有限域

有限字段是领域使用有限现场订单（即元素数量），也称为Galois字段。a的顺序有限域始终是首要的或a权力的首要的（Birkhoff和Mac Lane，1996年）。对于每个主要功率，存在确切地一（通常的警告是，“恰好一”意味着“正好一”高达同构“）有限域GF()，通常写为在当前使用中。

GF公司()被称为首要的领域订单的,并且是领域属于残留类模,其中元素表示为0，1。。。，.在GF中()表示与.然而，请注意在中戒指模为4的残数，so2没有倒数，和戒指余数的模4不同于有限包含四个元素的字段。因此，有限字段表示为GF()，而不是GF()，其中，以便清楚。

有限域GF（2）由满足以下加法和乘法表的元素0和1组成。

	0	1
0	0	1
1	1	0

	0	1
0	0	0
1	0	1

如果一个子集有限域元素的使用相同的运算符满足上述公理，然后称为子字段.有限在研究纠错代码.

什么时候？,GF公司()可以是代表作为这个领域属于等效类属于多项式谁的系数属于GF().任何不可约多项式学位产生相同的结果领域高达同构例如，对于GF()，模量可以取为或.使用模量、GF元素()--写入0，,,……可以是表示为 多项式度小于3。例如，

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

现在考虑下表，其中包含有限域元素的几种不同表示。列是幂、多项式表示，多项式表示的三元组系数（矢量表示）和二进制整数相应的到向量表示（正则表示）。

权力	多项式的	矢量	有规律的
0	0	(000)	0
	1	(001)	1
		(010)	2
		(100)	4
		(011)	三
		(110)	6
		(111)	7
		(101)	5

这套多项式在第二列中是关闭在下面附加和乘法模，并且集合上的这些操作满足公理有限域的。这个特殊的有限域被称为GF（2）的3级，书面GF()，场GF（2）称为GF的基场(). 如果不可约的多项式的以这种方式生成所有元素，称为原始的多项式的。对于任何首要的或首要的 权力 以及任何正整数 ，存在一个本原不可约次数多项式超过GF().

对于任何元素GF的(),，对于任何非零要素GF的(),。有一个最小的积极的整数 满足求和条件对于某些元素在GF中(). 这个数字叫做领域特征有限域GF的(). 这个场特性是一个质数对于每个有限域是真的

(6)

在具有特征的有限域上.