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布冯针问题

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布冯针

Buffen的针头问题要求找到长度为我将降落在一条直线上，给定一个楼层等间距平行 线一段距离d日分开。1733年，法国博物学家布冯首次提出了这个问题（布冯1733年，第43-45页），1777年布冯用溶液复制（布冯1777年，第100-104页）。

定义尺寸参数x个通过

x=升/天。
(1)

对于短针（即比两条线之间的距离短的针）x=l/d<1),概率P（x）针落在一条线上

P（x）=int_0^（2pi）（l|costheta|）/d（dtheta）/（2π）
(2)
=（2l）/（pid）int_0^（pi/2）costhetadtheta
(3)
=（2l）/（pid）
(4)
=（2倍）/pi。
(5)

对于x=l/d=1,因此，这成为

P（x=1）=2/pi=0.636619。。。
(6)

（组织环境信息系统A060294号).

对于长针（即，比两条线之间的距离长一倍，以便x=l/d>1)，它的概率相交至少有一行稍微复杂一些表达

P（x）=2/pi（x-sqrt（x^2-1）+秒^（-1）x），
(7)

其中（乌斯彭斯基1937年，第252和258页；昆克尔）。

BuffonsNeedle概率

写作

P（x）={（2x）/pi对于x<=1；2/pi（x-sqrt（x^2-1）+sec^（-1）x）对于x>1
(8)

然后给出上面所示的图。通过注意以下内容可以得出上述结论

P（x）=int_0^（φ/2）int_（lsinphi/2）f_sf_phidsdphi，
(9)

哪里

fs（模糊）={2/d表示0<=x<=1/2d；0表示x>1/2d
(10)
fφ=2/磅
(11)

是距离的概率函数吗秒针的中点秒从最近的直线和角度φ由针和线构成，相交发生什么时候0<=s<=（lsinphi）/2,和φ可以限制为[0，pi/2]通过对称性。

让N个是交叉线的数量n个具有尺寸参数的短针的翻转x个.然后N个有一个二项分布带参数n个和2倍/磅.的点估计θ=1/pi由提供

θ^^=N/（2xn），
(12)

它既是一致最小方差无偏估计量，又是方差的最大似然估计量（Perlman和Wishura 1975）

var（θ^^）=θ/（2n）（1/x-2θ），
(13)

在这种情况下x=1，给出

var（θ^2）=（θ^2（1-2θ））/（2θ）。
(14)

估计员pi^^=1/θ^^对于圆周率称为布冯估计量，是给定的渐近无偏估计量通过

pi^^=（2xn）/N，
(15)

哪里x=升/天,n个是投掷次数，以及N个是线路交叉的数量。它具有渐近方差

avar（pi^^）=（pi^2）/（2n）（pi/x-2），
(16)

对于这个案子x=1，成为

阿瓦尔（pi^^）=（pi^2（1/2pi-1））/n
(17)
大约 （5.6335339）/个
(18)

（组织环境信息系统A114598号; 曼特尔1953年；所罗门1978年，第7页）。

布冯针抛掷

上图显示了一个长度参数的针500次抛撒的结果x=1/3，其中针穿过一条线以红色显示，缺少的以绿色显示。107次投掷越过一条线，给pi^^=3.116+/-0.073.

布冯托斯

为了通过实验确定圆周率通过不必要的操作。圆周率由a（短）的五个独立的掷数系列计算上图显示了每一次试验中100万次抛掷的针x=1/3用于讨论相关统计数据和关键分析一种更准确（也是最不可信）的针织品，请参阅Badger（1994年）。乌斯彭斯基（1937年，第112-113页）讨论了所进行的实验有2520、3204和5000次试验。

这个问题可以扩展到“针”的形状凸多边形具有广义直径较少的比d日.多边形的边界将横断其中一行由以下公式给出

P=P/（pid），
(19)

哪里第页是周长多边形（Uspensky 1937年，第253页；所罗门1978年，第18页）。

把一根针扔在由两组垂直线组成的板子上得到的进一步推广称为布冯·拉普拉斯针头问题.

另请参见

布丰拉普拉斯针问题,清洁瓷砖问题

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更多需要尝试的事情：

工具书类

Badger，L.“拉扎里尼的幸运近似圆周率."数学。美格。 67,83-91, 1994.Bogomolny，A.“布冯面”http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/Buffon.shtml.博文，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，第139页，2003年。Buffen，G.编辑关于一次讲座的笔记Le Clerc de Buffon先生于1733年向巴黎皇家科学院捐赠。《阿卡德历史》。罗伊。des科学。第43-45页，1733页。布冯，G.“Essai d’arithmétique士气。”盖内拉尔·自然历史特别补充 4, 46-123, 1777.迪亚科尼，P.“布冯的长针问题。”J.应用。问题。 13,614-618, 1976.Dörie，H.“布冯的针头问题”第18条在里面100初等数学的大问题：它们的历史和解决方法。新建约克：多佛，第73-77页，1965年。Edelman，A.和Kostlan，E.“如何随机多项式的许多零是实数？"牛市。阿默尔。数学。Soc公司。 32,1-37, 1995.P.霍夫曼。这个只爱数字的人：保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约：Hyperion，第209页，1998年。R·艾萨克。这个概率的乐趣。纽约：Springer-Verlag，1995年。肯德尔，M.G.公司。和Moran，P.A。第页。几何概率。纽约：哈夫纳，1963年。Klain、Daniel A.和Rota，G.-C.公司。介绍几何概率。纽约：剑桥大学出版社，1997年。克拉奇克，M.《针头问题》§6.14数学娱乐。纽约：W.W。诺顿，第132页，1942年。昆克尔，P.“布冯针”http://whisterralley.com/buffon/buffon.htm.曼特尔，L.“布冯针问题的推广”安。数学。斯达。 24,674-677, 1953.R.A.莫顿。“预期数量和角度平面中随机曲线之间的交点。"J.应用。问题。 三,559-562, 1966.Perlman，M.和Wichura，M.“锐化布冯”打捆针。"阿默尔。斯达。 20, 157-163, 1975.桑塔洛，洛杉矶。完整的几何和几何概率。雷丁，马萨诸塞州：艾迪森·韦斯利，1976年。舒斯特，E.F.公司。“布冯的针实验。”阿默尔。数学。每月 81,26-29, 1974.新泽西州斯隆。答：。序列A060294号和A114598号在线百科全书整数序列的。"Solomon，H.“布冯针问题，扩展和估计圆周率.“Ch.1英寸几何概率。宾夕法尼亚州费城：SIAM，第1-24页，1978年。斯托卡，M.“凸试验体的布冯型问题”塞明会议。材料。巴里大学，第2681-171998号。J.V.乌斯彭斯基。“布冯的针问题、“布冯问题的推广”和“第二个布冯问题的解决方案。“§12.14-12.16介绍数学概率。纽约：McGraw-Hill，第112-115、251-255页，和2581937年。Wegert，E.和Trefethen，L.N。“来自自助餐克雷斯矩阵定理的针问题。"阿默尔。数学。每月 101,132-139, 1994.威尔斯，D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅图书，第53页，1986年。伍德，G.R。和J.M.Robertson。“布冯说得很清楚。”统计概率。莱特。 37, 415-421,1998

参考Wolfram | Alpha

布冯针问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“布冯针问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

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