法格纳诺的问题

1775年，法格纳诺提出了以下问题

将最小周长的三角形刻在给定的锐角三角形中。

法格纳诺的原始解决方案使用了微积分。但是，一旦知道了答案，就发现了几个纯粹的几何解。有两种解决方案最常被引用。我稍后会添加解决方案。在那之前，玩一下小程序，看看你能不能猜出这些东西是关于什么的。

H.A.Schwarz的解决方案

在其边缘重复反射ΔABC 5次。注意，AB侧的最终位置与其原始位置平行（方向也保持不变）

截至2018年，任何浏览器都不支持Java插件(了解更多信息). 这个Wolfram演示,法格纳诺的问题，显示相同或类似主题的项目，但与原始Java小程序不同，名为“Napier”。最初给出的指令可能不再精确对应。


收回那个正三角形具有以下属性∠AHb条H（H）c=∠CHb条H（H）一,同样，脚H处的角度一和Hc因此，H的反射一H（H）b条AC侧是H的延续b条H（H）c反之亦然。

现在先在AC中反射ΔABC，然后在BC的（新位置）中反射，依此类推，如上所示。这六个全等三角形形成一个链状形状，以边AB开始，以线段结束，该线段是边AB经过5次反射后的位置。这也表示为AB。两段AB平行。（第一次反射将AB沿槽逆时针旋转两次∠A；第二次反射使AB逆时针旋转二次∠B，然后AB保持静止，顺时针旋转两个∠A，最后顺时针旋转二个∠B。）

让我们看看由于5次反射，内接三角形发生了什么。因为镜像特性在正三角形中，正三角形的边延伸成一条直线HcH（H）c平行于两条直线AA和BB。因此，所有三条直线都测量了正三角形的两个周长。任何其他三角形RQP的边将在两个R点之间形成一条虚线。折线RR比直线RR长，直线RR与H的长度相同cH（H）c这表明正三角形解决了Fagnano的问题。

这个解决方案是唯一的，因为任何周长最小的三角形都应该具有镜像特性。正如我们所知，镜像特性是正三角形的一个特征。

L.Fejér的解

在AC和AB中反射点P以获得P'和P''。ΔPQR的周长等于总和

P'Q+QR+RP“

因此，在所有具有固定顶点P的内接三角形中，顶点Q和R位于直线P'P''上的三角形具有最小周长。显然，这个三角形在顶点Q和R处具有镜像特性。因此，对于点P在BC上的任何位置，都有一个唯一的最小周长三角形。Fagnano问题的解决方案必须在这样的三角形中。其周长由点P的某个位置的P'P''给出。

注意，∠P'AP’’等于∠A的两倍，与点P的位置无关。因此，所有三角形P'AP‘’都是相似的。底部P'P''最短的一侧AP'也最短。但AP’=AP。因此，Fagnano问题的解决方案是存在的，并且AP与BC垂直。根据相似性，BQ必须垂直于AC，CR必须垂直于AB。

备注

正三角形甚至具有镜像特性（尽管有些不同）在钝角三角形中然而，在钝角三角形或直角三角形中，内接的正三角形（具有不同的顶点）没有达到最小可能周长。有一些三角形的周长近似于最短高度长度的两倍，但没有合适的三角形达到这个值。

备注

A类第三种解决方案提供了有关Schwarz解决方案中出现的六个三角形配置的其他信息。当六个三角形折叠改为原来的。另一种解决方案使用的财产反平行线.

工具书类

  1. R.Courant和H.Robbins，什么是数学？牛津大学出版社，纽约，1996年。
  2. H.S.M.Coxeter、S.L.Greitzer、，重新访问的几何图形，MAA 1967年
  3. H.S.M.Coxeter，几何导论约翰·威利父子公司，1961年
  4. H.Dorrie，初等数学100大问题，多佛出版社，纽约，1965年。
  5. P.J.Nahin，当最少是最好的普林斯顿大学出版社，2007年（第五次印刷）。
  6. H.Rademacher和O.Toeplitz，数学的乐趣，多佛出版社，1990年

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