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二元正态分布

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二元正态分布是具有可能性密度函数

P（x_1，x_2）=1/（2pisigma_1sigma_2sqrt（1-rho^2））exp[-z/（2（1-rho2））]，
(1)

哪里

z=（（（x_1-mu_1）^2）/（σ_1^2）-（2rho（x_1-mu_1，（x_2-mu_2））/（∑_1σ_2）+（（x_2-mu_2）^2，
(2)

和

rho=cor（x_1，x_2）=（V_（12））/（sigma_1sigma_2）
(3)

是相关性属于x_1和x2个（Kenney和Keeping，1951年，第92页和202-205页；Whittaker罗宾逊1967年，第329页）和V_（12）是协方差。

这个概率密度函数二元正态分布的多正态分布[{亩1,亩2},{{西格玛11,西格玛12},{西格玛12,西格玛22}}]在中沃尔夫拉姆语言包裹多元统计`.

这个边际概率那么是

P（x_1）=int_（-infty）^inftyP（x_1，x_2）dx_2
(4)
=1/（西格玛_1sqrt（2pi））e^（-（x_1-mu_1）^2/（2sigma_1^2））
(5)

和

P（x_2）=int_（-infty）^inftyP（x_1，x_2）dx_1
(6)
=1/（西格玛_2sqrt（2pi））e^（-（x_2-mu_2）^2/（2sigma_2^2））
(7)

（Kenney和Keeping 1951，第202页）。

让Z_1号和Z_2公司是两个独立的正态变量方法 mu_i=0和σ_i^2=1对于i=1, 2. 然后是变量a_1和a_2型下面定义的是带单位的正规双变量方差和相关系数 ρ:

a_1=平方根（（1+rho）/2）z1+sqrt（（1-rho）/2）z2
(8)
a_2型=平方根（（1+rho）/2）z1-sqrt（（1-rho）/2）z2。
(9)

为了推导二元正态概率函数，设X_1型和X_2型为正态独立分布变量意思是0和方差1，然后定义

Y_1年=mu_1+西格玛_（11）X_1+西格玛_（12）X_2
(10)
Y_2型=mu_2+西格玛_（21）X_1+西格马_（22）X_2
(11)

（Kenney和Keeping 1951，第92页）。变量Y_1年和Y_2型则其本身为正态分布方法 mu_1和二氧化锰,差异

西格玛_1^2=σ（11）^2+σ（12）^2
(12)
西格玛2^2=σ（21）^2+σ（22）^2，
(13)

和协方差

V_（12）=西格玛_（11）西格玛_（21）+西格玛_（12）西格玛_（22）。
(14)

这个协方差矩阵定义为

V_（ij）=[sigma_1^2 rhosigma_1sigma_2；rhosigma _1sigma _2 sigma_2^2]，
(15)

哪里

ρ=（V_（12））/（sigma_1sigma_2）=（sigma（11）sigma_（21）+sigma。
(16)

现在，联合概率密度函数x_1和x2个是

f（x_1，x_2）dx_1dx_2=1/（2pi）e^（-（x_1^2+x_2^2）/2）dx_1dx_2，
(17)

但从（◇）和（◇

[y1-mu1；y2-mu2]=[西格玛（11）西格玛12；西格玛21西格玛22）][x1；x2]。
(18)

只要

|σ（11）σ（12）；σ（21）σ（22）=0,
(19)

这个可以倒过来给

[x_1；x_2]=[σ（11）σ（12）；σ（21）sigma（22）]^（-1）[y1-mu1；y2-mu2]
(20)
=1/（σ（11）σ（22）-σ（12）σ。
(21)

因此，

x_1^2+x_2^2=（[西格玛（22）（y1-mu1）-西格玛+（[-σ（21）（y1-mu1）+σ（11）（y2-mu2）]^2）/，
(22)

并扩展分子第页，共页(22)给予

sigma_（22）^2（y_1-mu_1）^2-2sigma_（12）sigma_（22）（y_1-mu_1）（y_2-mu_2）+sigma_（12）^2（y_2-mu_2）^2+sigma_（21）^2（y_1-mu_1）^2-2sigma_（11）sigma_（21）（y_1-mu_1）（y_2-mu_2）+sigma_（11）^2（y_2-mu_2）^2，
(23)

所以

（x1^2+x2^2）（σ（11）σ（22）-σ（12）σ=（y1-mu_1）^2（σ_（21）^2+σ_=西格玛_2^2（y1-mu_1）^2-2（y1-mu_1）（y2-mu_2）（rhosigma_1sigma_2）+西格玛_1^2=西格玛_1^2sigma_2^2[（（y_1-mu_1）^2）/（sigma_1^2）-（2rho（y_1/mu_2）（y_2-mu_2））/（sigma_1sigma_2）+（y_2-mu_2）^2。
(24)

