莫利的奇迹

一百多年前的1899年，法兰克·莫雷，当时哈弗福德学院数学教授，发现了一个令人惊讶的结果，它以“莫利的奇迹莫利的奇妙定理表明

任何三角形的角的相邻三矢量的三个交点构成一个等边三角形。

下面的小程序用于证明，实际上，无论给定三角形的形状如何，莫利三角形总是等边的。

2015年1月22日，创建日期：GeoGebra公司

莫利的原始证明源于他关于与给定数量直线相切的代数曲线的结果。与数学中的通常情况一样，人们曾多次尝试寻找一个简单的初等证明，以满足掌握定理陈述所需的知识水平和熟练程度。最简单的证明从等边三角形开始向后进行。它们在后续步骤中有所不同。大多数这样的证明都突出了配置的一些附加特性，但正如一些最琐碎的证明令人信服地证明的那样，使事情变得不必要地复杂。

在给出几个向后的这是一个直接的证明，虽然逻辑上完全透明，但需要一些高中三角。

证据#1

很可能，这一证据首次出现在A.Letac中，解（莫利三角形）《第490号问题》，《狮身人面像》，9（1939）46。我在一本俄文书D.O.Shklyarsky、N.N.Chentsov、Y.M.Yaglom、，初等数学选题与定理第2节第97题，莫斯科，1952年，也在数学的艺术B.Bollobás著（剑桥大学出版社，2006年，第126-127页）

证明的想法相当简单。

  1. 在三角形$ARB、$$BPC、$$CQA、$中，我们知道基-$AB、$$BC、$和$AC$以及相邻的角。这个正弦定律然后生成段$AR、$$BR、$$BP、$$CP、$$CQ、$和$AQ$

  2. 接下来我们应用余弦定律三角形$AQR、$$BPR、$和$CPQ$，以确定（并比较）段$QR、$$PR、$和$PQ.$它们相等的事实证明了这个定理。

为了简单起见，让（角度）$A=3\alpha，$$B=3\beta，$和$C=3\gamma.$这意味着$\alpha+\beta+\gamma=60^{\circ}.$此外，假设围绕$\Delta ABC$的圆半径等于$1，$we得到$AB=2\sin（3\gamma），$$BC=2\sin$

现在考虑$\Delta BPC.$由正弦定律,

$\开始{align}\显示样式\压裂{BP}{\sin（\gamma）}&=\frac{BC}{\sin（180^{\circ}-\beta-\gamma）}\\&=2\frac{\sin（3\alpha）}{\sin（beta+\gamma）}\\&=2\frac{\sin（3\alpha）}{\sin。\结束{对齐}$

因此，$\displaystyle BP=2\frac{\sin（3\alpha）\sin（\gamma）}{\sin要简化表达式，请注意

$\开始{align}\sin（3\alpha）&=3\sin（\alpha）-4\sin^{3}（\alpha）\\&=4\sin（\alpha）[（\sqrt{3}/2）^{2}-\sin^{2{（\alpha）]\\&=4\sin（\alpha）[\sin^{2}（60^{\circ}）-\sin^}2}\\&=4\sin（\alpha）（\sin（60^{\circ}）+\sin（\ alpha\\&=4\sin（\alpha）2\sin[（60^｛\circ｝+\alpha）/2]\cos[（60^｛\circ｝-\alpha）/2]2\sin[（60^｛\circ｝-\alpha）/2]\cos[（60^｛\circ｝+\alpha）/2]\\&=4\sin（\alpha）\sin（60^{\circ}+\alpha）\sin。\结束{对齐}$

收获了这一努力的成果，

$BP=8\sin（\alpha）\sin（\gamma）\sin（60^{\circ}+\alpha.）$

同样，

$BR=8\sin（\gamma）\sin（\alpha）\sin（60^{\circ}+\gamma.）$

有两种方法可以继续进行第二步。上述参考中使用的传统方法调用余弦定律最近的一次，由于Leo Giugiuc，利用了正弦定律.我继续使用传统的证明，而Leo的证明应该是单独处理.

我们在$\Delta BPR中引用余弦定律：$

$PR^｛2｝=BP^｛2｝+BR^｛2｝-2 BP\cdot BR\cos（β）$

从哪里

$PR^{2}=64\sin^{2{（\alpha）\sin^}2}（\gamma）[\sin^{2neneneep（60^{\circ}+\alpha）+\sin^_2}（60^}\circ{+\gamma）-2\sin$

但是请注意，$（60^{\circ}+\alpha）+（60^}\circ{+\gamma）+\beta=180^{\circ}.$因此，存在一个三角形，其角度为$（60^{circ}+\alpha）、$$（60_{circ{+\gamma）、$和$\beta.$事实上，有一整套类似的三角形具有这些角度。从这个系列中，选择外接半径等于$1$的那一个（然后，如上所述，通过正弦定律，其边的形状非常简单。）在该三角形中，应用余弦定律:

$\sin^{2}（\beta）=\sin^}2}$

这给了我们

$PR=8\sin（α）\sin（β）\sin$

在$\alpha、$$\beta、$和$\gamma.$中对称的表达式$QR$和$PQ$类似地被发现等于相同的表达式。因此，$PR=PQ=QR$


  • 莫利的奇迹

    论莫利及其定理

    1. 涂鸦与奇迹
    2. 莫利对事件的追求
    3. 线条、圆圈及其他
    4. 论动机与理解
    5. 看和看

    反向证明

    1. J.Conway的证据
    2. D.J.Newman的证据
    3. B.博洛巴斯的证明
    4. G.Zsolt Kiss的证明
    5. B.Stonebridge的反向证明
    6. Morley的等边线，Spiridon A.Kuruklis的证明
    7. J.Arioni对Morley定理的证明

    三角证明

    1. Bankoff的证明
    2. B.Bollobás的三角证明
    3. R.J.Webster证明
    4. 基于向量的Morley三扇形定理证明
    5. L.Giugiuc对Morley定理的证明
    6. Morley定理的Dijkstra证明

    合成证据

    1. 另一个证据
    2. Nikos Dergiades的证明
    3. M.T.Naraniengar的证据
    4. 意外变量
    5. B.Stonebridge和B.Millar的证明
    6. B.斯通布里奇证明
    7. 罗杰·史密斯证明
    8. H.D.Grossman证明
    9. H.Shutrick证明
    10. 莫利定理的原泰勒和马尔证明
    11. 泰勒和马尔的证明——R.A.约翰逊版本
    12. 莫利定理：Roger Smyth的第二证明
    13. A.Robson证明

    代数证明

    1. 莫利的重演和更多，阿兰·康纳斯的证明

    无效的证明

    1. Bankoff难题
    2. Nolan L Aljaddou证明
    3. 莫利定理：一个需要修正的证明

    相关材料
    阅读更多。。。

  • 等边三角形和3-4-5三角形
  • 等边三角形的锈罗盘构造
  • 平行线上的等边三角形
  • 平行线上的等边三角形II
  • 三角形何时等边？
  • 维维亚尼定理
  • 维维亚尼定理（PWW）
  • 托尼·福斯特对维维亚尼定理的证明
  • 等腰三角形中的Viviani
  • 维维亚尼（Viviani by Vectors）
  • 斜面Viviani
  • 残疾人Viviani
  • 三角形分类
  • 拿破仑定理
  • 等边三角形中的平方和
  • 等角多边形的一个性质
  • 等腰三角形和等边三角形中的不动点
  • 通过等边三角形顶点的平行线

    • |联系人| |首页| |目录| |几何图形|

    版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼

    • 71683142