Dynamical disentanglement in an analysis of oscillatory systems: an application to respiratory sinus arrhythmia

M. Rosenblum; M. Frühwirth; M. Moser; A. Pikovsky

doi:10.1098/rsta.2019.0045

Philos Trans A数学物理工程科学。2019年12月16日；377(2160): 20190045.

2019年10月28日在线发布。数字对象标识：10.1098/rsta.2019.0045

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PMID：31656138

振荡系统分析中的动态解纠缠：在呼吸窦性心律失常中的应用

M.罗森布鲁姆,^1,² M.Frühwirth先生,³ M.莫瑟,^三，⁴和A.皮科夫斯基^1,²

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摘要

我们开发了一种扰动自持振子的多元数据分析技术。该方法基于从观测值重建相位动力学模型以及对该模型的后续探索。对于由多个输入驱动的系统，我们提出了一个动态解纠缠过程，允许我们重建由于特定观测输入而导致的系统输出的可变性，或者，重建除观测输入外的所有输入所导致的可变性。我们着重于将该方法应用于由呼吸影响引起的心率变异性的迷走神经成分。我们开发了一种算法，利用呼吸轨迹和心电图中R峰值的时间提取纯粹的呼吸相关变异性。该算法可以应用于其他系统，其中观测到的双变量数据可以表示为点过程和缓慢的连续信号，例如用于分析神经元尖峰。

本文是主题“耦合功能：物理、生物和社会科学中的动态交互机制”的一部分。

关键词：相位动力学、穴位过程、迷走神经交感活动、自主神经系统

1 介绍

数据分析中的一个基本问题是选择或消除给定时间序列的特定成分，例如消除噪声或趋势，或挑出特定频带中的振荡等。设计了各种技术来通过频域滤波来处理这一任务，在运行窗口中进行平滑、减去拟合多项式等。此外，许多现代方法——主成分分析、独立模式分解、经验模式分解[1–6]-将感兴趣的信号表示为模式的总和，以便（至少）主要模式被假定为表示某些相关的动力学过程。相应地，可以单独分析其中一些模式，或者相反，如果认为它们不相关，可以从原始数据中减去它们，以便可以进一步处理净化的信号。

在本出版物中，我们详细介绍了不同分量的动态解纠缠，用于分析耦合振荡系统产生的信号。解缠结任务如所示图1我们假设来自振荡单元的信号是已知的，该振荡单元由观测到的近周期信号和其他未观测到的输入驱动(图1一). （我们将未观察到的输入视为一些噪声，尽管一般来说，它也可能包含一些规则成分。）该技术基于被分析单元的相位动力学重建。然后将获得的方程用于生成两个新的输出。如果只使用观察到的输入，即忽略了未观察到的噪声项，则模拟方程会产生一个表示无噪声系统动力学的信号，即仅由观察到的输出驱动的系统(图1b条). 相反，如果我们从方程中消除观察到的输入，则模拟会产生噪声诱导的输出(图1c（c）). 这种解缠结过程既不是标准滤波（因为保留和消除的分量可以在频域中重叠），也不是模式分解（因为两个解缠结输出的总和不会产生原始信号）。在这里，我们考虑将这种方法应用于人类的心脏和呼吸数据。我们的主要振荡单位是心血管系统，观察到的输入是呼吸。根据分析结果，我们将获得两个心率变异性（HRV）信号：一个信号纯粹受呼吸影响，另一个信号不受呼吸影响。

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图1。

解开程序示意图。(一)原始设置，其中两个输入影响振荡器(b条)重建“无噪声”动态和(c（c）)重建“无信号”动态。（彩色在线版。）

从耦合振荡器的角度理解心脏动力学可以追溯到范德波尔和范德马克的开创性工作[7]. 在过去的二十年里，这一想法被广泛用于解决心血管系统和呼吸系统之间的相互作用，目的是揭示和量化它们之间的同步性，并推断它们在成人和婴儿不同条件下的耦合方向性和强度，应用于分析不同睡眠阶段、呼吸暂停、年龄相关变化以及麻醉和高血压的影响[8–18]. 在本文中，我们讨论了耦合振荡器理论的应用如何有助于分析心肺相互作用的主要影响，即呼吸对心率的调节，约一个世纪以来称为呼吸窦性心律失常（RSA）[19–23].

