_tree（Z）。% %Z=[[]，[]]？ ;% %Z=[[]、[[]，[]]、[]]？ ;% %Z=[[]，[[[]，[]]，[[]、[[]]，[]]、[[]、[]]、[]]？ ;%%但因为我们生活在现实世界中，所以会出现堆栈溢出%在第三种解决方案之后。%已知的三个锯齿树是原始的圆括号%和向右倾斜的是这样的：% (() ()), (() (() ()) ()), (() ((() ()) (() (()) ()) (() ())) ())%顺便提一下，尺寸为2、5和14。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%引理0:%%如果我们有两个对合A和B（在一些抽象群G中），%则它们的组合在一些有限集X分区上的AB=A o B作用%它（集合X）表示不同长度的不同循环。%（好吧，我将尽可能全面地介绍这一点。%我不知道我们是否也需要规定%他们没有共同的固定点。%无论如何，如果这个结果真的是这样的话，我也不会感到惊讶%在群论中有明确的表述。）%在这些循环中，我们可以说：%%A）包含A的不动点的奇数循环包含一个不动点%也是B的。%B的固定点（c+1）/2比A的固定点远，%其中c是循环的长度。%%B）在偶数循环中，如果有A的固定点或B的固定点，%它们成对出现，坐在对面（都是%相同类型）。%%（一个周期中可以有两个以上的固定点吗？）%%%证明：%%对于奇数情况，请考虑下图：%%t0安s0%       ------%B/\B型%     /        \%s2/\t1秒%    \          /%A\/A公司%\B类/%       ------%t2 s1%%其中，如果没有B或A的固定点，%我们有两个三个独立的周期%（我们定义BA=B o A）。%%t1=BA（t0），t2=BA（t1），t0=BA（t 2）%以及%s1=BA（s0），s2=BA（s1），s0=BA（s2）%%然而，如果我们规定至少有%一个元件由A固定，则无损失%一般来说，我们可以假设它是t0，%因此s0＝t0。%因此t1＝BA（t0）＝BA（s0）＝s2%t2=BA（t1）=BA（s2）=s1，%且t0=BA（t2）=BA（s1）=s0%（因此，我们毫无矛盾地绕了一圈。）%这意味着不是两个不同的3周期%我们现在有一个3周期：（t0=s0，t1=s2，t2=s1）%其中第一个元素由A固定，%最后一个元素由B固定。%%%%对于偶数情况，请考虑下图：%%t0 A s0%        ------%B/\B型%      /        \%第3页/\t1页%    |            |%A||A（A）%    |            |%t3||s1%     \          /%B\/B（备份）%\A（A）/%        ------%秒2 t2%%同样，我们可能有两个不同的4周期：%t1=BA（t0），t2=BA（t1），t3=BA（t 2），t0=BA（3）。%和%s1=BA（s0），s2=BA（s1），s3=BA（s2），s0=BA（s3）。%%然而，如果我们规定至少有%元件由A固定，则不会损失%一般来说，我们可以假设它是t0，%因此s0＝t0。%因此t1=BA（t0）=BA（s0）=s3%以及t2＝BA（t1）＝BA（s3）＝s2，%且t3=BA（t2）=BA（s2）=s1%且t0=BA（t3）=BA（s1）=s0%（因此，我们再次毫无矛盾地绕了一圈。）%这意味着不是两个不同的4周期%我们现在有一个4周期：（t0=s0，t1=s3，t2=s2，t3=s1）%其中第一元件由A固定，%和循环另一侧的元素%也由A固定。%%或者，我们可以等式，比如s0=t1，这意味着%t1被B固定，然后我们得到类似的结果，%相反的元素t3也必须由B固定。%%这两个图都适用于任何多边形%分别为2（2n+1）和2（2n）个元素%同样的结果也存在。量化宽松政策。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%首先我们证明了fl（t）！=dr（t）适用于除%空树和一棵树的平凡情形%（即。A057163号（n） 永远不会A057164号（n） ，当n>1）%也就是说，一棵大于一条边的普通树不可能是%通过翻转其底层二叉树表示来反映，%反之亦然，通过反射反射的二叉树%相应的通用树。%%在下图中，字母A、B等表示%原始树中的各种子树（视为二进制%树）和A'、B'。。。指示相应的子树%用fl递归翻转(A057163号)和A~、B~相同%用dr递归深度遍历子树(A057164号).%请注意，一般来说，我们既不能假设也不能排除%子树左侧标记为A的可能性%手端树等于或不等于标记的子树%右侧树上的A'或A~。%然而，我们可以确定它们的重量是相同的，%因为自同构不会改变树的大小。%%%自同构fl翻转（反映）%通用树：%%A B B“A”%  \/      -->     \/%%自同构dr反映了一般树，即深反转%相应的通用括号。%我们还展示了同一棵树如何处理bin-tree%翻转（向下箭头）。%%A（）dr A~（）%    \/    -->    \/%%|fl（法语）%v（v）%这里的结果仅在%（）A'平凡情况A=（）。%    \/%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%B（）dr A~（）%A \/-->B~\/%   \/             \/%%|fl（法语）%v（v）%%（）B’这里的结果永远不会相等%\/A'，因为%\/bin-tree翻转树大一个节点%的左侧子树%gen-tree反射树。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%C（）A~（）%B \/dr B~\/%A \/-->C~\/%   \/             \/%%|fl（法语）%v（v）%%（）C'在这里，结果永远不会相等%\/B'，因为左侧子树（B'+C'+（））%\/A’的bin树翻转树的大小为（B）+1个节点%\/大于左侧子树（仅C~）%gen-tree反射树的。%%等等。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%引理1:%自同构A057505号它是由%自同构A057163号&A057164号，即。A057505号（n）=A057164号(A057163号（n） ）%和它的逆函数，A057506号=A057163号o个A057164号,%永远不要在大小为0和1的普通树之后修复任何树。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%一般来说，对于度>1的一般树，操作dr会发生变化%相应二叉树的平衡如下：%%U（）L（）%      \/               \/%      .    博士。%     .     --->       .