现在分母（◇）为

西格玛（11）^2sigma（21）^2+西格玛-2sigma_（11）sigma_（12）sigma_（21）sigma_（22）-sigma_（12）^2sigma_（22）^2=（sigma_（11）sigma_（22）-sigma_（12）sigma_（21））^2，
(25)

所以

1/（1-rho^2）=1/（1-（V_（12）^2）/（σ_1^2σ_2^2））
(26)
=（西格玛_1^2sigma_2^2）/（西格马_1^2sigma_2^2-V_（12）^2）
(27)
=（西格玛_1^2sigma_2^2）/（（西格马（11）^2+西格玛（12）^2）。
(28)

可以简单地写成

1/（1-rho^2）=（sigma_1^2sigma_2^2）/（（sigma（11）sigma，
(29)

和

x_1^2+x_2^2=1/（1-rho^2）[（（y_1-mu_1）^2）/（sigma_1^2）-（2rho（y_1/mu_1，y_2-mu_2））/（sigma_1sigma_2）+（y_2-mo2）^2/（sigma _2^2）]。
(30)

解决x_1和x2个并定义

ρ′=（σ1σ2 sqrt（1-rho^2））/（σ（11）σ（22）-σ（12）σ
(31)

给予

x_1=（sigma_（22）（y_1-mu_1）-sigma_（12）（y_2-mu_2））/（rho^'）
(32)
x2个=（-σ（21）（y1-mu1）+σ（11）（y2-mu2））/（rho^'）。
(33)

但是雅可比（Jacobian）是

J（（x_1，x_2）/（y_1，y_2））=|（部分x_1）/（部分y_1）（部分x_2）/（局部y_2）；（partialx_2）/（partialy_1）（partial x2）/（partialy_2）|=|（σ_（22））/（rho^'）-（σ_（12）/（ρ^'）-（σ_（21））/（rho^'）|
(34)
=1/（rho^（'2））（σ（11）σ（22）-σ（12）σ
(35)
=1/（rho^'）=1/（σ_1σ_2sqrt（1-rho^2）），
(36)

所以

dx_1dx_2=（dy_1dy_2）/（σ_1sigma_2sqrt（1-rho^2））
(37)

和

1/（2pi）e^（-（x_1^2+x_2^2）/2）dx_1dx_2=1/（2pisigma_1sigma_2sqrt（1-rho^2））exp[-z/（2（1-rho2））]dy_1dy_2，
(38)

哪里

z=（（y1-mu_1）^2）/（sigma_1^2）-（2rho（y1-mu_1）（y2-mu_2））/（sigma_1sigma_2）+（y2-mu_2）^2。
(39)

按季度计算。

这个特征函数双变量的正态分布由下式给出

φ（t1，t2）=int_（-infty）^inftyint_（-inpty）^ inftye^（i（t1x_1+t2x_2））P（x_1，x_2）dx_1dx_2
(40)
=第九个（-infty）^inftyint_（-infity）^inft（i（t1x_1+t2x_2））exp[-z/（2（1-rho^2））]dx_1dx_2，
(41)

哪里

z=[（（x_1-mu_1）^2）/（σ_1^2）-（2rho（x_1-mu_1，（x_2-mu_2））/（∑_1σ_2）+（（x_2-mu_2）^2
(42)

和

N=1/（2pisigma_1sigma_2sqrt（1-rho^2））。
(43)

现在让我们

u个=x_1-mu_1
(44)
w个=x2-mu_2。
(45)

然后

φ（t1，t2）=N^’int_（-infty）^ infty（e^（it_2w）exp[-1/（2（1-rho^2））（w^2）/（sigma_2^2）]）int_（-infty），
(46)

哪里

v（v）=-1/（2（1-rho^2））1/（σ_1^2）[u^2-（2rhosigma_1w）/（σ_2）u]
(47)
N ^’=（e^（i（t1mu_1+t2mu_2））/（2pisigma_1sigma_2sqrt（1-rho^2））。
(48)

完成正方形在内积分中

int_（-infty）^inftyexp{-1/（2（1-rho^2））1/（σ_1^2）[u^2-（2rhosigma_1w）/（σ_2）u]}e^（t1u）du=int_（-infty）^inftyexp{-1/（2sigma_1^2（1-rho^2））[u-（rho_1sigma_1w）/（sigma^2）]^2}{1/（2simma_1^2）（1-rho2））（（rho_1sigma_ 1w）／（sigma _2））^2}e^（it_1u）du。
(49)

重新排列以使指数取决于w个在内部积分外，让

v=u-rho（σ1w）/（σ2），
(50)

和写作

e^（it_1u）=cos（t1u）+isin（t1u
(51)

给予

φ（t1，t2）=N^’int_（-infty）^ inftye^（it_2w）exp[-1/（2sigma_2^2（1-rho^2））w^2]exp[（rho^ 2）/（2ssigma_2*2（1-rro^2+（rhosigma_1w）/（sigma_2）]}dvdw。
(52)