HRV呼吸成分的分离和正确定量对基础生理研究和临床医学都具有重要意义[24,25]由于迷走神经活动不仅在心血管中起作用，而且在炎症控制中也起作用[26]. 孤立的免疫系统本质上是过度反应和自我繁殖的。我们体内的细菌或降解细胞是由漂浮在组织间隙中的免疫细胞（如巨噬细胞）检测到的。检测细菌侵入者的巨噬细胞产生炎症信号，如TNF-α和亮氨酸1[27]吸引附近血管的其他免疫细胞。如果没有神经肿瘤控制，免疫系统将进入全身炎症的危险状态，临床医学上称为“败血症”。

为了防止这种全身反应，迷走神经传入（从外周传递到大脑）也携带这些信号物质的受体，并将炎症部位和强度的信息传递到脑干区域[28]. 处理完这些信息后，迷走神经传出（从大脑传递到外周）通过在炎症组织部位释放乙酰胆碱作出反应[26]. 巨噬细胞表面已鉴定出烟碱能乙酰胆碱受体，作为对胆碱能刺激的反应，该受体下调细胞色素的产生[29]从而减少额外炎性免疫细胞的吸引力并降低免疫反应。这种炎症反馈回路可以防止免疫系统过度活动，使大脑能够局部控制免疫活动。因此，迷走神经张力的降低，例如不同形式的压力，被怀疑与炎症引起的几种慢性疾病有关，包括2型糖尿病、溃疡性结肠炎、桥本甲状腺炎，甚至癌症[30]. 观察到这些患者的迷走神经张力严重降低[31–34]. 目前，交感神经活动在这个系统中的作用还不能很好地理解为迷走神经的贡献。因此，测量与其他成分分离的迷走神经成分非常重要。通过滤波信号进行线性分离可以改善对纯迷走神经张力的估计，但在某些情况下，当呼吸频率接近其他起源于交感神经的心电周期时，如血压节律为0.1时，可能无法做到这一点赫兹。

在我们以前的出版物中[15,35]，我们将动态解纠缠方法应用于HRV记录中RSA的分析。在这些出版物中，我们同时测量心电图（ECG）和呼吸活动，以重建心脏振荡器的相位动力学方程。接下来，我们利用这个方程将心跳间隔序列分解为呼吸相关和非呼吸相关的成分。这种分解可以用作量化呼吸相关HRV的通用预处理工具，特别是为解决RSA量化的临床重要问题开辟了一条新途径。

然而，参考文献的结果。[15,35]只能被视为原则证明，因为它们是使用连续相心脏振荡器。确定这样的相位需要非常干净的高质量测量和繁琐的预处理。在这里，我们建议了一种易于实现的实用算法，仅使用有关R峰值定时的信息来实现相同的目标。后者是心脏活动的每个周期内定义明确的事件，可以用任何标准设备很容易地获得。从数据分析的角度来看，我们处理相对较慢的平滑信号（呼吸），其相位可以很容易地估计，例如通过希尔伯特变换，以及频率大约高出四倍的点过程（R-峰值）。

我们强调，尽管我们专注于心肺相互作用并解释了这方面的主要思想，但我们的方法是通用的，可以应用于任何弱扰动自持振荡器，只要观测信号允许相位估计。特别是，点过程经常出现在神经科学应用中，因此，我们的算法有助于分析神经数据，例如受缓慢观察到的连续力影响的尖峰神经元。这里的限制是：（i）神经元尖峰应该是一个动态的过程，而不是一个随机的过程；（ii）作用力应较弱，以便一阶相位近似有效；（iii）强迫的瞬时频率变化缓慢。

2 基于相位动力学模型的动态解纠缠

我们的总体目标是通过观察振荡系统在复杂噪声环境中的行为，确定与不同影响相关的振荡系统的动力学特性。例如，人们可能会对以下问题感兴趣：如果系统没有噪声，那么它的动力学是什么？或者，如果关闭其中一个外力，振荡的统计特性将如何变化？我们使用相位动力学理论解决这些和类似的问题，参见示例[36–38].

考虑一个受正则或随机弱扰动的极限环振子已知军队η_k个(t吨),k个 = 1, 2, …. 然后，根据理论，在这些力的振幅的第一近似中，相位动力学遵循

\dot{φ} = ω + \sum_{k个} 问_{k个} [φ, η_{k个} (t吨)] + ζ (t吨) .

