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布冯·拉普拉斯针问题


布冯蓝宝石针

布冯-拉普拉斯针问题要求找出概率P(l,a,b)那是一根很长的针我将降落在至少一条线上,给定一个带网格的楼层等间距的平行 线距离一b条分开,与l<a,b.可以用点指定针的位置(x,y)及其与坐标的方向φ。通过对称性,我们可以考虑网格,所以0<x<a0<y<b此外,由于相反方向是等效的,我们可以-pi/2<phi<pi/2

概率由下式给出

 P(l;a,b)=1-(int_(-pi/2)^(pi/2)F(phi)dphi)/(piab),
(1)

哪里

 F(phi)=ab blcosphi la | sinphi |+1/2l ^2 | sin(2phi)|
(2)

(乌斯彭斯基1937年,第256页;所罗门1978年,第4页)

 P(l;a,b)=(2l(a+b)-l^2)/(piab)。
(3)

这个问题首先由布冯(1777年,第100-104页)解决,但他的推导中包含了一个错误。拉普拉斯给出了正确的解决方案(1812,第359-362页;拉普拉斯1820,第365-369页)。

Buffon LaplaceNeedle概率

如果a=b以便x=l/a=l/b0<x<1,那么,一根针穿过0、1和2条线的概率为

P_0(零)=1-(x(4-x))/pi
(4)
第1页=(2倍(2倍))/π
(5)
第2页=(x^2)/π。
(6)

定义i(_i)作为中的次数n个一根短针正好穿过n个行,变量N_1+N_2有一个二项式分布带参数n个米/皮,其中m=x(4-x)(Perlman和Wichura,1975年)。的点估计θ=1/pi由提供

 θ^^=(N_1+N_2)/(mn),
(7)

它是方差一致最小方差无偏估计量

 var(θ^^)=θ/n(1/m-θ)
(8)

(Perlman和Wishura 1975)。估计员pi^^=1/θ^^对于圆周率然后由给出

 pi^^=(x(4x-x^2))/(1-(N_0)/N)。
(9)

这具有渐近方差

 avar(pi^^)=(pi^2(4x-x^2-pi))/(nx(x-4)),
(10)

其中,对于x=1,成为

阿瓦尔(pi^^)=(pi^2(pi-3))/(3n)
(11)
 大约 (0.465821)/个
(12)

(组织环境信息系统114602英镑).

Buffon LaplaceNeedle问题

上面说明了一组针的长度样本试验a/l=b/l=0.3,其中与0条线相交的针显示在绿色,那些与单线相交的显示为黄色,那些相交的显示两条线显示为红色。

如果平面是用带边的全等三角形平铺的一,b条,c(c)和一根有长度的针我低于抛出的最短高度,概率针完全包含在其中一个三角形内,由下式给出

 P=1+((Aa^2+Bb^2+Cc^2)l^2)/(8piK^2)-((4a+4b+4c-3l)l)/(4piK),
(13)

哪里A类,B类,C类角度相反吗一,b条、和c(c)分别为和K(K)地区三角形的。对于三角形网格由等边三角形组成,这简化为

 P=1+2/3(l/a)^2-(lsqrt(3))/(pia)(4-l/a)
(14)

(马尔科夫1912年,第169-173页;乌斯彭斯基1937年,第258页)。


另请参见

布冯针问题,清洁瓷砖问题

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布冯(G.Buffon),“埃萨伊·达利特梅提克(Essai d’arithmétique)士气”Historie naturelle,générale er particulère,补遗 4,46-123, 1777.拉普拉斯,P.S。概率分析。巴黎:Veuve Courcier,1812年。拉普拉斯,P.S。塞奥里概率分析,第三版。巴黎:Veuve Courcier,1820年。标记,答:A。Wahrscheinlichkeitsrechnung公司。德国莱比锡:托布纳,1912年。佩尔曼,M.和Wichura,M.“磨布冯针”阿默尔。斯达。 20,157-163, 1975.E.F.舒斯特。“布冯的针实验。”阿默尔。数学。每月 81, 26-29, 1974.新泽西州斯隆。答:。顺序A114602号在线百科全书整数序列的。"所罗门,H。几何概率。宾夕法尼亚州费城:SIAM,第3-6页,1978年。乌斯彭斯基,J.V。《拉普拉斯问题》§12.17介绍数学概率。纽约:McGraw-Hill,第255-257页,1937年。

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布冯·拉普拉斯针问题

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“布冯·拉普拉斯针问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Buffon-LaplaceNeedleProblem.html

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