将术语扩展为大括号表示

[cos（t1v）cos（（rhosigma_1wt1）/（sigma_2））-sin=[cos（（rhosigma_1wt_1）/（sigma_2））+isin（（rhosigma_1wt_1）/（sigma_2））][cos（t_1v）+isin（t_1v）]=exp（（irhosigma_1w）/（sigma_2）t_1）[cos（t_1v）+isin（t_1v）]。
(53)

但是e^（-ax^2）sin（bx）是古怪的，所以正弦项上的积分为零，我们只剩下

φ（t1，t2）=N^’int_（-infty）^ inftye^（it_2w）exp[-（w^2）/（2sigma_2^2）]exp[（rho^2w^2，（2simma_2^2（1-rho^2）））]exp[（irhosigma_1wt_1）/（sigma_2）]dwint_（-infty）=N^’int_（-infty）^ inftyexp[iw（t2+t1（rho（sigma_1）/（sigma _2）））]exp[-（w^2）/。
(54)

现在评估高斯积分

int_（-infty）^inftye（ikx）e^（-ax^2）dx=int_（-infty）^inftye（-ax^2）cos（kx）dx
(55)
=平方（pi/a）e^（-k^2/4a）
(56)

以获取特征功能,

φ（t1，t2）=（e^（i（t1mu_1+t2mu_2））/（2pisigma_1sigma_2sqrt（1-rho^2）=e^（i（t1mu_1+t2mu_2））exp{-1/2[t2^2sigma_2^2+2rhosigma_1sigma2t1t_2+rho^2simma_1^2t_1^2+（1-rho^2）sigma_1^2t_1^2]}=经验[i（t1mu_1+t2mu_2）-1/2（σ_1^2t_1^2+2ρσ_1σ_2t_1t_2+σ_2^2t_2^2）]。
(57)

在奇异情况下

|σ（11）σ（12）；σ（21）σ（22）|=0
(58)

（Kenney和Keeping 1951，第94页）

σ（11）σ（22）=σ（12）σ
(59)
y_1型=μ1+西格玛（11）x_1+西格玛（12）x_2
(60)
y2（y2）=mu2+（σ（12）σ（21））/（σ
(61)
=mu2+（σ（11）σ（21）x1+σ（12）σ
(62)
=mu2+（西格玛（21））/（西格马（11）），
(63)

所以

y_1型=mu_1+x_3
(64)
y2（y2）=mu2+（西格玛（21））/（西格马（11））x3，
(65)

哪里

x_3个=y_1-mu_1
(66)
=（sigma_（11））/（sigma_（21））（y_2-mu_2）。
(67)

标准化二元正态分布取西格玛1=西格玛2=1和mu_1=mu_2=0。这种特殊情况下的象限概率为然后通过以下公式进行分析

P（x_1<=0，x_2<=0）=P（x_1>=0，x_2>=0）
(68)
=整数_（-infty）^0整数_（-infty）*0P（x_1，x_2）dx_1dx_2
(69)
=1/4+（sin^（-1）rho）/（2pi）
(70)

（Rose and Smith，1996年；Stuart and Ord，1998年；Rose and Smith，2002年，第231页）。同样，

P（x_1<=0，x_2>=0）=P（x_1>=0，x_2<=0）
(71)
=int_（-infty）^0int_0^inftyP（x_1，x_2）dx_1dx_2
(72)
=（cos^（-1）rho）/（2pi）。
(73)

另请参见

Box-Muller变换,相关系数——二元正态分布,多变量正态分布,正态分布,普莱斯定理,三变量正态分布

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第936-937页，1972年。Holst，E.“双变量正态分布。"http://www.ami.dk/research/divariate网站/.肯尼，J.F.公司。和Keeping，E.S。数学《统计学》第2部分第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，1951年。科茨，美国。；Balakrishnan，N。；和Johnson，N.L。“二元和三元正态分配。“Ch.46英寸连续多元分布，第1卷：模型与应用，第2版。纽约：Wiley，第251-348页，2000年。Rose，C.和Smith，M.D。“多元正态分布。”数学杂志。 6,32-37, 1996.Rose，C.和Smith，M.D。“二元正态分布。”§6.4 A英寸数学数学统计学。纽约：Springer-Verlag，第216-226页，2002明镜，M.R。理论概率统计问题。纽约：McGraw-Hill，第118页，1992Stuart，A。；和Ord，J.K。肯德尔的高级统计学理论，第1卷：分布理论，第6版。纽约：牛津大学出版社，1998年。E.T.惠塔克。和罗宾逊，G.“用两个正态频率分布确定常数变量”和“单个变量的频率”。" §161-162在里面这个观察演算：数值数学论文，第4版。新建约克：多佛，第324-3281967页。

参考Wolfram | Alpha

二元正态分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“二元正态分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BivariateNormalDistribution.html

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