2.1

在这里，φ(t吨)和ω是系统的相位和固有频率，以及问_k个是耦合函数；它们量化了振荡器对相应扰动的响应。随机项ζ(t吨)解释了系统参数的内在波动。注意，相同的方程描述了弱混沌系统的动力学；在这种情况下，ζ(t吨)反映了混沌振幅变化的影响。在力振幅的二阶近似中，人们期望出现三项，如问₁₂[φ, η₁, η₂]等[39,40]，但以下将忽略这些影响。

让我们先假设这个方程(2.1)已知（实际上，它是根据数据推断出来的，如下所述）。然后，若我们对纯确定性相动力学的特性感兴趣，我们可以用数值方法求解方程(2.1)没有噪声项 ζ(t吨)（我们在这里说确定性动力学，因为力η_k个(t吨)是已知的（记录的）时间函数，尽管它们不一定是完全规则的）。如果任务是分析振荡器对特定外力的响应，例如。η₁(t吨)，然后在方程式中省略(2.1)条款 $ξ (t吨) = \sum_{k个 > 1} 问_{k个} [φ, η_{k个} (t吨)] + ζ (t吨)$ ，模拟方程式

\dot{φ} = ω + 问_{1} [φ, η_{1} (t吨)],

2.2

并根据一个具体问题对所得结果进行分析。该方法用于[41]用于重建无噪声振荡器的Arnold舌（具有严格规则的力η₁(t吨))来自噪声系统的测量（其中η₁(t吨)也是纯噪声ζ(t吨)存在）。或者，如果我们对随机分量的影响感兴趣ζ(t吨)例如，在相位扩散的性质中，我们必须忽略确定性扰动并用数值方法求解

\dot{φ} = ω + ξ (t吨) .

2.3

通过这种方式，我们实现了所需的动态解纠缠。下面，我们将这个一般概念应用于心肺相互作用的分析。

三。心率变异性的分离

在[15]，我们使用健康成年人的ECG和呼吸流量测量值，以重建以下形式的心脏相位动力学模型

\dot{φ} = ω + 问 (φ, ψ) + ξ (t吨),

3.1

哪里φ和ψ分别对应于心脏和呼吸节律的瞬时相位。这个方程是方程的一个特例(2.1)，使用η₁(t吨)与呼吸动力学相对应。因为后者是一个具有明确阶段的节奏过程ψ，我们将相应的耦合函数写成两相的函数，问₁(φ, η₁(t吨)) = 问(φ, ψ)，而其他未观察到的扰动和内在波动的贡献在余项中结合在一起 $ξ = \sum_{k个 > 1} 问_{k个} (φ, η_{k个} (t吨)) + ζ (t吨)$ .实际上，问(φ, ψ)作为两个变量的函数，在64 × 64域中的等距网格（0， 2π) × (0, 2π).

注意呼吸阶段的测定ψ很简单：由于呼吸信号看起来像一个经过调制的轻微失真的正弦波，因此可以很容易地估计其相位，例如通过希尔伯特变换。相反，ECG信号具有相当复杂的形式，其相位的计算代表了一个非平凡的独立问题，参见[15]：这里需要非常高质量的数据，其处理在技术上要求很高。这一事实推动了只使用点过程的技术的发展，即使用与人类心室去极化峰值相对应的R峰值的瞬时。这些事件很容易检测到，因此通常用于HRV分析。由于这些峰值在每个心跳周期出现一次φ在不损失通用性的情况下，可以将其设置为零。

首先，我们讨论了在两个连续相都存在的情况下，如何实现HRV的解缠结φ(t吨)和ψ(t吨)有可用的[15]. 为此，我们注意到，对于给定的时间序列φ(t吨)和ψ(t吨)，方程中的耦合函数(3.1)也可以解释为时间序列问[φ(t吨), ψ(t吨)] = 问(t吨). 相应地，时间序列知识 $\dot{φ} (t吨)$ 和问(t吨)产生剩余项 $ξ (t吨) = \dot{φ} - 问$ 。有了所有这些时间序列，我们很容易构建出新的解缠结的时间序列。这些是瞬时心率的呼吸相关（R）和非呼吸相关（NR）成分，表示为 ${\dot{φ}}^{(R（右）)}$ 和 ${\dot{φ}}^{(尼泊尔卢比)}$ ，并根据方程式获得

{\dot{φ}}^{(R（右）)} = ω + 问 (φ^{(R（右）)}, ψ) 和 {\dot{φ}}^{(尼泊尔卢比)} = ω + ξ (t吨) .

