梅森素数

梅森素数是质数表单的

2 第页 −  1

，其中

第页

必须是质数（所以这些是质数梅森数). 例如，127是梅森素数2 7 −  1 = 127已知最大的梅森素数往往也是已知最大的素数。目前，已知最大的梅森素数是2 77232917 −  1十进制数字超过2300万。

定理。

对于表单的数量

2 n个 −  1

要成为素数，必须满足以下条件

n个

成为第一流。这就是说，如果

n个

是复合的，那么也是

2 n个 −  1

.

证明。考虑一下2模形式的数

2 n个 −  1

：我们有

1，2，4，8。。。，2 n个   −  2, 2 n个   −  1, 1, 2, 4, 8, ...

以此类推，显示1每隔

n个

加倍步骤。这意味着对于任何正整数

米

，同余

2 米 n个  ≡   1 （模块2 n个 −  1)

持有，因此数字

2 米 n个 −  1

可除以

2 n个 −  1

（例如，以开头的每四个梅森数15可除以15: 255, 4095, 65535, 1048575,等）。如果

n个

是复合的，它必须与相隔至少一个除数1以及自身，因此

2 n个 −  1

至少有一个除数也是梅森数（指数对应于该除数

n个

)从而证明

2 n个 −  1

也是复合的。但如果

n个

是质数，那么

2 n个 −  1

不能被除1以及它本身，因此是潜在的素数。 □

条件是必要的，但不是充分的，为了证明缺乏充分性，您可以通过以下示例来满足2 11 −  1 = 2047 = 23  ×  89=（2 ×  11 + 1)  ×  (8  ×  11 + 1).

梅森素数集是有限的还是无限的尚不清楚。这个Lenstra–Pomerance–Wagstaff猜想相反，断言有无限多的梅森素数，并预测它们的增长顺序截至2011年，已确定的人数不到50人。

梅森素数因其与偶数完美数.在4中^第个世纪公元前,欧几里得证明如果

M（M） 第页

那么是梅森素数

2 第页  − 1·(2 第页− 1) = M（M）第页+ 1 2 ·M（M）第页

是一个偶数。在18岁^第个世纪，利昂哈德·尤勒相反地，证明了所有甚至是完全数都具有这种形式。

基本2重新单位

这个基数2重新单位（有时称为梅森数，尽管该名称通常适用于下一个定义）是表单的编号

R（右） (2) n个 :=   n个  − 1 ∑   我   = 0    1·2 我= 2 n个− 1 2 − 1 = 2 n个− 1, n个≥ 0.

基数2的生成函数

这个普通生成函数底座的2反悔是

G公司{R（右） (2) n个}(x个) ≡   ∞ ∑   n个   = 0    R（右） (2) n个 x个 n个= x个 (1 − 2 x个) (1 −x个) .

基2重单位的指数生成函数

这个指数生成函数底座的2雷布尼茨

E类{R（右） (2) n个  − 1}(x个) ≡   ∞ ∑   n个   = 1    R（右） (2) n个 −1 x个 n个 n个! = (e（电子）  x个− 1) 2 2 .

序列

A000225号

2 n个 −  1,n个  ≥   0

. (底座2反悔，有时称为梅森数，尽管该名称通常是为A001348号.)

{0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, ...}

A001348号这个梅森数:

M（M） 第页= 2 第页 −  1

，其中

第页

是质数。

{3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, 137438953471, 2199023255551, 8796093022207, 140737488355327, 9007199254740991, 576460752303423487, ...}

A000668号梅森素数（形式

M（M） 第页= 2 第页 −  1

哪里

第页

必须是首要的).

{3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, ...}

A117293号梅森素数是用二进制写的。

{11, 111, 11111, 1111111, 1111111111111, 11111111111111111, 1111111111111111111, 1111111111111111111111111111111, 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111, ...}

A000043号 梅森指数：素数

第页

使得

M（M） 第页= 2 第页 −  1

是首要的.位数（基数2)英寸

M（M）第页

.

{2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, ...}

A028335号位数（基数10)英寸

n个

第个梅森素数。

{1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 10, 19, 27, 33, 39, 157, 183, 386, 664, 687, 969, 1281, 1332, 2917, 2993, 3376, 6002, 6533, 6987, 13395, 25962, 33265, 39751, 65050, 227832, 258716, 378632, 420921, 895932, ...}

A061652号偶数超完美数：

2 ( 第页   − 1)

哪里

2 第页 −  1

是梅森素数(A000043号和A000668号).

