蒙哥马利对相关猜想

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蒙哥马利对相关猜想是由(蒙哥马利1973).

猜想（蒙哥马利配对相关猜想，1973年）。 （蒙哥马利）

对相关函数${\显示样式\脚本样式R_{2}（u）\，}$相邻成对之间非平凡零（假设位于临界线)的黎曼ζ函数（归一化为单位平均间距）为

${\显示样式R{2}（u）=1-\mathrm{sinc}^{2}\，u+\delta（u）=1-\左（{\frac{\sin\piu}{\piu{}}\右）^{2{+\del塔（u）.\，}$

正如弗里曼·戴森（Freeman Dyson）向他指出的那样，这和那对一样相关函数属于随机厄米矩阵.

非正式地，这意味着在很短的时间间隔内找到零的机会$｛\displaystyle\scriptstyle｛\frac｛2\pi L｝｛\log T｝｝\，｝$在远处${\displaystyle\scriptstyle{\frac{2\piu}{\log T}}\，}$从零开始${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{2}}+iT\，}$是关于${\显示样式\脚本样式L\，}$乘以上面的表达式。（因素${\displaystyle\scriptstyle{\frac{2\pi}{\log T}}\，}$是一个标准化因子，可以非正式地认为是零之间的平均间距，虚部约为${\显示样式\脚本样式T\，}$.) (奥德利兹科1987)结果表明，该猜想得到了大规模计算机零计算的支持。这个猜想已经扩展到2个以上零点的相关，也扩展到自守表示的zeta函数(Rudnick&Sarnak 1996年).

蒙哥马利正在研究傅里叶变换${\显示样式\脚本样式F（x）\，}$对相关函数，并显示（假设黎曼假设)它等于${\显示样式\脚本样式|x|\，}$对于${\显示样式\脚本样式|x|\，<\，1\，}$.他的方法无法确定${\显示样式\脚本样式|x|\，\geq\，1\，}$，但他推测这等于1${\显示样式\脚本样式x\，}$，这意味着对相关函数如上所述。

1-（（sin-pix）/（pix））^2

1-（（sin-pix）/（pix））^2的Maclaurin级数展开

这个麦克劳林系列扩展1-（（sin-pix）/（pix））^2是

${\显示样式1-\mathrm{sinc}{\pi}^{2}\，x=1-\左^{2} x个^{2} }{3}}-{\压裂{2\pi^{4} x个^{4} }{45}}+{\压裂{\pi^{6} x个^{6} }{315}}-{\压裂{2\pi^{8} x个^{8} }{14175}}+{\压裂{2\pi^{10} x个^{10} }{467775}}-{压裂{4\pi^{12} x个^{12} }{42567525}}+{\压裂{\π^{14} x个^{14} }{638512875}}-{\压裂{2\pi^{16} x个^{16} }{97692469875}}+{\压裂{2\pi^{18} x个^{18} }{9280784638125}}-\cdot，\，}{2} x个^{2} }{3}}-{\压裂{2\pi^{4} x个^{4} }{45}}+{\压裂{\pi^{6} x个^{6} }{315}}-{\压裂{2\pi^{8} x个^{8} }{14175}}+{\压裂{2\pi^{10} x个^{10} }{467775}}-{压裂{4\pi^{12} x个^{12} }{42567525}}+{\压裂{\π^{14} x个^{14} }{638512875}}-{\压裂{2\pi^{16} x个^{16} }{97692469875}}+{\压裂{2\pi^{18} x个^{18} }{9280784638125}}-\cdot，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinc}{\pi}\，x\，}$是归一化正弦函数.

1-（（sin x）/x）^2

这个麦克劳林系列扩展1-正弦^2 x=1-（（sin x）/x）^2是

${显示样式1-\mathrm{sinc}^{2}，x=1-\左（{frac{\sinx}{x}}\右）^{2{={frac}x^}}{3}}-{frac[2x^{4}}{45}}+{frac[x^{6}}{315}}-}}{467775}}-{压裂{4x^{12}}{42567525}}+{压裂}x^{14}}{638512875}}-{裂缝{2x^{16}}{97692469875}}+}压裂{2xqu{18}}{9280784638125}}-}压裂}4x^}20}}{2143861251406875}}+\光盘，\，}}+\光盘，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\mathrm{sinc}\，x\，}$是非正规sinc函数.

1-（（sin x）/x）^2的Maclaurin级数的分子

A048896号2 A000120号（n+1）-1,${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，1\，}$.2除法的最大幂${\显示样式\脚本样式n\，}$ 第个 加泰罗尼亚数字(A000108号).

{1, 2, 1, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 2, 4, 4, ...}

A000120号1的计数序列：的二进制扩展中的1的数目${\显示样式\脚本样式n\，}$（或二进制重量${\显示样式\脚本样式n，\，n\，\geq\，2\，}$.)

{1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, ...}

1-（（sin x）/x）^2的Maclaurin级数的分母

A117972号的分子${\显示样式\脚本样式\泽塔'（-2n），\，n\，\geq\，2\，}$.

{3, -45, 315, -14175, 467775, -42567525, 638512875, -97692469875, 9280784638125, -2143861251406875, 147926426347074375, -48076088562799171875, 9086380738369043484375, -3952575621190533915703125, ...}

另请参见

• 黎曼ζ函数
• 黎曼zeta函数非平凡零点

• Sinc函数

• 蒙哥马利奥德利斯科定律
• Hilbert-Pólya猜想

工具书类

• 尼古拉斯·M·卡茨。；Peter Sarnak（1999），“zeta函数的零点和对称性”,美国数学学会。公告。新系列 36(1): 1–26,国防部:10.1090/S0273-0979-99-00766-1,国际标准编号 0002-9904,http://www.ams.org/bull/1999-36-01/S0273-0979-99-00766-1/home.html ..

• Montgomery，Hugh L.（1973），“zeta函数零点的配对相关性”，解析数论，程序。交响乐。纯数学。，二十四，普罗维登斯，R.I.：美国数学学会，第181–193页 ..

• Odlyzko，Andrew M.（1987），“关于zeta函数零点间距的分布”，计算数学（美国数学学会）48(177): 273–308,国防部:10.2307/2007890,国际标准编号 0025-5718 ..

• 鲁德尼克、泽夫；Peter Sarnak（1996），“主L函数的零点和随机矩阵理论”,杜克数学杂志 81(2): 269–322,国防部:10.1215/S0012-7094-96-08115-6,国际标准编号 0012-7094,http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077245671 ..

外部链接

• 裴力，关于Riemann-zeta函数零点的Montgomery对相关猜想西蒙·弗雷泽大学数学系论文（硕士），2005年。
• G.D.莫斯托，关于蒙哥马利的一个猜想,数学年鉴，第二辑，卷。651957年5月第3期。