3.2

请注意，这不是一个简单的分解，因为 $\dot{φ} (t吨) \neq {\dot{φ}}^{(R（右）)} (t吨) + {\dot{φ}}^{(尼泊尔卢比)} (t吨)$ .英寸[15]，我们已经证明了 ${\dot{φ}}^{(R（右）)}$ 很好地描述了与呼吸频率和心率的侧带相对应的频谱峰值。

在随后的研究中[35]，我们扩展了这一思想，并根据条件生成了心跳事件的人工序列（R峰值）φ^（右）(t吨^（右）_k个) = 2πk和φ^{（尼泊尔卢比）}(t吨^{（尼泊尔卢比）}_k个) = 2πk,k个 = 1, 2, …, 其中相位是通过数值积分获得的^¹微分方程的(3.2). 积分过程t吨^（右）_k个表示心跳的瞬间，如果除呼吸外，心搏振荡器没有其他扰动，心跳的瞬间就会出现，而t吨^{（尼泊尔卢比）}_k个表示由于内部波动和外部非呼吸节律（例如血压和血液灌注节律）导致的HRV。有人建议，在临床实践中量化RSA之前，应将所描述的呼吸相关（R-HRV）和非呼吸相关（NR-HRV）成分的分离用作通用预处理技术。这一建议得到了根据原始的一系列间隔时间以及与呼吸相关的间隔时间计算出的不同RSA测量值的支持T型^（右） = t吨^（右）_k个+1 − t吨^（右）_k个，请参阅[35]了解详细信息。注意，我们的方法本质上是非线性的，与之相反特别的用于相同目的的技术，如自适应滤波和功率谱的最小均方拟合[42,43].

综上所述，只要相位连续，就可以很容易地将瞬时心率分解为R-HRV和NR-HRV分量φ, ψ已知。然而，如前所述，瞬时心脏相位的计算φ需要高质量的测量、数据的目视检查、大量的预处理，目前由特别的而非自动化，仅限于技术。另一方面，测定R峰是一项标准任务，可以很容易地完成。因此，当一个可观测值（例如呼吸）是连续的且适合于相位估计，而另一个可观察值（例如心跳）是点过程时，开发解纠缠算法是一个重要的未解决问题。下面我们给出这个问题的近似解决方案。

4 点过程数据的动态解纠缠

我们的出发点是以方程的形式描述心肺相动力学(3.1). 我们假设呼吸阶段ψ是从呼吸时间序列中获得的t吨_k个确定心电图中出现R峰时。这些瞬间的心脏相位是φ(t吨_k个) = 2πk让拍间间隔表示为T型_k个 = t吨_k个+1 − t吨_k个然后，假设耦合较弱问∥≪ω，其中‖·表示函数的范数，并保持在等式中(3.1)只有确定性项，我们写在第一近似中

\int_{{t吨}_{k个}}^{{t吨}_{k个 + 1}} d日 t吨 = {T型}_{k个} = \int_{0}^{2 π} \frac{d日 φ}{ω + 问 (φ, ψ)} \approx \frac{2 π}{ω} - \frac{1}{ω^{2}} \int_{0}^{2 π} 问 (φ, ψ) d日 φ .

4.1

其次，由于呼吸比心率慢得多，我们假设在卧床间隔内T型_k个，阶段ψ随频率线性增长ω^(第页)_k个，即。ψ(t吨) = ψ_k个 + ω^(第页)_k个(t吨 − t吨_k个)，其中ψ_k个 = ψ(t吨_k个). 然后是方程中的积分(4.1)可以近似为

- ω^{- 2} \int_{0}^{2 π} 问 (φ, ψ) d日 φ = - ω^{- 2} \int_{0}^{{T型}_{k个}} 问 [φ (t吨), ψ (t吨)] d日 t吨 \approx F类 (ψ_{k个}, ω_{k个}^{(第页)}) .

追求简单 $ω_{k个}^{(第页)} = \dot{ψ} ({t吨}_{k个}) = {\dot{ψ}}_{k个}$ （由于呼吸阶段的缓慢，对该表达式的修正出现在较高的阶数中）并表示T型 = 2π/ω，我们获得

{T型}_{k个} = T型 + F类 (ψ_{k个}, {\dot{ψ}}_{k个}) + χ_{k个},

4.2

哪里 $F类 (ψ_{k个}, {\dot{ψ}}_{k个})$ 可以理解为耦合函数的离散形式（我们将其表示为耦合映射）和其余项χ_k个是随机分量。方程式(4.2)可以看作是连续方程的直接离散模拟(3.1).

