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Double系列

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双倍总和是系列有依赖于两个的条件指数，

总和（i，j）b（ij）。
(1)

有限双级数可以写成级数的乘积

总和（i=1）^（m）总和（j=1）=x_1y_1+x_1y_2++x_2y_1+x_2y_2+。。。
(2)
=（x_1+x_2+…+x_m）y_1+（x_1+x_2+.…+x_ m）y_2+。。。
(3)
=（总和_（i=1）^（m）x_i）（y_1+y_2+…+y_n）
(4)
=（总和i=1）^（m）x_i）。
(5)

无限双级数可以用单级数表示

sum_（k=0）^inftysum_（l=0）
(6)

通过如下重新排序，

b_0（b_0）=c（00）
(7)
b_1=（c（10）+c（11））+c（01）
(8)
b2类=（c20）+c21+c22）+（c02）+c12）
(9)
b_3=（c（30）+c（31）+c32+c33）+（c03）+c13+c23）。
(10)

存在许多无法解析计算的简单双级数示例，例如Erdős-Borwein常数

总和_（i=1）^（infty）总和_（j=1）=sum_（k=1）^（infty）1/（2^k-1）
(11)
=1-（psi_（1/2）（1））/（ln2）
(12)
=1.60669515...
(13)

（组织环境信息系统A065442号)，其中psiq（z）是一个q个-多囊蜂功能.

另一个系列是

总和（m=1）^（infty）总和（n=1）=1/3sqrt（3）是um_（m=1）^（infty）（H_（-mzeta_2）-H_（mzeta_1））/（m^3）
(14)
=1.004457198...
(15)

（组织环境信息系统A091349号)，其中H_n（H_n）是一个谐波数和zeta_k=e^（2piik/3）是统一的立方体根。

可通过以下公式进行分析的双级数

zeta（2）=sum_（i=1）^inftysum_（j=1）|infty（i-1）！（j-1）！）/（（i+j）！），
(16)

哪里泽塔（2）是黎曼-泽塔函数泽塔(2)（B.Cloitre，《囚犯通讯》，2004年12月9日）。

双系列

S=sum_（m=1）^inftysum_（n=1）_infty（m^2n）/（3^m（n·3^m+m·3^n））
(17)

可以通过交换进行评估米和n个和平均值，

S公司=1/2[总和（m=1）^（infty）总和（n=1）
(18)
=1/2总和_（m=1）^（infty）总和_（n=1）
(19)
=1/2（总和_（m=1）^（有效）m/（3^m））^2
(20)
=9/(32)
(21)

（博温等。2004年，第54页）。

涉及双和的恒等式包括以下内容：

sum_（p=0）^inftysum_（q=0.）^pa_（q，p-q）=sum_，
(22)

哪里

|_r/2_ |={1/2r偶数r；1/2（r-1）r奇数
(23)

是楼层功能、和

sum_（i=1）^nsum_（j=1）|nx_ix_j=n^2<x^2>。
(24)

考虑一下这个系列

S（a，b，c；S）=总和^'_（m，n=-infty）^infty（am^2+bmn+cn^2）^（-S）
(25)

超过二进制二次型，其中素数表示对所有的米和n个但不包括该术语（m，n）=（0,0）.如果S公司可以分解为以下乘积的线性和迪里克莱L系列，据说它是可解的。相关金额

S_1（a、b、c；S）=总和^'_（m，n=-infty）^infty（-1）^m（am^2+bmn+cn^2）^（-s）
(26)
S_2（a，b，c；S）=总和^'_（m，n=-infty）^infty（-1）^n（am^2+bmn+cn^2）^（-s）
(27)
S_（1,2）（a，b，c；S）=总和^'_（m，n=-infty）^infty（-1）^（m+n）（am^2+bmn+cn^2）^
(28)

也可以定义，这给人留下了如此深刻的印象公式作为

S_1（1,0,58；1）=-（桩（27+5平方（29）））/（平方（58））
(29)

