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清洁瓷砖问题

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干净的瓷砖是布冯（1777）研究的一种游戏，在该游戏中，玩家对投掷的硬币将部分覆盖在规则地板上的不同瓷砖的数量进行下注平铺。布冯调查了三角形网格,方形网格,六边形网格，网格由菱形的假设瓷砖边长我大于硬币直径d日然后，在方形网格上，硬币有可能落下从而部分覆盖1、2、3或4块瓷砖。在三角形网格上，它可以着陆在1、2、3、4或6块瓷砖上。在六边形网格上，它可以落在1、2或3块瓷砖上。

此游戏的特殊情况布冯-拉普拉斯针问题（对于方形网格）和布冯的针头问题（对于无限等距平行线）。

清洁瓷砖方块1清洁方形网格上的瓷砖

如上图所示，在正方形网格带瓷砖边缘长度我,直径的硬币d日将完全位于单个磁贴上（用黄色磁盘表示图中）由

P_1=（（1-d）^2）/（l^2）=（1-d/l）^2，
(1)

因为从边长的正方形插入得到的正方形的边缩短了我按硬币的半径第二天由提供

Deltal=2（1/2d）=d。
(2)

它位于两个或多个（用红色磁盘表示）上的概率是

P_（>=2）=1-P_1=1-（1-d/l）^2。
(3)

为了使游戏公平，两名玩家在（1）一块或（2）两块或多块瓷砖上下注，这些数量必须相等，这就

d=1/2（2平方（2））l=0.29289…l。
(4)
清洁瓷砖方形2

正好落在两块瓷砖上的概率是上图中阴影区域与瓷砖尺寸的比率，即

第2页=4天/（2升）（1天/升）
(5)
=2（1天/升）天/升。
（6）
清洁瓷砖方块3

在上方形网格，硬币恰好落在三块瓷砖上的概率是所示区域覆盖的瓷砖的分数在上图中，

P_3=（d^2-pi（1/2d）^2）/（l^2）=（1-1/4pi）（d^2）或（l^ 2）。
(7)
清洁瓷砖方形4

类似地，硬币落在四块瓷砖上的概率是圆盘覆盖的瓷砖的分数，如上图所示，

P_4=（π（1/2d）^2）/（l^2）=1/4π（d^2）或（l^ 2）。
(8)
CleanTile三角形清洁三角形网格上的瓷砖

如上图所示，在三角形网格带瓷砖边缘长度我，直径硬币的概率d日将完全位于单个瓷砖上

P_1=（（l-sqrt（3）d）^2）/（l^2）=（1-sqert（3）d/l）^2，
(9)

由于从边长为三角形的三角形中镶嵌得到的等边三角形的边的缩短我按硬币的半径第二天是

Deltal=2（1/2dcot30度）=sqrt（3）d。
(10)

它躺在两个或两个以上的人身上的概率只是

P_（>=2）=1-P_1=1-（1平方（3）d/l）^2。
(11)

为了使游戏公平，两名玩家在（1）一块或（2）两块或多块瓷砖上下注，这些数量必须相等，这就

d=1/6（2平方（3）-平方（6））l=0.16910…l。
(12)
清洁瓷砖六边形

如上图所示，在六边形网格带瓷砖边缘长度我，直径为d日将完全位于单个瓷砖上

P_1=（（l-1/3sqrt（3）d）^2）/（l^2）=（1-1/3sqort（3）d/l）^2，
(13)

因为正六边形的边是由边长三角形插入而得到的我按硬币的半径第二天是

Deltal=2（1/2）秒30度=1/3sqrt（3）天。
(14)

它位于两个或多个上的概率是

P_（>=2）=1-P_1=1-（1-1/3sqrt（3）d/l）^2。
(15)

为了使游戏公平，两名玩家在（1）一块或（2）两块或多块瓷砖上下注，这些数量必须相等，这就

d=1/2（2平方（3）-平方（6））l=0.50730…l。
(16)
清洁瓷砖菱形

在一个四边形平铺由菱形开口角形成θ,从边长的菱形中嵌入我给予

德尔塔_1=1/2公吨
(17)
德尔塔_2=1/2 dtantheta，
(18)

所以

Deltal=Deltal_1+Deltal_2=1/2d（cottheta+tantheta）=1/2 dcscthethetasectheta。
(19)

因此，硬币落在单个瓷砖上的概率为

第1页=（（l-1/2dcscthethetasectheta）^2）/（l^2）
(20)
=（1-d/（2l）cscthetasectheta）^2。
（21）

它位于两个或多个上的概率是

P_（>=2）=1-P_1=1-（1-d/（2l）cscthetasectheta）^2。
(22)

为了使游戏公平，两名玩家在（1）一个牌或（2）两个或多个牌上下注，这些数量必须相等

d=（2-sqrt（2））lcosheta。
(23)

正如预期的那样，这就简化为θ=π/4.

另请参见

布丰拉普拉斯针问题,布冯针问题

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工具书类

布冯（G.Buffon），“埃萨伊·达利特梅提克（Essai d’arithmétique）士气”Historie naturelle，générale er particulère，补遗 4,46-123, 1777.马泰，A.M。“干净瓷砖问题。”§1.1.1英寸安几何概率导论：分布方面及其应用。泰勒和弗朗西斯：第2-5页，1999年。所罗门，H。几何概率。宾夕法尼亚州费城：SIAM，1978年。

参考Wolfram | Alpha

清洁瓷砖问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“清洁瓷砖问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CleanTileProblem.html网址

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