引入平均呼吸频率 $\bar{ω} = {⟨ ω_{k个}^{(第页)} ⟩}_{k个} = {⟨ {\dot{ψ}}_{k个} ⟩}_{k个}$ 并表示F类(ψ_k个, ω_k个)作为泰勒-傅里叶级数，我们最终写出

{T型}_{k个} \approx T型 + \sum_{n个 = 1}^{{N个}_{F类}} {[\sum_{米 = 0}^{{N个}_{T型} - 1} 一_{n个, 米} {({\dot{ψ}}_{k个} - \bar{ω})}^{米}] 余弦 (n个 ψ_{k个}) + [\sum_{米 = 0}^{{N个}_{T型} - 1} {b条}_{n个, 米} {({\dot{ψ}}_{k个} - \bar{ω})}^{米}] 罪 (n个 ψ_{k个})} .

4.3

在这里，N个_F类和N个_T型分别是傅里叶级数和泰勒级数的阶数。对于足够长的层间间隔T型_k个，方程式(4.3)可以被视为未知参数的超定线性系统T型, 一_n个,米,b条_n个,米该系统可以很容易地求解，例如通过均方最小化。

因此，建议的算法产生了一个离散的动力学模型(4.2)用于层间间隔。现在这个模型可以用于动态解纠缠。为了构建呼吸相关组件，我们首先t吨^（右）₁ = t吨₁然后，替换ψ₁, ${\dot{ψ}}_{1}$ 英寸(4.3)我们获得T型^（右）₁和t吨^（右）₂ = t吨^（右）₁ + T型^（右）₁接下来，我们计算ψ(t吨^（右）₂), $\dot{ψ} ({t吨}_{2}^{(R（右）)})$ 并使用模型(4.3)以获得T型^（右）₂和t吨^（右）₃，依此类推^²。对于非呼吸相关组件的构建，我们还从分配t吨^（个）₁ = t吨₁然后按以下步骤进行。让已经确定的t吨^{（尼泊尔卢比）}_我完成t吨_k个 < t吨^{（尼泊尔卢比）}_我 < t吨_k个+1。对于t吨_k个和t吨_k个+1，我们计算模型的剩余项(4.3)（有效噪声），即真实值之间的差异T型_k个,T型_k个+1其值由方程式预测(4.3); 这些条件是χ_k个和χ_k个+1然后，使用线性插值找出t吨^{（尼泊尔卢比）}_我，我们获得

{t吨}_{我 + 1}^{(尼泊尔卢比)} = {t吨}_{我}^{(尼泊尔卢比)} + T型 + χ_{k个} + \frac{χ_{k个 + 1} - χ_{k个}}{{t吨}_{k个 + 1} - {t吨}_{k个}} ({t吨}_{我}^{(尼泊尔卢比)} - {t吨}_{k个}) .

4.4

R-HRV成分可进一步用于改进RSA的量化，而NR-HRV时间序列可用于分析HRV的其他来源。

5 在模型数据上测试方法

首先，我们使用具有已知属性的人工生成数据来验证我们的方法。为此，我们使用一个简单的阶段模型(3.1)，其中耦合函数问(φ, ψ)以Winfree格式编写，即作为相位灵敏度函数或相位响应曲线（PRC）的乘积，Z轴(φ)、和强制功能我(ψ). 因此，明确引入耦合强度参数ε，我们写

\dot{φ} = ω + ε Z轴 (φ) 我 (ψ) + ξ (t吨) .

5.1

功能Z轴(φ),我(ψ)分别用15阶和4阶傅里叶级数建模(图2)以类似于实验获得的曲线的方式，参见[15]. 瞬时呼吸频率建模为 $\dot{ψ} = ω_{第页} + μ ν$ ，其中ν是Ornstein–Uhlenbeck流程， $\dot{ν} = - γ_{第页} ν + η_{1}$ .随机项ξ由两个分量的加权和给出，即低通和带通滤波噪声：ξ = λ₁ζ₁ + λ₂ζ₂，其中 ${\dot{ζ}}_{1} = - γ ζ_{1} + η_{2}$ 和 ${\ddot{ζ}}_{2} + α {\dot{ζ}}_{2} + ω_{b条第页}^{2} ζ_{2} = η_{3}$ .给，η_k个是具有零均值的独立高斯白噪声：〈η_k个(t吨)η_j个(t吨′)〉 = δ_千焦δ(t吨 − t吨′).

