数三角
公式
| (1) | 1 + 3 + 5 + ... + （2N-1）=N² |
表示前N个连续奇数的和等于N²。（1）的初等证明可以通过归纳很容易地进行：
对于N=1，结果是即时的。假设（1）适用于N=k：
| (1') | 1 + 3 + 5 + ... + （2k-1）=k²， |
并考虑（1），对于N=k+1：
| (1'') | 1 + 3 + 5 + ... + （2k-1）+[2（k+1）-1]=（k+1”）²。 |
（1’’）的左手边与（1’）的右手边只有一个术语不同，即最后一个术语：
右侧的差异完全相同：
（k+1）²-k²=2k+1。
因此（1’’）接（1’），这就完成了归纳证明。
有几种视觉证据-无文字证明-这一事实。下面的小程序显示另一个小程序。它还暗示了一个密切相关但很少被提及的结果。
对于小程序底部滑块旋钮的两个极端位置，深绿色三角形的数量完全相同。然而，配置是不同的。
首先，nob位于最右边，我们看到等腰直角三角形被平行于三角形边的辅助线细分为更小的三角形。这些线是通过三角形边上的点绘制的，这些点将边分成N个相等的部分。有多少个小三角形？答案是，精确N²，对许多人来说似乎出乎意料。使用相同的程序将一个正方形细分为更小的正方形，通常会放大这种效果：将正方形的边划分为N个相等的部分，并通过分割点绘制与正方形其他边平行的线。每个人都知道，这个过程会产生N²的小方块。为什么对于正方形和三角形，该过程会导致相同的数字：N²？小程序试图准确地说明这一事实。
当滑块旋钮位于最左边的位置时，小程序显示一个分为较小方块的正方形，每个方块通过对角线进一步分为两个小三角形。其中一个三角形是绿色的。因此，很明显，后一种配置中绿色三角形的数量与小正方形的数量相同。
当旋钮从右向左移动时，原始配置中的一些三角形会淡入背景。同时，同样数量的小三角形出现在方形的右上角。如果第二个配置是在一张纸上画的，那么就可以沿着主对角线折叠大正方形。然后，出现的三角形将与褪色的三角形重叠。所以在两种构型中，小三角形的数量是一样的。由于在第二种（最左侧）配置中，小三角形的数量等于小正方形的数量，因此我们得出结论，第一种（最右侧）配置中的三角形数量为N²。
人们可以很容易地观察到这一事实与（1）的相关性。对角线将第一种配置中的三角形分成若干组，每组包含奇数个三角形。任意两个连续组中的三角形数相差2。第一组（左下方）有1个三角形，下一组有3个，第二组有5个，依此类推。最后一组位于正方形主对角线正下方，包含（2N-1）小三角形。所以我们得到了（1）的另一个证明。
但小程序提供了另一种更具代数性质的证明。考虑第二种配置。使用三角数公式，我们看到主对角线下有
| (2) | 1 + 2 + 3 + ... + N=N·（N+1）/2 |
绿色三角形。对角线上方的数字等于
| (2') | 1 + 2 + 3 + ... + （N-1）=（N-一）·N/2。 |
将得到的二者相加
N·（N+1）/2+（N-1）·N/2=N²，
这是众所周知的无文字证明（事实上，双色棋盘图案不均匀地分割了所有三角形的集合，这有一个有趣的反响.)
最后，还有一个完全基于几何考虑的更简单的证明。如果将一个正方形细分为N²个小正方形，每个小正方形进一步拆分为2个三角形，则三角形的总数为2N²。正方形的一半肯定只包含这个数量的一半：2N²/2=N²。
工具书类
- R.B.Nelson，无文字证明，MAA，1993年，第71-73页
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