A类生成函数是一个形式幂级数指生成(枚举)序列的某种给定形式。
普通生成函数
普通生成函数(OGF、OGF或o.g.f.)即幂级数生成函数是形式的形式幂级数
![显示样式G{{a{n}}(x)等于和{n=0}^{infty}a{n{}\,x^{n},\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443e9090cda9cdd507716875dc5e8fbdcf2722ee)
生成(枚举)序列
.
最简单序列的普通生成函数正整数,的所有1的序列,是
![显示样式G{{n^{0}}(x)=G{{1^{n}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470284420d17254aa1361e9a1d83cdca1a1e0701)
生成(枚举)序列
等于
- {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}.
通过生成函数,通常指的是普通生成函数。
指数生成函数
指数生成函数(EGF,EGF或e.g.f.),即Maclaurin级数生成函数,是形式的形式幂级数
![显示样式E_{{a_{n}}(x)\equiv\sum_{n=0}^{infty}a_{n},{frac{x^{n}{n!}},\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8881f427c4864cb7d96c5eab7dc4e3df95e707b8)
生成(枚举)序列
.
最简单的正整数序列,即all-1序列的指数生成函数为
![显示样式E_{{n^{0}}(x)=E_{{1^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972f0b508b9a12eefa7fa062aa9a2b3b1318d3f7)
生成(枚举)序列
等于
- {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...},
因此,术语指数生成函数。
对数生成函数?
对数生成函数(LGF、LGF或l.g.f.)是形式上的幂级数
![显示样式L_{{a{n}}(x)等于和{n=1}^{infty}a{n{},{frac{(-1)^{n+1},x^{n}{n},,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d382bc9520a988e56a8ac1ac99f1c0977ea1680)
生成(枚举)序列
.
请注意,我们无法生成
任期自
显然,不能为0。
最简单的正整数序列,即all-1序列的对数生成函数为
![显示样式L_{{n^{0}}(x)=L_{1^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55f44ea0ec076b846563a06578c4277d822a4c2)
生成(枚举)序列
等于
- {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}.
双曲对数生成函数?
双曲对数生成函数是形式上的幂级数
![显示样式LH_{{a_{n}}(x)\equiv\sum_{n=1}^{infty}a_{n},{frac{x^{n}{n},\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a55e33eb91ee0a91efb9b9e183c56a6a03ccdba)
生成(枚举)序列
.
请注意,我们无法生成
任期自
显然,不能为0。
最简单的正整数序列,即all-1序列的双曲对数生成函数为
![显示样式LH_{{n^{0}}(x)=LH_{1^{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0a028c5437c0c5cb04976a9a2a27bb5933c974)
生成(枚举)序列
等于
- {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...},
(因此,通过与指数生成函数相类比,可以称为双曲对数生成函数)。
普通生成函数的对数导数
序列的普通生成函数(LGDOGF或LGDOGF)的对数导数
是一个函数
科学技术。
![显示样式G{{a{n}}(x)等于和{n=0}^{infty}a{n{}\,x^{n}=\exp{\bigg(}\int{f(x)dx}{\big)}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508f67acab029bab3096d49f0ec1a3a9bbe48f29)
是的普通生成函数
.
指数生成函数的对数导数
序列的指数生成函数(LGDEGF或LGDEGF)的对数导数
是一个函数
科学技术。
![{\显示样式E_{{a{n}}(x)\equiv\sum_{n=0}^{\infty}a{n{}\,{\frac{x^{n}{n!}}=\exp{\bigg(}\int{f(x)dx}{\big)}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf88b94bec1b76b3d4a129b192b02398b70f8d12)
是的指数生成函数
.
Dirichlet生成函数
Dirichlet生成函数(Dirichletg.f.,)即Dirichlete级数生成函数是形式上的幂级数[1]
![{\显示样式D_{{a_{n}}}=和{n=1}^{infty}{\ frac{a_}}{n^{s}},\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818d3ea907126f0bad0505a84c3f6984d92539d9)
生成(枚举)序列
.
请注意,我们无法生成
任期自
显然,不能为0。
最简单的正整数序列,即全1序列的Dirichlet生成函数为
[2]
哪里
是zeta函数,生成(枚举)序列
等于
- {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...},
(因此,通过与术语指数生成函数类比,可以称为zeta生成函数)。
Dirichlet生成函数非常适合于算术函数(数论函数)自欧拉zeta函数封装有关的信息素因子分解的自然数.
例如,由于相互的属于欧拉zeta函数通过以下方式获得莫比乌斯反演
![{\显示样式{\frac{1}{\zeta(s)}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu(n)}{n^{s}},\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d6391e7541f6e8f6ec7aa6cfcebfcae6cbad46)
哪里
是莫比乌斯函数,这意味着,
是Möbius函数的Dirichlet生成函数
对于所有正整数。
连续分数生成函数
请参见以下示例双阶乘.
多元生成函数
对于具有多个索引的序列,可以在多个变量中定义生成函数。这些被称为多元生成函数(二元的、三变量等)。
二元生成函数
帕斯卡三角二元生成函数
例如,因为
是的生成函数二项式系数对于固定的
,可以要求一个生成二项式系数的二元生成函数
为所有人
和
.
为此,请考虑
作为它本身系列(in
),并在中找到生成函数
将这些作为系数。由于的生成函数
只是
,二项式系数的生成函数为
![显示样式G{{{二进制{n}{k}}}(x,y)={frac{1}{1-(1+x)y}}=\sum_{n=0}^{infty}(1+x)^{k} 年^{n} \,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c84498b63ff2956be2d8877a1e376664b96fba)
另请参见
笔记
- ↑ 请注意,因为这些是正式的幂级数,所以是否
被认为是真实的或复杂的。
- ↑ Sondow、Jonathan和Weisstein、Eric W.、。,黎曼-泽塔函数,来自MathWorld-Wolfram Web资源。
外部链接