戒指

数学意义上的环是设置 加上两个二进制运算符 和（通常分别解释为加法和乘法）满足以下条件：

1.加性关联性：适用于所有,,

2.加法可换性：适用于所有,,

三。加法恒等式：存在元素这样所有人,,

4加法逆运算：对于每个存在这样的话,

5.左右分配：适用于所有人,和,

6.乘法结合性：适用于所有人,（满足这个性质的环有时被明确地称为相联的戒指).

始终需要条件1-5。虽然存在非关联环，但实际上所有文本都需要条件6（Itó1986，第1369-1372页；第418页；Zwillinger 1995，第141-143页；Harris and Stocker 1998；Knuth 1998；Korn and Korn 2000；Bronshtein and Semendyayev 2004）。

环也可以满足各种可选条件：

7.乘法可换性：适用于所有,（满足此属性的环称为可交换的戒指),

8乘法恒等式：存在元素这样所有人,（满足此属性的环称为单元环,或有时是“身份戒指”），

9乘法逆：对于每个在里面，存在一个元素这样所有人,,其中1是身份元素.

满足所有附加属性6-9的环称为领域，而只满足附加属性6、8和9的属性称为分开代数（或斜场）。

一些作者偏离了常规约定，要求（根据他们的定义）一个环包含其他属性。例如，Birkhoff和Mac Lane（1996）定义一个环以具有乘法恒等式（即属性8）。

以下是缺乏特定条件的环的一些例子：

1.无乘法结合性（有时也称为非结合代数）：八元数、OEISA037292号,

2.无乘法交换性：实值 矩阵,四元数,

3.无乘法恒等式：均值整数,

4.无乘法逆：整数.

单词ring是德语单词“Zahlring”（数字环）的缩写。戒指的法语单词是附件现代德语单词是戒指，都是指（毫不奇怪）“环”。弗兰克尔（1914）给出了第一个抽象的定义尽管这项工作没有产生多大影响。引入了术语由希尔伯特描述

通过连续乘以新元素，它最终会循环成为某种东西已经生成，类似于一个环，即，是新的，但是一个整数。全部代数的数字具有此属性，例如。，满足.

环必须包含至少一个元素，但不需要包含乘法恒等式或是可交换的。有限环的数目的元素, 2, ..., 是1、2、2、11、2、4、2、52、11、4、二、22、2、，4, 4, ... （组织环境信息系统A027623号和A037234美元;Fletcher 1980）。如果和是首要的,有两个大小的戒指,四个大小的环,11个大小的环（Singmaster 1964年，德累斯顿），22枚戒指，52个戒指大小对于,和53个大小的戒指对于（巴利厄1947年，吉尔默和莫特1973; 德累斯顿）。

一个戒指可交换的在乘法下，有一个单位元素，并且没有零的除数，称为完整的领域.非零元素构成可交换的乘法组称为领域.最简单的环是整数 ,多项式 和在一个和两个变量中，以及广场 实矩阵.

经过调查发现有趣的环通常以一个或多个研究者的名字命名。不幸的是，这种做法导致了名称对相关环的相关属性了解甚少。

Renteln和Dundes（2005）给出了以下关于环的（糟糕的）数学笑话：

Q： 什么是阿贝尔群正在添加，已关闭，联想、分配和诅咒？A： 尼伯龙之环。