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图2。

心脏振荡器的模型相位响应曲线(一)和模型呼吸力(b条)以粗体红线显示。两个面板中的虚线表示实验中获得的相应曲线，参见[15]. （彩色在线版。）

求解随机微分方程(5.1)，我们生成了R峰的人工序列。在不失一般性的情况下，我们说这些峰值发生在相位φ达到2的倍数π因此，我们得到了一个点过程t吨_k个这样的话φ(t吨_k个) = 2πk相应地，我们引入了一系列RR间隔T型_k个 = t吨_k个+1 − t吨_k个类似地，求解方程的确定性部分(5.1)，即。

{\dot{φ}}^{(R（右）)} = ω + ε Z轴 (φ) 我 (ψ),

5.2

我们会产生一系列与呼吸相关的R峰，t吨^（右）_k个和相应的间隔T型^（右）_k个^³最后，非呼吸相关的R峰值，t吨^{（尼泊尔卢比）}_k个和层间间隔T型^{（尼泊尔卢比）}_k个通过求解

{\dot{φ}}^{(尼泊尔卢比)} = ω + ξ (t吨) .

5.3

因此，用于解缠结的数据为：R峰的时间，t吨_k个呼吸阶段和频率，ψ(t吨)和 $\dot{ψ} (t吨)$ ，尤其是ψ(t吨_k个) = ψ_k个、和 $\dot{ψ} ({t吨}_{k个}) = {\dot{ψ}}_{k个}$ 注意，在本测试中，后两个系列是从方程中获得的，而实际上呼吸相位和频率应该根据数据进行估计，这必然会引入额外的误差。通过动态分离获得的呼吸相关和非呼吸相关组件应与t吨^（右）_k个和t吨^{（尼泊尔卢比）}_k个分别是。

这里，我们说明了以下参数值的模型数据和解缠结结果：ω = 2π,ω_第页 = 2,ε = 0.1,ω_{英国石油公司} = 1.08π,α = 0.1,γ_第页 = 0.1,μ = 0.02,λ₁ = 0.03,λ₂ = 0.02. 用于后续分析的记录包含大约10个⁴间隔时间，相当于约2.5小时的自然心跳。模型数据如所示图3这里，我们展示了人工生成的RR间隔序列的短纪元。图4给出了呼吸相关成分，该成分是通过我们的算法提取的N个_F类 = 8,N个_T型 = 2，与真实值相比，即由模型生成。图5说明了频域解缠结的结果。也就是说，这里我们给出了点过程的谱（Bartlett测度）[44]. 正如预期的那样，呼吸引起的光谱峰在R组分中增强，在NR组分中抑制。

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图3。

模型数据的图解。面板(一)显示了1000个层间间隔和(b条)是其缩放版本，仅显示100个间隔。从下到上：拍子间隔（黑色）的人工序列，其呼吸相关（红色）和非呼吸相关（蓝色）成分。后两条曲线向上移动以获得可见性。面板(一)清楚地表明，在非呼吸成分中保持了长尺度的变异性，而在(b条)我们可以看到，随着呼吸周期的变化，这个成分被去除了。（彩色在线版本。）

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图4。

HRV的真实（蓝色圆圈）和恢复（红色十字）呼吸成分。第一个是由模型生成的，而第二个是通过构建耦合图从点过程中获得的(4.3). （彩色在线版本。）

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图5。

频域中解缠结的图示。这里，我们展示了呼吸相关成分点过程的光谱(一)以及NR部件(b条). 蓝色实线显示了R峰的模型生成系列实例的频谱t吨_k个; 红色虚线表示模型生成序列的频谱t吨^（右）_k个,t吨^{（尼泊尔卢比）}_k个，而黑色虚线曲线表示从t吨_k个通过解缠结。（彩色在线版本。）

我们通过讨论解缠结质量的特征来结束对该技术的介绍。首先，我们注意到，如下所示(5.1), (5.2), (5.3)以及独立组件的分离， $变量 (\dot{φ}) = 变量 ({\dot{φ}}^{(R（右）)}) + 变量 ({\dot{φ}}^{(尼泊尔卢比)})$ ，其中方差定义为Var(x个(t吨)) = 〈(x个 − 〈x个〉)²〉, $⟨ (\cdot) ⟩ = {T型}_{\sum}^{- 1} \int_{0}^{{T型}_{\sum}} (\cdot) d日 t吨$ 、和T型_∑是执行平均的时间间隔。我们期望从区间序列中获得的方差的类似关系T型_k个,T型^（右）_k个,T型^{（尼泊尔卢比）}_k个也应有效，至少近似有效。为了计算点过程的相位导数的方差，我们考虑事件之间的相位线性增长，使得 $\dot{φ} (t吨) = 2 π / {T型}_{k个}$ 对于t吨_k个≤t吨≤t吨_k个+1,k个 = 1, …, N个然后，对于方差，我们得到

