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Landau-Ramanujan常数

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让S（x）表示正整数不超过x个可以表示为两个平方的和（即n≤x这样总和平方函数 r2（n）>0). 例如，前几个正整数可以表示为平方和

1=0^2+1^2
(1)
2=1^2+1^2
(2)
4=0^2+2^2
(3)
5=1^2+2^2
(4)
8=2^2+2^2
(5)

（组织环境信息系统A001481号)，所以S（1）=1,S（2）=2,S（4）=3,S（5）=4,S（8）=5，依此类推。然后

lim_（x->infty）（平方（lnx））/xS（x）=K，
(6)

正如兰多（1908）所证明的那样，其中K（K）是一个常量。Ramanujan独立地陈述了这个定理以稍微不同的形式表示A类和x个它们是两个平方和的任意一个平方

S（x）=K _ A ^ x（dt）/（sqrt（lnt））+θ（x），
(7)

哪里K约0.764和θ（x）与之前的积分相比非常小（Berndt和Rankin 1995，第24页；哈代1999年，第8页；Moree和Cazaran，1999年）。

请注意，对于n> 1个,r2（n）>0 若（iff） n个不可被素数幂除百万英镑具有p=3（模块4）和米奇怪。

LandauRamanujan常数

常数具有数值

K=0.764223653。。。
(8)

（组织环境信息系统A064533号). 然而，收敛到常数K（K）,称为Landau-Ramanujan常数，有时也表示为λ，非常慢。下表总结了这些值方程式左侧的(7)对于10，其中S（10^n）是（OEISA164775号).

x个S（x）（平方英寸）/xS（x）
10^171.062199
10^2430.922765
10^33300.867326
10^427490.834281
10^5240280.815287
10^62163410.804123
10^719854590.797109
10^8184578470.792198
10^91732290580.788587
10^(10)16376241560.785818

常数的精确公式如下所示

K=1/（sqrt（2））乘积_（p素数；=3（mod 4））（1-1/（p^2））^（-1/2）
(9)

（Landau 1908；Le Lionnais 1983，p.31；Berndt 1994；Hardy 1999；Moree and Cazaran 1999），等效公式如下所示

K=pi/4product_（p素数；=1（mod 4））（1-1/（p^2））^（1/2）。
（10）

弗拉乔莱特和瓦尔迪（1996）公式具有快速收敛

K=1/（平方（2））产品_（n=1）^infty[（1-1/（2^（2^n）））（zeta（2^n））/（beta（2*n））]^（1/2^）（n+1）），
（11）

哪里β（s）是狄利克雷贝塔函数.

另一个封闭形式是

K=lim_（n->infty）（sqrt（lnn））/nsum_（K=1）^n[1-delta_（0，r_2（K））]，
(12)

哪里增量（i，j）是克罗内克三角洲和r2（k）是平方和功能.

W.Gosper使用了相关的公式

K=1/2[1/（Psi（2）-1）]^（sqrt（2）））产品_（K=2）^系数[1/（-Psi（2^K）-1）]^（1/（2^（K+1））），
(13)

哪里

Psi（m）=（mpsi_（m-1）（1/4））/（pi^m（2^m-1）4^（m-1，
(14)

哪里B_n（B_n）是一个伯努利数和磅/平方英寸（x）是一个多囊膜功能（Finch 2003）。

兰多也证明了更有力的事实

lim_（x->infty）（（lnx）^（3/2））/（Kx）[S（x）-（Kx，
(15)

哪里

C类=1/2[1-ln（（pie^gamma）/（2L））]-1/4d/（ds）[ln（product_（p prime；=3（mod 4）））1/（1-p^（-2s）））]_（s=1）
(16)
=0.581948659...
(17)

（组织环境信息系统A085990型),e（电子）是自然对数的底，伽马射线是尤勒·马切罗尼常数、和L（左）是柠檬酸常数.

朗道的证明方法可以推广到

S（x）～Kx/（平方（lnx））
(18)

有一个渐近级数

S（x）=Kx/（平方（lnx））[1+（c_1）/（lnx，
(19)

哪里n个可以任意大，并且cj公司是常数c_1=c（Moree和Cazaran，1999年）。

另请参见

朗道常数,兰道-科尔莫戈罗夫常量,平方数字

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伯恩特，B.C。拉马努扬的笔记本，第四部分。纽约：Springer-Verlag，第60-66页，1994年。伯恩特，公元前。和Rankin，R.A。拉马努扬：信件和评论。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，第25、47页，和1995年第49期。芬奇，S.R。“Landau-Ramanujan常量。”§2.3英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第98-104页，2003Flajolet，P.和Vardi，I.“经典Zeta函数展开常量。“未出版手稿，1996年。http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.哈代，G.H.公司。拉马努扬：关于他的生活和工作所建议主题的十二讲，第三版。纽约：切尔西，第9-10、55和60-641999页。兰道，E.“尤伯在维尔·克拉森（vier Klassen nach der Mindeszahl der）的埃因泰隆（Einteilung der positiven ganzen Zahlen）zu ihrer additiven Zusammensetzung forderlichen Quadrate（添加Zusammessetzung）。"架构（architecture）。数学。物理。 13, 305-312, 1908.兰道，E。汉布赫《德莱赫·冯·德·维泰隆·德·普里姆扎赫伦》，Bd.II，第二版。纽约：切尔西，第641-669页，1953年。Le Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，1983年。P.莫雷和卡扎兰，J.“关于拉马努扬在给哈代的第一封信中提出的主张。”博览会。数学。 17,289-3121999年。A.塞尔伯格。已收集论文，第2卷。柏林：施普林格出版社，第183-1851991页。柄，D.“的渐近展开中的二阶项B（x）”数学。计算。 18, 75-86, 1964.柄，D.“非低能数字。”斐波纳契夸脱。 13, 319-321,1975Shanks，D.和Schmid，L.P。“定理的变化兰道。一、“数学。计算。 20, 551-569, 1966.Shiu先生，P.“计算两个平方和：Meissel-Lehmer方法”数学。计算。 47, 351-360, 1986.新泽西州斯隆。答：。序列A001481号/M0968，A064533号,A085990型、和A164775号在“整数序列在线百科全书”中斯坦利，G.K.公司。“拉马努扬的两个断言。”J.伦敦数学。Soc公司。 三,232-237, 1928.斯坦利，G.K。“两个断言”勘误表由Ramanujan制造。"J.伦敦数学。Soc公司。 4, 32, 1929.Wolfram Research，Inc.“计算Landau-Ramanujan常数”http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/120/.

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Landau-Ramanujan常数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Landau-Ramanujan常量。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Landau-Ramanujan常数.html

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