《数字书》节选

DE MOIVRE的圆圈-切割编号

去找德莫伊夫尔先生；他比我更了解这些事情。

艾萨克·牛顿

画一个正多边形，以复杂平面的原点为中心，一个角为数字1（图8.13）。对应于所有角的复数是什么？早在意识到这些数字具有几何意义之前，英国数学家亚伯拉罕·德·莫伊夫（Abraham De Moivre，1667-1754）就对这些数字进行了研究。

当多边形是正方形时（图8.13（b）），答案很容易。数字（逆时针读数）为1，i，-1，-i我们称之为四阶De Moivre数字以类似的方式，三阶De Moivre数（图8.13（a））为1，（-1+i√三)/2，1-我√三)/2，六阶的是这些和它们的负值：

（再次逆时针读取）。五阶方程有点难：你必须先解一个二次方程，然后再解另一个。

关于这些数字我们能说什么？它们都是其中一个的力量！紧随其后的De Moivre数字1按逆时针顺序，我们称之为δ_n个（如果多边形具有1coners），或仅δ，当1很明显。因为旋转需要1至δ（图8.13（c））取δ至δ², δ²至δ^三等等，我们可以看到n个四阶De Moivre数为

1, δ, δ², δ^三, ..., δ^n-1个，其中δ=δ_n个.

我们还看到δ^n个= 1. 但我们看到了δ₄=i，满足δ²+1=0，Soδ^n个=1并不总是δ满足的最简单方程_n个下表给出了for的最简单方程式n=1，12

事实上n个四阶De Moivre数，δ_n个是一个代数数，其次数是n个欧拉的第个托蒂恩数字，φ（n）.此方程的解都是原始的 n个统一的根源。他们满足x^k= 1对于k=n,但不小于k.

我们说δ₅可以通过求解一个二次方而找到。事实上，

正如你写下等式所看到的δ⁴+δ^三+δ²+ δ + 1 = 0在表单中(δ²+ δ/2 + 1)²= (δ√5)²/4.

唯一的理性三角

假设你有一个三角形，它的所有边都是有理数角度是有理度数。那么它一定是等边的！你可能会这么想这是一个非常深入的结果，但事实上，使用De验证它出乎意料地容易莫伊夫尔的数字。将三角形放在复杂平面上（图8.14）。然后角度指示将是第n页ths和问n这是一场革命的最小可能值n个。由于所示的三个移位加起来等于零，我们可以看到这个n个四阶De Moivre数δ=δ_n个必须满足

a+bδ^第页+cδ^q个.

因此，必须是δ的所有代数共轭_n个形式为δ^k无论何时k和n个没有共同因素。

所以我们确实有φ（n）方程

a+bδ^千帕+cδ^千卡.

所以φ（n）不同的三角形，如图8.15所示，所有三角形都有相同的底面和相同的边长，但角度不同。这是胡说八道，因为最多可以有两个这样的三角形：原始三角形（图8.14）及其在底部的反射（图8.15中最右边的两个）。现在只有带φ的数字（n） ≤2是n个=1、2、3、4或6，所以所有角度都至少是一个旋转的1/6（即60°），而三角形必须是等边的，因为它的角度加起来是180°。

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