{2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864, ...}

A138837号非梅森素数的素数(A000668号).

{2, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, ...}

第n个梅森素数的十进制展开

GIMPS项目保持了排名列表已知的梅森素数。除了过去五年中发现的少数数字外，名单中大多数数字的排名都经过了双重检查。该列表包含发现日期、发现者、位数等所有详细信息。

在过去的几十年中，发现了数百万位数的梅森素数，而完整的十进制表示占用了兆字节，因此它们不适合OEIS b文件。马克西米利安·哈斯勒给出了一个直接计算一些前导数字的PARI程序：

A193864_list（Nmax）={默认值（realprecision，Nmax+5）；数字（10^frac（43112609*log（2）/log（10））\.1^Nmax）}\\在旧PARI版本中使用数字（x）=eval（Vec（Str（x）））。A193864_列表（105）

有一个Perl程序上面写着A000043号借助小型PARI程序，在不到一分钟的时间内写出所有已知的梅森素数，如：

写（“a089578.txt”，2^20996011-1）；退出；

该程序生成梅森素数十进制展开式的OEIS序列列表：

排名	2^p-1岁 A000043号	组织环境信息系统 A编号	#个数字中的个 A028335美元	前16位 A135613型,A138862号,A138864号	最后16位 A080172号,A080173号,A138865号
1	2	A000668号	1	三	三
2	三	A000668号	1	7	7
三	5	A000668号	2	31	31
4	7	A000668号	三	127	127
5	13	A000668号	4	8191	8191
6	17	A000668号	6	131071	131071
7	19	A000668号	6	524287	524287
8	31	A000668号	10	2147483647	2147483647
9	61	A000668号	19	2305843009213693	5843009213693951
10	89	A000668号	27	6189700196426901	2690137449562111
11	107	A000668号,A169684号	33	1622592768292133	3391578010288127
12	127	A000668号,A169681号	39	1701411834604692	7303715884105727
13	521	A000668号,A169685号	157	6864797660130609	4028291115057151
14	607	A000668号,A204063型	183	5311379928167670	5393219031728127
15	1279	A000668号,A248931型	386	1040793219466439	0555703168729087
16	2203	A000668号,A248932型	664	1475979915214180	9497686697771007
17	2281	A000668号,A248933型	687	4460875571837584	3172418132836351
18	3217	A000668号,248934加元	969	2591170860132026	0677362909315071
19	4253	A248935型	1281	1907970075244390	4687815350484991
20	4423	A248936型	1332	2855425422282796	1057902608580607
21	9689	A275977型	2917	4782202788054612	2696826225754111
22	9941	A275979型	2993	3460882824908512	6224883789463551
23	11213	A275980型	3376	2814112013697373	1476087696392191
24	19937	A275981型	6002	4315424797388162	1539030968041471
25	21701	A275982型	6533	4486791661190433	0828353511882751
26	23209	A275983型	6987	4028741157789887	3355523779264511
27	44497	A275984型	13395	8545098243036338	7686961011228671
28	86243		25962	5369279955027563	7021709433438207
29	110503		33265	5219283133417550	1621083465515007
30	132049		39751	5127402762693207	8578455730061311
31	216091		65050	7460931030646613	6204103815528447
32	756839		227832	1741359068200870	3793328544677887
33	859433		258716	1294981256042076	4267243500142591
34	1257787		378632	4122457736214286	7188976089366527
35	1398269		420921	8147175644125730	2025868451315711
36	2976221		895932	6233400762485786	6256743729201151
37	3021377		909526	1274116830300933	2631973024694271
38	6972593		2098960	4370757441270813	6526142924193791
39	13466917	A089065号	4053946	9249477380067013	3855470256259071
40	20996011	A089578号	6320430	1259768954503301	4065762855682047
41	24036583		7235733	2994104294041571	6921882733969407
42	25964951		7816230	1221646300612779	3257280577077247
43	30402457	A117853号	9152052	3154164756188460	4297411652943871
44	32582657		9808358	1245750260153694	2880154053967871
45	37156667		11185272	2022544068909773	0265022308220927
46	42643801		12837064	1698735164527416	1954765562314751
47	43112609	A193864号	12978189	3164702693302559	2181166697152511

另请参见

• 完美数字
• 费马素数

外部链接

• 伟大的互联网梅森素数搜索（GIMPS）
• 巴勃罗·潘佐恩，关于Mersenne和Fermat素数的生成函数施普林格链接，2010年。
• 巴勃罗·潘佐恩，关于Mersenne和Fermat素数的生成函数，Collectanea，2010年。