（Glasser和Zucker，1980年）。所有可解的主解的完整表S（a、b、c；S）用Glasser和Zucker表示（1980年，第126-131页）。

这个格和 b2（2秒）可以分为两部分，

b2（2秒）=总和^'_（i，j=-infty）^infty（（-1）^（i+j））/（（i^2+j^2）^s）
(30)
=总和_（i=1）^（infty）总和_（j=1）j^2）^s）+总和（i=-1）^（-infty）总和_（j=-1）^i） /（i^（2s））+总和_（i=1）^（infty）（（-1）^i）/（i*2s）
(31)
=4[总和_（i，j=1）^（infty）（（-1）^
(32)
=4[总和_（i，j=1）^（infty）（（-1）^，（i+j））/（（i^2+j^2）^s）-eta（2s）]，
(33)

哪里eta（n）是狄利克雷eta函数.使用的分析形式点阵和

b2（秒）=-4beta（s）eta（s）
(34)
=4[S_（1,2）（1,0,1；S）-eta（2s）]，
(35)

哪里β（s）是Dirichletβ函数提供了总和

S_（1,2）（1,0,1；S）=总和_（i，j=1）^（infty）（（-1）^，（i+j））/（（i^2+j^2）^s）
(36)
=eta（2s）-eta（s）β。
(37)

博文和博文（1987年，第291页）表明R[s]>1,

总和^'_（i，j=-infty）^infty1/（（i^2+j^2）^s）=4β（s）zeta（s）
(38)
总和^'_（i，j=-infty）^infty（（-1）^j）/（（i^2+j^2）^s）=2^（-s）b2（2s），
(39)

哪里泽塔是黎曼-泽塔函数，适当时秒,

总和_（i，j=1）^（infty）（（-1）^=eta（s）-eta（s-1）
(40)
总和_（i，j=1）^（infty）（（-1）^=2^（-s）泽塔
(41)
总和_（i，j=1）^（infty）1/（（i+j）^s）=zeta（s-1）-zeta（s）
(42)
总和^'_（i，j=-infty）^infty（（-1）^（i+j+1））/（（|i|+|j|）^s）=4eta（s-1）
(43)
总和^'_（i，j=-infty）^infty1/（（i+j）^s）=4zeta（s-1）
(44)
总和_（i，j=0）^（infty）（（-1）^，（i+j））/（（2i+j+1）^s）=1/2（1-2^（-s））eta（s）+1/2（s）
(45)

（博文和博文1987年，第305页）。

另一个双系列约简公式如下

sum_（m，n=-infty）^infty（F（|2m+2n+1|））/（cosh[（2n+1）u]cosh（2nu））=2sum_，
(46)

哪里F类表示任何函数（Glasser 1974）。

另请参见

欧拉总和,格点和,马德隆常数,多个系列,多元Zeta函数,系列,三重系列,魏尔斯特拉斯双级数定理

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工具书类

Borwein，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R。数学实验：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2004J.M.博文。和Borwein，P.B。圆周率&AGM：分析数理论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，1987年。Glasser，M.L。“减少公式多个系列。"数学。计算。 28, 265-266, 1974.格拉瑟，M.L.公司。和I.J.Zucker。“格和”In视角《理论化学：进展与展望》第5卷（编辑：H.Eyring）。纽约：学术出版社，第67-139页，1980年。G.H.哈代。“打开某些多重级数的收敛性。"程序。伦敦数学。Soc公司。 2,24-28, 1904.G.H.哈代。“关于某些倍数的收敛性系列。"程序。剑桥数学。Soc公司。 19, 86-95, 1917.杰弗里斯，H.和Jeffreys，B.S。《双系列》§1.053方法数学物理第三版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第16-17页，1988年。Meyer，B.“关于交替的收敛性双系列。"阿默尔。数学。每月 60, 402-404, 1953.Móricz，F.“关于多重级数正则收敛概念的一些注记”数学学报。饥饿。 41, 161-168, 1983.新泽西州斯隆。答：。序列A065442号和A091349号在“整数序列在线百科全书”中威兰斯基，A.“关于双级数的收敛性。”牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 53,793-799, 1947.I.J.祖克。和M.M.Robertson。“一些Dirichlet的性质L（左）-系列。"《物理学杂志》。A： 数学。消息。 9第1207-12141976a页。祖克，I.J。和M.M.Robertson。“评估的系统方法总和（（m，n！=0,0））（am^2+bmn+cn^2）^（-s）."《物理学杂志》。A： 数学。消息。 9第1215-1225页，第1976b页。

参考Wolfram | Alpha

Double系列

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“双系列。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DoubleSeries.html

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