布冯·拉普拉斯针问题

布冯-拉普拉斯针问题要求找出概率一根有长度的针将降落在至少一条线上，给定一个带网格的楼层等间距的平行 线距离和分开，与.可以用点指定针的位置及其与坐标的方向。通过对称性，我们可以考虑网格，所以和。此外，由于相反方向是等效的，我们可以。

概率由下式给出

哪里

（乌斯彭斯基1937年，第256页；所罗门1978年，第4页）

这个问题首先由布冯（1777年，第100-104页）解决，但他的推导中包含了一个错误。拉普拉斯给出了正确的解决方案（1812，第359-362页；拉普拉斯1820，第365-369页）。

如果以便和,那么，一根针穿过0、1和2条线的概率为

定义作为中的次数一根短针正好穿过行，变量有一个二项式分布带参数和，其中（Perlman和Wichura，1975年）。的点估计由提供

它是方差一致最小方差无偏估计量

（Perlman和Wishura 1975）。估计员对于然后由给出

这具有渐近方差

其中，对于，成为

（组织环境信息系统A114602号).

上面说明了一组针的长度样本试验，其中与0条线相交的针显示在绿色，那些与单线相交的显示为黄色，那些相交的显示两条线显示为红色。

如果平面是用带边的全等三角形平铺的,,和一根有长度的针低于抛出的最短高度，概率针完全包含在其中一个三角形内，由下式给出

哪里,,和角度相反吗,、和分别为和是地区三角形的。对于一三角形网格由等边三角形组成，这简化为

（马尔科夫1912年，第169-173页；乌斯彭斯基1937年，第258页）。