σ^{2} = \frac{4 π^{2}}{{T型}_{\sum}} \sum_{k个 = 1}^{N个} {(\frac{1}{{T型}_{k个}} - \frac{N个}{{T型}_{\sum}})}^{2} {T型}_{k个},

5.4

哪里 ${T型}_{\sum} = \sum_{k个} {T型}_{k个}$ 以及类似地用于与呼吸相关和非呼吸相关的部件。我们检查了不同的N个_F类, N个_T型确实如此(σ²_R（右） + σ²_{尼泊尔卢比})/σ² ≈ 1（用于N个_T型≤3，最坏情况为0.97）。

6 人体心肺数据的应用

现在我们将算法应用于实际数据。为此，我们分析了17名健康成年人在休息时仰卧位记录的26个多变量心电图和呼吸记录，见[15,45,46]有关受试者、实验协议和测量设备的详细描述^⁴.由于连续相位φ(t吨), ψ(t吨)在中获得[15]我们比较了在方程的帮助下进行的近似解缠结(4.2), (4.3)得到了连续相的结果。

为了量化解缠结的质量，我们计算(σ²_R（右） + σ²_{尼泊尔卢比})/σ²借助方程式计算所有科目(5.4). 结果如所示图6表明我们的算法运行良好。这里，我们使用N个_F类 = 8,N个_T型 = 1; 对于N个_T型 > 1分离的质量很差，可能是因为我们的点过程序列很短（大约400次心跳）。接下来，我们将从地图清理间隔获得的方差与连续清理数据的方差进行比较(图7). 双方意见一致。

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图6。

基于点过程的健康受试者心肺数据分离质量。在这里，我们为每个实验记录绘制了呼吸和非呼吸相关成分的方差，以及它们的总和与原始R峰序列的方差。正如对不相关分量的期望一样，分离过程的方差之和与原始数据的方差非常接近。（彩色在线版本。）

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图7。

通过绘制方差来确认基于地图的解缠结的效率σ²_米地图净化后的呼吸相关成分与方差的关系σ²_c（c）持续净化的呼吸相关成分。（彩色在线版本。）

解缠示例（对于特定记录，数据集3）如所示图8在这里，我们展示了RR区间的原始序列和两个净化的数据集，一个是通过与连续相解纠缠获得的，另一个是仅使用R峰获得的。为了获得更好的可见性，两个清理过的数据集向上移动了0.2 s、它们的重叠表明离散动态解纠缠效果良好。

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图8。

原始RR系列间隔，T型_k个（以秒为单位），针对健康受试者（红圈）及其呼吸相关成分，T型^（右）_k个通过连续清洗（蓝色钻石）或地图清洗（品红色方块）获得。两个清理过的时间序列都向上移动以便于查看。（彩色在线版本。）

7 结论

总之，我们提出了一种通用的方法，它允许我们通过重构受驱动振荡器的动力学来预测其“虚拟动力学”，其中一些输入被切断。所描述的解纠缠过程不同于已知的模式分解算法，因为它不是用给定的时间序列操作，而是用重构的相动力学方程操作。在本文中，我们将动态解纠缠扩展到所研究振荡器的输出是一个事件序列（点过程）的情况，因此很难估计其瞬时相位，而观测到的输入是一个相对缓慢而平滑的过程，适合于相位估计。（注意，慢过程不一定接近谐波过程，因为相位估计也适用于相当复杂的波形）。我们将此方法应用于分析人类HRV，其中可用的时间序列是呼吸信号和心跳事件。更准确地说，我们将呼吸相关的变异性与其他来源的变异性区分开来，这些变异性仅由迷走神经介导。使用模型、数据以及从ECG导出的瞬时相位，我们已经表明，我们的近似程序产生了良好的结果。

所开发的技术可以在生理和临床研究中应用。事实上，HRV不同成分的量化已经是心脏病学的重要诊断和预后工具[47,48]. 几种循环系统疾病的预后取决于迷走神经活动。如前所述，许多临床研究中应用于RR间期分析的简单谱方法在分离迷走神经呼吸和HRV的其他成分方面表现不佳。由于我们的技术能够消除噪音和其他未观察到的节律对呼吸相关的变异性的影响，因此对RSA的量化以及从未混淆数据中得出的迷走神经音调更为精确。请注意，基于信息理论的方法之前已经显示，在扣除HRV对呼吸的影响后，基于HRV分析的HRV，检测改变的生理条件的能力得到了改进[49,50]. 呼吸和非呼吸成分的分离在生理和临床上特别重要，尤其是在呼吸缓慢（小于0.12）的情况下 Hz），其中迷走神经RSA与较慢的节律（如血压节律）混合，血压节律来自交感神经和迷走神经成分。在这种情况下，自主神经系统活动的两个组成部分不能用线性模型分开[51].

