边界法线区域的奇怪曲线

无限长的曲线可以包围有限的区域。

你上次用这个词是什么时候圆周指的是与给定点相等的点？你不愿意称之为圆圈像其他人一样？但是，对于由圆圈?磁盘? 就个人而言，我两者都考虑圆周和磁盘有点正式，更喜欢圆圈至任一方当然，这种用法不会导致歧义。

对区域及其边界进行描述性识别是很自然的。事实上，有一个明确的定义其他的。至少这对我来说很自然。所以当我第一次读到分形曲线它们不仅看起来很奇怪，而且大多是我认为奇怪的出乎意料（通常很漂亮）的形状，还有曲线所包围的区域。如果一个区域的边界是一条奇怪的曲线，你会不会认为它很奇怪？

分形曲线的第一个意料之外的特征是它们都没有有限长度。正如每个人迟早会学到的那样，为了描述它们，通常会引入某种维度（Hausdorff Besicovitch或相似性维度）。很少有人提到，对于每个维度，都可以定义一个测度-一个集合函数，即一个将实值与某些集合相关联的函数，类似于如何长度适用于曲线和地区到个集。此函数，Hausdorff-Besicovitch测度m_d日，曲线C的尺寸为d₀当且仅当米_d日（C） =∞对于d<d₀和米_d日（C） =0对于天>天₀.函数m₁是规则长度，因此对于分形曲线，我们总是有米₁（C） =∞。米₂与面积相同。除了空间填充曲线C，米₂（C） =0。

现在，你对以下问题的答案是什么

（Hausdorff-Besicovitch）维为1<d<2的平面曲线包围了区域G。G的维是多少？

得知G的维数是2，会感到惊讶吗？老的，普通的两个。换句话说，由分形曲线的面积是有限的。让我们想象一下雪花曲线建立在等边三角形的三条边上。边为a的等边三角形的面积由提供√三一²/4.因此，在每个步骤中，我们都添加（1/3）²三面各有一个面积。如果原始三角形的面积为1，则生成的大卫之星将包围一个面积区域1 + 3·(1/3)²= 4/3由12段组成，每段长度为1/3。（我想说吗大卫之星的面积为4/3，由12段组成，每段长度为1/3。)因此，在下一步中，我们必须添加12个小三角形，每个三角形的边长为1/9。这将使封闭面积增加12·（1/9）²。生成的曲线将由48段长度为1/9的线段组成。下一步将增加面积48·（1/27）²因此，我们的构造生成了一个因子为4/9的几何级数，众所周知，其和是有限的。

4/9是从哪里来的？从一个步骤到另一个步骤的分段数增加了4倍。它们的共同长度，在另一方面，减少了三倍。因此，在这些线段上构建的三角形的面积减少了3·3 = 9.

例如，一些曲线，Sierpinski垫片看起来像一组物质。然而，Sierpinski垫圈的尺寸为log（3）/log（2），根据Hausdorff-Besicovitch的上述特性，尺寸的面积为0。这是一个纯粹的边界，没有内部点，但有很多自交点。然而，如果接受其边界集是拆除垫片后获得的原始三角形的一部分，则该集的面积与原始三角形的面积相同。

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