%左侧。美国。%  \/               \/%%也就是说，如果余额首先为：%重量（L）|重量（R）%其中R表示子树的整个右侧%（即排除L和根节点），然后在dr操作之后%它是：%重量（U）|（重量（R）-wt（U）+重量（L））%这里U是相应通用的最右边的子树%树。（最右边的小括号）。%因此，仅当wt（U）=wt（L）时，平衡保持不变。%因为在对称二叉树（大小>1）中L不能%和U一样大，我们得到%%引理2：%如果树T作为二叉树是对称的，%如果大小>1，则dr（T）作为二叉树是非对称的。%（这意味着？？？或不管dr（T）=T还是dr（T）！=T） ●●●●。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%我们感兴趣的是2个循环A057505号/A057506号.%同样，我们只考虑大于一个节点的树。%%在下图中，A&C形成了一个2循环，如下所示%%A类=A057505号（C） &C（&C）=A057506号（A）%（或A=A057506号（C） &C（&C）=A057505号（A） ）%%B&D也形成了一个2周期，类似地：%%B类=A057505号（D） &D（&D）=A057506号（B）%（或B=A057506号（D） &D（&D）=A057505号（B） ）%%注意，fl和dr都是对合%前者仅修复对称二叉树，而%后者只修复对称的一般树，%而且他们从不修复同一棵树（对于大于1的树）。%从引理1可以立即看出%A！=C、 和B！=D（尺寸>1）。% %A<--fl-->B%%     ^            ^%     |            |%dr dr医生%     |            |%V伏%%D<--fl-->C%%情况A=B但C！=D导致矛盾，因为%那么我们将得到C=dr（B）=dr。%同样的矛盾分别发生在%情况C=D，但A！=B。%%类似地，如果A=D，但B！=C类%（或分别为B=C，但A！=D）%会导致矛盾%B=流量（A）=流量（D）=流量（C）%%A=B和C=D的情况，即两个不同的对称%二叉树与dr相互转换，%被引理2排除。%%所以我们剩下的事实是%A！=B和C！=D类%和%如果A不等于D，那么B也必须不等于C。%%我们想知道这是什么条件%我们打完一轮后回到了同一棵树上%上图，即%A=dr（fl（dr（fl（A））））%%此条件相当于条件：%dr（A）=fl（dr（fl（A%%作文写作(A057163号o个A057164号o个A057163号)%是加泰罗尼亚双射A069787号，已调用%“car/cdr翻转深倒车共轭”。%%它的工作原理和dr完全一样，只是镜像方式不同。%在下图中，我们称之为rd.A^代表rd（A）。%%（）第A（）A^%    \/    -->    \/%%（）B第（）A^%\/A-->\/B^%    \/            \/%%（）C第（）A条^%\/B-->\/B^%\/空调^%     \/            \/%%等等。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%在什么条件下rd（T）=dr（T）？%%如果树是一般形式的，我们有：%%                       %（）U V（）L~（）%  \ /     \/               \/%   .      .    博士。%左右-->。%     .  .             V~。%      \/               \/% %      |%|第%      |%V（V）%%%（）R^%  \/%   .%    .%     .  单位^%      \/%%其中L和R表示整个左侧和右侧%原始树的子树。%现在，这两项操作的平衡变化如下：%%wt（L）| wt（R）---DR-->wt（V）|%---RD-->wt（L）+wt（R）-wt（U）|wt（U）%%和等分左手（或右手）边%在这两种情况下，我们都得到了方程：%%wt（U）+wt（V）=wt（L）+wt（R）%%这显然是不可能的，因为%wt（U）<wt（L）和wt（V）<wt（R）。%（部分小于整体）。%%因此，如果rd（T）=dr（T），则%二叉树的左边必须是（）（即%度=1棵普通树）或左侧%二叉树的%最左边的分支为\）的树。后者意味着%最右边的分支也是空的（/），因为%通过对称性，关于节点A的所有陈述%在上图中也可以说明节点D，%并以镜像方式说明了节点D。%（反过来也可以说明节点A）。%[Mutoile PAREMMIN！]%%%                       %        ()  ()           ()  ()%W/（W \/）\/%         \.    W~博士。%D---->\D~%    ()  .             () .%      \/               \/% %      |%|第%      |%V（V）%%     %D类^%    ()  . %      \/%%现在，用同样的方法检查D的右手子树的平衡%（再次划分为L&R两半，W是D的倒数第二分支，%如果分支机构总数超过三家）。%                       %（）U（）（）（，）（）%\/W\/L~\/%   .     \.    医生\。%左右-->。%     .  .             W~。%      \/               \/% %      |%|第%      |%V（V）%%%（）R^%  \/%   .%    .%     .  单位^%      \/%%wt（L）| wt（R）---DR-->wt（W）|%---RD-->wt（L）+wt（R）-wt（U）|wt（U）%%R的左手边子树应该是（），%或者R中只有一个顶级（生成树）分支，即（）。%在后一种情况下，方程式为：%wt（L）| wt（1）---DR-->wt（L）|（1）%---RD-->重量（L）+（1）-wt（U）|重量（U）%%因此，wt（U）=1，U=（（）。())%                       %（）U%  \ /                    %   .           博士%L（）（）-->（）（%     . \/             L（左）~\/%      \/               \/% %      |%|第%      |%V（V）%%% () ()%  \/%   .%    .%     .  单位^%      \/%引理XXX：%%我认为这种方法行不通，因为有很多例子%带有LUKASIEWICZ单词3130100010的树，在使用时%收件人A069787号（rd）将有一个L字3130010100，其中%与[3,2,3,1,0]相同级别的总和。%%%当且仅当dr（T）=T且rd（T）=T时。%

