随机变量、CDF和PDF

通过

随机变量：

在“共同滑行”实验中，实验前的结果未知，也就是说，我们无法确定地预测它（非确定性/随机性）。但我们知道所有可能的结果——头部或尾部。将实数分配给所有可能的事件（这称为“样本空间”），将“0”表示为“头”，将“1”表示为”尾“，并关联一个变量”X（X）“这可能需要这两个值。此变量“X（X）“被称为随机变量，因为它可以在执行实际实验之前随机取任何值“0”或“1”。

显然，我们不想等到造币实验完成。由于结果将失去其重要性，我们希望将一些概率与每个可能的事件联系起来。在造币实验中，所有结果的可能性都是一样的（假设硬币是公平和无偏见的）。这意味着我们可以说获得Head的概率（我们的随机变量X（X）=0）以及获取尾部(X（X）=1）为0.5（即获得头部/尾部的概率为50-50）。

这可以写成，

P（\mathbf{X}=0）=0.5\；和\；P（\mathbf｛X｝=1）=0.5

累计分布函数：

数学上，随机变量的完整描述为“累积分布函数”-FX（X）（x） 。这里是勇敢的面孔”X英寸是一个随机变量，“x”是一个虚拟变量，它是所有可能结果的占位符（在上述抛硬币实验中为“0”和“1”）。累积分布函数定义为，

F_{\textbf{X}}（X）=P（\textbf{X}\leq X）

累积分布函数（CDF）

如果我们为我们的造币实验绘制CDF，它看起来就像你右边的图中所示的那样。
上述示例具有离散性，因为随机变量的值是离散的（“0”或“1”），因此随机变量称为离散随机变量。

如果随机变量的值具有连续性（例如：温度测量），则该随机变量称为连续随机变量，相应的累积分布函数将更加平滑，不会出现间断。

概率分布函数：

考虑一个实验，事件的概率如下。分别获得数字1、2、3、4的概率为1/10,2/10,3/10,4/10分别是。如果我们有一个用于这个实验的方程式，它将根据事件给出这些值，对我们来说会更方便。例如，这个实验的方程式可以由f（x）=x/10哪里x=1,2,3,4这个方程（相当于一个函数）称为概率分布函数。

概率密度函数（PDF）和概率质量函数（PMF）：

与CDF相比，它更常见于处理概率密度函数（PDF）/概率质量函数（PMF）。

PDF（定义为连续随机变量）通过CDF的第一个导数给出。

f_textbf{X}（X）=\frac{dF_\textbf}X}（X）}{dx}

对于具有离散值的离散随机变量，定义概率质量函数是常见的吗。

f_\textbf{X}（X）=P（\textbf{X}=X）

前面的示例很简单。如果我们被要求找出得到小于或等于3的值的概率，问题会变得稍微复杂。现在，直接方法是将获得这些值的概率相加x=1,2,3结果是1/10+2/10+3/10 =6/10这可以很容易地建模为概率密度函数，它是极限为1到3的概率分布函数的积分。

根据概率密度函数或PDF图的外观，PDF可分为不同类别，如二项式分布，均匀分布,高斯分布,卡方分布,瑞利分布,Rician分布在这些分布中，你经常会在数字通信中遇到高斯分布或高斯随机变量。

平均值：

随机变量的平均值被定义为随机变量可以取的所有可能值的加权平均值。计算平均值时，使用每个结果的概率对每个值进行加权。平均值也称为期望值（E[X]）

对于连续随机变量X和概率密度函数fX（X）（x）

E\left[X\right]=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X（X）dx

对于离散随机变量X，平均值计算为所有可能值（X）的加权平均值我)用个体概率加权（p我)

E\left[X\right]=\mu{_X}=\sum_{-\infty}^{\infty}X_{i} 第页_{我}

方差:

方差衡量分布的扩散。对于连续随机变量X，方差定义为

var\left[X\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\left（X-E\left[X\right]\right）^2 f_X（X）dx

对于离散情况，方差定义为

var\left[X\right]={\sigma^2}_X=\sum_{-\infty}^{\infty}\left（X_i-\mu_X\right）^2 p_{i}

