勾股定理

证明勾股定理以下讨论使雇佣三角形面积的sin公式因此，似乎在本质上使用了三角学。来自比利时佛兰德斯的Luc Gheysens提供了证据正如Luc所观察到的，证明是证明#80.

按下图所示的两种方式合并同一直角三角形的两个副本：

当在斜边处连接时，三角形形成一个风筝，可以看作是两个等腰三角形的结合，面积为

b²sin（2α）/2+a²sin（180°-2α）/2=（a²+b²）·sin（2α）/2。

当在一条腿（右图中的b）处连接时，三角形形成等腰三角形，以2a为底，边等于c。对该三角形应用相同的面积公式，我们得到

c²sin（2α）/2=（a²+b²）·sin（2α）/2

毕达哥拉斯定理如下。

备注：证明所基于的配置允许基于Heron公式正如在中所做的那样证明#75.

风筝的面积显然是ab，而它的正方形是a²b²。右图中等腰三角形的半周长等于a+c。应用于该三角形的Heron公式导致

a²b²=（c+a）（c-a）a²=，

这意味着毕达哥拉斯定理。

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