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Aliquot序列

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安真因子和数列（或等分轨迹)是一个重现其中每个项是前一项的适当除数之和，其中初始项必须是正整数，即。

     
 
一 0  = k个, k个∈ ℕ +;
一n个  = 秒1(一n个  − 1 ), n个≥ 1.

在上面，
秒1(一n个  )   :=  σ1(一n个  )  − 一n个
是等分因子和函数,
σ1(一n个  )
成为除数和函数.一个等分序列（而不是平凡序列
{1, 0}
)要么
  • 最终命中质数，它会产生1，然后是空总和，即。0（因此终止，因为正整数定义了适当除数之和）(A080907号);
  • 永远不会碰到质数（因此永远不会终止），其中
    • 循环，具有有限阶
    • 最终循环（通过点击属于循环的数字），顺序有限
    • 从不循环，因此是由不同组合项组成的无限序列，因此是无界序列（这似乎不太可能，尽管尚未证明这种序列的不存在！）.

一个无限无界的等分序列，无论单调与否，都必须设法永远不会碰到任何等分循环（没有[偶数]或[奇数？]完美数字，没有友好配对的成员，没有社交循环的成员），而且它决不能碰到素数！这似乎不太可能：一个项是通过“添加”前一项的适当除数获得的，因此人们可以预期，命中一个循环或质数是一个概率问题（每个项都不为零），这意味着命中最终是不可避免的（但可能存在任何有限个项的序列，尽管随着项数的增加概率会降低……这对应于加泰罗尼亚语-迪克森猜想).

等分试样序列表
长度=“头部长度”+“尾部长度”，其中“头部”是到达前的等分子序列
米<n个
和“尾巴” （斜体）是到达的等分子序列
米<n个
.

n个
 		等分序列
n个
 		长度
L（左） (n个)

A098007号
0 0 1
1 1,0 2 = 1 +L（左） (0)
2 2,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
三 三，1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
4 4,3, 1, 0 4 = 1 +L（左） (3)
5 5,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
6 6 1
7 7,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
8 8,7, 1, 0 4 = 1 +L（左） (7)
9 9,4, 3, 1, 0 5 = 1 +L（左） (4)
10 10,8, 7, 1, 0 5 = 1 +L（左） (8)
11 11,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
12 12, 16, 15,9, 4, 3, 1, 0 8 = 3 +L（左） (9)
13 13,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
14 14,10, 8, 7, 1, 0 6 = 1 +L（左） (10)
15 15,9, 4, 3, 1, 0 6 = 1 +L（左） (9)
     
n个
 		等分序列
n个
 		长度
L（左） (n个)

A098007号
16 16,15, 9, 4, 3, 1, 0 7 = 1 +L（左） (15)
17 17,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
18 18, 21,11, 1, 0 5 = 2 +L（左） (11)
19 19,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
20 20, 22,14, 10, 8, 7, 1, 0 8 = 2 +L（左） (14)
21 21,11, 1, 0 4 = 1 +L（左） (11)
22 22,14, 10, 8, 7, 1, 0 7 = 1 +L（左） (14)
23 23,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
24 24, 36, 55,17, 1, 0 6 = 3 +L（左） (17)
25 25,6 2 = 1 +L（左） (6)
26 26,16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8 = 1 +L（左） (16)
27 27,13, 1, 0 4 = 1 +L（左） (13)
28 28 1
29 29,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
30 30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33,15, 9, 4, 3, 1, 0 16 = 10 +L（左） (15)
31 31,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
     
n个
 		等分序列
n个
 		长度
L（左） (n个)

A098007号
32 32,31, 1, 0 4 = 1 +L（左） (31)
33 33,15, 9, 4, 3, 1, 0 7 = 1 +L（左） (15)
34 34,20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 9 = 1 +L（左） (20)
35 35,13, 1, 0 4 = 1 +L（左） (13)
36 36, 55,17, 1, 0 5 = 2 +L（左） (17)
37 37,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
38 38,22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 8 = 1 +L（左） (22)
39 39,17, 1, 0 4 = 1 +L（左） (17)
40 40, 50, 43,1, 0 5 = 3 +L（左） (1)
41 41,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
42 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45,33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 15 = 8 +L（左） (33)
43 43,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
44 44,40, 50, 43, 1, 0 6 = 1 +L（左） (40)
45 45,33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8 = 1 +L（左） (33)
46 46,26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 9 = 1 +L（左） (26)
47 47,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
     
n个
 		等分序列
n个
 		长度
L（左） (n个)

A098007号
48 48, 76, 64, 63,41, 1, 0 7 = 4 +L（左） (41)
49 49,8, 7, 1, 0 5 = 1 +L（左） (8)
50 50,43, 1, 0 4 = 1 +L（左） (43)
51 51,21, 11, 1, 0 5 = 1 +L（左） (21)
52 52,46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 10 = 1 +L（左） (46)
53 53,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
54 54, 66, 78, 90, 144, 259,45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 14 = 6 +L（左） (45)
55 55,17, 1, 0 4 = 1 +L（左） (17)
56 56, 64, 63,41, 1, 0 6 = 3 +L（左） (41)
57 57,23, 1, 0 4 = 1 +L（左） (23)
58 58,32, 31, 1, 0 5 = 1 +L（左） (32)
59 59,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
60 60, 108, 172, 136, 134, 70, 74,40, 50, 43, 1, 0 12 = 7 +L（左） (40)
61 61,1, 0 3 = 1 +L（左） (1)
62 62,34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 10 = 1 +L（左） (34)
63 63,41, 1, 0 4 = 1 +L（左） (41)