在[35]，我们比较了应用于原始序列和净化序列的不同RSA度量的性能。然而，在那里，使用瞬时连续相进行解缠结。现在，我们表明，不使用连续ECG而仅使用R峰的实用算法提供了几乎相同的结果。这一发现为实际应用开辟了进一步的途径。我们预计，所开发的技术也可以用于神经科学，例如分析感觉神经元对缓慢变化的刺激的反应。

将上述解纠缠方法与双变量系统中的分解方法（例如谱-[52]和信息化[53]. 在这些分解方法中，不构建新的时间序列，而是确定统计特征的哪些部分（例如光谱或信息测量）是由于耦合引起的。如果将频谱或信息表征应用于原始HRV信号和解纠缠信号，则解纠缠方法可以直接与分解方法进行比较。

作为未来研究的主题，我们提到了一个多个观察输入的案例。从理论上讲，对多元数据进行相动力学重建并不困难；然而，数据需求基本上增加了，因此重建一个由三个以上振荡器组成的网络变得不可行，请参见[40]. 另一个有趣的扩展是非振荡输入的情况，当通过相位对这些输入进行参数化不起作用时。这两个问题的可能解决方案可能是以Winfree形式重建相位动力学，即，当耦合函数可以表示为相位响应曲线和驱动信号的乘积时，参见方程式(5.1). 当被驱动系统由连续信号表示，而观察到的输入可视为点过程时，也可以利用Winfree表示来解决解纠缠问题。考虑到尖峰出现瞬间的相位重置，可以构建与该输入相关的组件。然后，可以使用重构的Winfreel类型模型的剩余项，以类似于本文所述的方式获得非输入相关的噪声分量。

脚注

¹对于积分，我们使用了欧拉格式；对于初始条件φ^（右）和φ^{（尼泊尔卢比）}我们在原始数据集中第一个R峰值的瞬间设置为零。由于耦合作用问在网格上给出，使用样条插值计算问(φ, ψ)用于任意φ, ψ.

²对于高分辨率测量，呼吸的相位和频率以小时间步长的时间序列给出。因此，它们的值为t吨^（右）₂可以通过两个最近的数据点之间的线性插值来获得。

³注意，尽管等式(5.2)表示方程式的确定部分(5.1)，由于呼吸阶段的存在，它仍然是一个随机方程ψOrnstein–Uhlenbeck工艺组件。

⁴本研究使用专门为RR变异性测量而开发的高级设备，采样率为1000 Hz和分辨率16位，带屏蔽ECG电缆。请注意，医学中的HRV测量通常不符合这些标准。数据采样率低（低于1000 Hz）和数字分辨率（小于12 bit）商用ECG设备，不是为精确的RR间隔采样而构建，而是为低频ECG形状评估而构建，引入了对精确可变性测定有害的人工抖动和数字化噪声。

数据可访问性

本文没有其他数据。

作者的贡献

M.R.和A.P.开发了解缠结算法。M.R.进行了模型研究和数据分析。M.F.和M.M.提供了数据和结果的生理学解释。M.R.、M.M.和A.P.写了手稿。所有作者都阅读并批准了手稿。

竞争性利益

我们声明，我们没有相互竞争的利益。

基金

M.R.、M.M.和A.P.感谢根据第642563号《玛丽·斯科洛多夫斯卡·库里赠款协议》（COSMOS），欧盟地平线2020研究和创新计划提供的财政支持。第4节中介绍的方法的开发得到了俄罗斯科学基金会的资助，资助号为17-12-01534。

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文章来自哲学交易。数学、物理和工程科学系列A由以下人员提供英国皇家学会

振荡系统分析中的动态解纠缠：在呼吸窦性心律失常中的应用

M.罗森布鲁姆

M.Frühwirth先生

M.莫瑟

A.皮科夫斯基

关联数据

摘要

1 介绍

2 基于相位动力学模型的动态解纠缠

三。 心率变异性的分离

4 点过程数据的动态解纠缠

5 在模型数据上测试方法

6 人体心肺数据的应用

7 结论

脚注

数据可访问性

作者的贡献

竞争性利益

基金

工具书类

三。心率变异性的分离