虚角的平分线可能是实的
让我们找出点的轨迹R（右）²由齐次二次方程定义
A、B、C实数。将X/Y视为单个变量X，我们可以看到(1)可以通过二次公式
表示两个根a=（-B+√B²-4AC)/2A和b=（-b-√B²-4AC)/2A个我们看到了
| (3) | AX²+BXY+CY²=A（X-aY）（X-bY）=0。 |
从而解决(1)相当于求解（X-aY）（X-bY）=0，或X-aY=0和X-bY=0分别进行。后一个方程定义了穿过原点的两条直线。因为，取决于B²-4AC是正的、零的或负的a和b可以是不同的实的、相等的实的，也可以是具有非零虚部的复数，我们可以说这样定义的两条线是实的、不同的、实的、重合的和虚的。
对于通过原点的直线X-aY=0，a是直线与Y轴之间夹角的切线；X-bY中的b的解释类似。如果这两个角度是α和β，则两条线之间的角度（高达一个符号）为α - β.自ab=C/A，我们可以找到它的切线：
| (4) | tan（α-β） | =（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ） |
| | | =（a-b）/（1+ab） |
| | | =√B²-4AC/（C+A）。 |
两条直线之间的平分线方程为X-mY=0，m的解释类似。平分线与Y轴形成一个角度，如果取两次，则得出两条直线的角度之和。使用斜率可以看出
| (5) | 2米/（1-m²）=（a+b）/（1-ab）=-b/（a-C）。 |
作为m的方程，(5)可以重写：
这是一个以m为单位的二次方程，判别式等于4（（A-C）²+B²）/B²这总是积极的。由此可见(6)总是有两个实解：一个是给出两条直线形成的（内）角的平分线X-aY=0和X-bY=0另一个给出了外角的平分线。观察一下，因为（从(6))两个根（平分线的斜率）的乘积是-1，正如人们所料，两个平分线是垂直的。
现在情况应该给一个开始。(1)定义一对线。一般来说，这些线条可能是真实的，也可能是虚构的。在这两种情况下，它们似乎形成了一个角，其平分线总是一条实线！我们从中得到了什么？这种奇怪是真实的还是虚构的？
这一困惑承认了一个非常简单、非常自然的答案。要可视化包含两个实数的复数，需要两个实轴——一个实平面。自，年(1)，X和Y可能都很复杂，一个可能需要两对轴，即一个四维空间来可视化它们的相互依赖性。这就是虚线所在的地方。我们在真实的XY平面中看到的只是四维结构的投影，通常是不够的。从4D的角度来看，有真实平分线的假想线并没有什么奇怪的。即使在3D中也可能发生这种情况。实际上，在z=0平面（3D中的xy-plane）。平面围绕平分线旋转，将把角度的两侧移动到第三维空间——可以说，对平面的居民来说是看不见的——而平分线本身将牢牢地留在平面上。
通过类比，对具有真实平分线的假想角现象的解释是，坐在3D中，我们看不到完全的图片，而这张图片自然是4D的，而只是它的横截面。有时，就像假想的角度一样，横截面并不能提供我们所看到的东西的线索。有时，就像在真实角度的情况下一样，我们对（复杂的）现象有了更好的了解。我们可能总是想知道，在后一种情况下，我们是否看到了一个完整的画面。
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- G.三文鱼，圆锥截面论，切尔西酒吧，6e，1960年
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