加泰罗尼亚语等分序列猜想

1888年，尤金·查尔斯·加泰罗尼亚提出了[尚未确定且可能是错误的]推测[4]

猜想（加泰罗尼亚等分序列猜想，1888）。 （尤金·加泰罗尼亚语）

每个序列都包含“单位或完美数”

推测被修正了伦纳德·尤金·迪克森[4]

猜想（加泰罗尼亚语-迪克森猜想）。 （莱昂纳德·尤金·迪克森）

不存在无界等分序列（“每个非周期链都包含一个素数”）*

*这意味着每个等分序列要么以质数结尾，后跟1是一个等分循环（一个完全数、一对友好数或一个社交数的等分循环）或最终达到一个等份循环。

保罗·埃尔德亨德里克·伦斯特拉（Hendrik Lenstra）假设无界等分序列确实存在。[4]

莱默五号

这个莱默五世（以…命名德里克·亨利·莱默),276, 552, 564, 660和966可能有一个无界的等分序列（虽然它们也可能导致等分序列项如此之大，以致其素因式分解变得难以处理，而一个非常大的素数或等分循环的某些成员（例如，非常大的完美数、友好数或社交数）位于轨迹上，经过荒谬的大量迭代……）。[5]

序列

A098007号等分序列的长度
n个
，或−1如果等分序列从不循环。
{2, 3, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 5, 5, 3, 8, 3, 6, 6, 7, 3, 5, 3, 8, 4, 7, 3, 6, 2, 8, 4, 1, 3, 16, 3, 4, 7, 9, 4, 5, 3, 8, 4, 5, 3, 15, 3, 6, 8, 9, 3, 7, 5, 4, 5, 10, 3, 14, 4, 6, 4, 5, 3, 12, 3, 10, 4, 5, 4, 13, 3, 6, 5, 7, 3, 10, 3, 6, ...}
A098008型等分序列的瞬态部分长度
n个
，或−1如果瞬态部分是无限的。（[有限]瞬态部分先于循环部分。）
{1, 2, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 0, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, 4, 9, 2, 13, 3, 5, 3, 4, 2, 11, 2, 9, 3, 4, 3, 12, 2, 5, 4, 6, 2, 9, 2, 5, 5, 5, ...}

A080907号等分序列终止于1.({1} ∧{素数}∧{127162英镑})

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, ...}

A127162号其等分序列因遇到素数而终止的复数。

{4, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, ...}

A126016号其等分序列不终止于的数字1.（必须合成数字。）

{6, 25, 28, 95, 119, 143, 220, ...}
&
{276?, 284, 306?, 396?, 417, 445, 496, ...}
A115350型从开始终止等分序列
n个
.（适用于
n个  > 1
：显示质数或第一个完全数[加泰罗尼亚语]；显示质数或等分循环的第一个成员[Dickson]。）
{1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, 11, 3, ...}
A000396号完美数字
n个
:
n个
等于
n个
.
{6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, ...}

A063769号理想数：等分序列以一个完全数结尾的数。

{25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ...}

A063990型友好的数字。

{220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, 10744, 10856, 12285, 14595, 17296, 18416, 63020, 66928, 66992, 67095, 69615, 71145, 76084, 79750, 87633, 88730, 100485, ...}

A？？？？？？其等分序列终止于友好数字的等分循环的数字。[2]

{?, ...}

A003416号社会人数：每个周期中最小的成员。

{12496, 14316, 1264460, 2115324, 2784580, 4938136, 7169104, 18048976, 18656380, 28158165, 46722700, 81128632, 174277820, 209524210, 330003580, 498215416, 805984760, 1095447416, ...}

A？？？？？？其等分序列终止于社交数字的等分循环的数字。[3]

{?, ...}

A121507型其等分序列最终达到长度为2或2以上的循环的推测数字列表。

{220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, 2542, 2620, 2630, 2652, 2676, 2678, 2856, 2924, 2930, ...}

A121508型其等分序列最终达到长度为两个或更多的周期，但其本身不是周期的一部分的推测数字列表。

{562, 1064, 1188, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, 2542, 2630, 2652, 2676, 2678, 2856, 2930, 2950, 2974, 3124, 3162, 3202, 3278, ...}
A005114号不可接触数，也称为不可液化数：等分部分之和的不可能值
n个
(A001065号).
{2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, ...}

另请参见

笔记

  1. ↑ 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,抱负人数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
  2. ↑2 2.1 “渴望友好的数字”？找到了吗？
  3. ↑3 3.1 “有抱负的社交数字”？找到了吗？
  4. ↑4 4.1 4.2 乔伊·海西，Aliquot序列, 2010.
  5. ↑ 虽然可以成功地证明给定的等分序列从未达到素数或[偶数]完美数，但仍有可能达到友好数或社交数。（还假设不存在奇数完美数！）

外部链接

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