标准偏差(\西格玛)定义为方差的平方根{\西格玛^2}_X

均值和方差的性质：

对于常数–“c”，以下属性对于平均值为真

E\left[cX\right]=c E\ left[X\ right] E\左[X+c\右]=E\左[X\右]+c E\左[c\右]=c

对于常数“c”，以下属性对方差适用

var\left[cX\right]=c^2 var\left[X\right] var\left[X+c\right]=var\left[X\right] var\left[c\right]=0

PDF和CDF完全定义了一个随机变量。例如：如果两个随机变量X和Y具有相同的PDF，那么它们将具有相同的CDF，因此它们的平均值和方差将相同。
另一方面，均值和方差仅部分描述了随机变量。如果两个随机变量X和Y具有相同的均值和方差，则它们可能具有或不具有相同的PDF或CDF。

高斯分布：

高斯PDF看起来像一个铃铛。它在通信工程中应用最为广泛。例如，假设所有信道都是加性高斯白噪声信道。这背后的原因是什么？高斯噪声在固定噪声功率的情况下给出最小的信道容量。这意味着它会导致最严重的信道损伤。因此，在这种最恶劣的环境下进行的编码设计将在实际环境中提供优异和令人满意的性能。有关“高斯性”的更多信息，请参阅[1]

高斯分布（也称为正态分布）的PDF完全由其平均值表征(\亩)和方差(\西格玛),

f（x）=分形{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}

由于PDF被定义为CDF的一阶导数，逆向工程告诉我们，CDF可以通过对PDF进行积分来获得。
从而得到上述给定函数的CDF，

F{\textbf{X}}（X；\mu，\sigma^{2}）=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\frac}X-\mu}{\sigma}}e^{\t^{2{2}}}dt

某些分布的PDF和CDF方程式合并如下

概率分布 概率密度函数（PDF） 累积分布函数（CDF）
高斯/正态分布–\数学{N}（\mu，\sigma^{2}） \显示样式{f（x）=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{{\frac}-（x-\mu）^{2{}}{2\sigma^}}} \显示样式{F_{\textbf{X}}（X；\mu，\sigma^{2}）=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{frac{X-\mu}{\sigma}}e^{\t^{2{}{2}}dt}

参考：

[1]S.Pasupathy，“高斯主义的荣耀”，IEEE通讯杂志，1989年8月-1日，第38页。

本章主题

随机变量-模拟概率系统
● 引言
●绘制估计PDF
● 单变量随机变量
 □均匀随机变量
 □伯努利随机变量
 □二项式随机变量
 □指数随机变量
 □ 泊松过程
 □ 高斯随机变量
 □ 齐方随机变量
 □非中心齐方随机变量
 □Chi分布随机变量
 □ 瑞利随机变量
 □ Ricean随机变量
 □ Nakagami-m分布随机变量
●中心极限定理——一个证明
● 生成相关随机变量
 □生成两个相关随机变量序列
 □利用Cholesky分解生成多个相关随机变量序列
●生成相关高斯序列
 □谱分解法
 □自动后退（AR）模型

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关于“随机变量、CDF和PDF”的10点思考

  1. 先生，请帮帮我……我想写一个生成N的MATLAB脚本
    样本，并将样本直方图与
    瑞利密度函数。但我想以给定的脚本作为起点

    mu=0；%平均值（mu）
    信号=2；%标准偏差（sigma）
    N=1e5；%样本数量

    %高斯分布样本%

    z=mu+sig*randn（1，N）；

    %绘制样本直方图，缩放垂直轴
    %以确保直方图下的面积为1
    dx=0.5；
    x=mu-5*sig:dx:mu+5*sig；%平均值和5个标准
    %任何一侧的偏差
    H=历史（z，x）；
    面积=总和（H*dx）；
    H=H/面积；
    巴（x，H）
    xlim（[-5*sig，5*sig]）

    %叠加高斯密度函数
    等一下
    f=exp（-（x-mu）^2/（2*sig^2））/sqrt（2*pi*sig|2）；
    plot（x，f，'r'，'LineWidth'，3）
    推迟

    答复

  2. 您好，您的网站对我们项目中的主题理解和实施非常有帮助。
    先生，你能给我一个最简单的PDF和CDF vs容量的matlab代码，用于没有信道矩阵的mimo系统吗？？
    我的意思是我正在使用simulink平台，H矩阵不必出现在绘图代码中。。

    希望你能在[电子邮件保护]

    答复

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