……等等。试图证明的后一部分似乎没有任何进展。相反，它是由一个简单的事实解决的：博士（即*A057164号)属于那些保留A127301号，即A127301号(A057164号（n） ）=A127301号（n） 对于所有n，因为deep-reverse保留了一般树的非定向形式。相反，应该很容易看到第个，即*A069787号，仅当A127301号(A069787号（n） ）=A127301号（n） ，是什么时候A069787号（n） =n，也就是说，当它修复n时。就在今天，2012年8月23日，当我开始重新思考这个老问题时，我发现了这一点。（很遗憾，我没有发明/发现A127301号至2007年…）

循环长度之间的对应关系A057505号和A071661号

我记得以下信件是基于等价物

A071661号（n）=A083929号(A071663号(A083930号（n） ））

和

A071662号=A083929号(A071664号(A083930号（n） ）。

但我真的不记得，它们是否真的在Donaghey的论文中得到了证明或者没有。所以，到目前为止，一切都要加点盐。

% %具有n条边tpt-同构子集的一般树%（即具有2n+1个节点的二叉树，2n+1条边的一般树%或2n条边）。% %周期长度调用次数A057505号（右前）%第页，共页A071661号（RF ^2）需要四处走动吗？%需要绕过=3*调用了多少次A071663号%循环？（RF ^3）需要循环吗？%（即RF-循环的大小%其中必须是同构tpt-tree）%%条件应该是，如果有一个长度的循环%在n棵边缘树中选择X，则应至少有一棵%2n+1边树中某个长度Y的循环，其中%如下所示：X/gcd（X，2）=Y/gcd（Y，3）[注意对称性！]%%请注意，对于给定的X，Y可以有多个解决方案：%例如。%2/gcd（2,2）=1=3/gcd（3,3）%3/gcd（3,2）=3=9/gcd（9,3）%4/gcd（4,2）=2=2/gcd（2,3）=6/gcd（6,3）%5/gcd（5,2）=5=5/gcd（5,3）=15/gcd（15,3）%6/gcd（6,2）=3=9/gcd（9,3）%8/gcd（8,2）=4=4/gcd（4,3）=12/gcd（12,3）%9/gcd（9.2）=9=27/gcd（27.3）%10/gcd（10,2）=5=5/gcd（5,3）=15/gcd（15,3）%12/gcd（12,2）=6=18/gcd（18,3）%%（幸运的是，我们不需要考虑右侧的1个循环，%因为他们不在）。%