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梅扬克·潘迪;Wang，Victor Y。;徐文强

短移动区间上典型乘法函数的部分和。 （英语） Zbl 07805423号

代数数论 18，编号2，389-408（2024）.
对于正整数\（X\），让\（[X]：=\{1,2，\dots，X\}\）和\（\mathcal{F} X（_X）\)是完全乘法函数\（f:[X]\到\{|z|=1\}\）的集合。在本文中，作者证明了当（X）趋于无穷大时，让整数（X）大，（W（X））趋于任意缓慢无穷大，同时，让（H:=H（X）ll X（log X）^{-W（X{F}（F）_{X+H}\），作为\（X\到+\输入\），\[\压裂{1}{\sqrt{H}}\sum_{x<n\lex+H}f（n）\xrightarrow{d}\mathcal{CN}（0,1），\]其中，从\（[x]\）中统一选择\（x\）。这里，表示分布收敛的符号\（\xrightarrow{d}），\（\mathcal{CN}（0,1=\｛|z|=1\｝\），在\（\mathcal）上定义的乘积测度\（\nu_X\）{F} X（_X）\)通过\（\nu_X:=\prod_{p\le X}\mu_p\）。
为了证明本文的上述主要结果，作者建立了几种情况下的矩统计量。首先，它们表明在适当的短区间上支持的随机乘法函数的整数矩与相应的高斯矩匹配。更准确地说，让\（\mathbb{E} _（f）\)为“平均值超过（f\in\mathcal{F} X（_X）\)关于“（\nu_X\）”，他们证明\[\马特布{E} f（_f）\biggl|\frac{1}{\sqrt{H}}\sum_{x<n\lex+H}f（n）\biggr|^{2k}=k！+O_k\biggl（H^{-1}+\frac{H^{1/2}}{\max（x，H）^{1/2}}+\frac{H\cdot（\log{x}+\log{H}）^{E（k）}}{\ max（x，H）}\biggr），\]其中，\（x，H，k\ge 1）是整数，\（f\in\mathcal{F}（F）_{x+H}\）和\（E（k）=2k^2+2\）。本文上述主要结果的第二步是建立随机和矩的集中估计\[A_H（f，x）：=\frac{1}{\sqrt{H}}\sum_{x<n\lex+H}f（n），\]其中，从（[x]\）中均匀选择\（x\），其行为类似于复杂的标准高斯。为了详细解释这一关键步骤，让\（\mathbb{E} _x（x）\)表示“对\（x\）的期望统一从\（[x]\）中选择”。同样，设\（X，k\ge1）是大\（X\）的整数，并假设\（H:=H（X）\ to+\infty \）为\。出租\（f \ in \ mathcal{F}（F）_{X+H}\），作者证明存在一个大的绝对常数\（a>0\），使得以下等式与\（C_k=AK^{AK^{Ak}}\）一样长，\[\马特布{E} _（f）\biggl（\mathbb{E} _x（x）\biggl|\frac{1}{\sqrt{H}}\sum_{x<n\lex+H}f（n）\biggr|^{2k}-k！\biggr）^{\！2}=o_{X\to+\infty}（1）。\]此外，对于任何固定的正整数\（\ell<k\）\[\马特布{E} _（f）\biggl|\mathbb{E} _x（x）\biggl（frac{1}{\sqrt{H}}\sum_{x<n\lex+H}f（n）\biggr）。\]
审核人：Mehdi Hassani（赞扬）

MSC公司：

11公里65 概率数论中的算术函数
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11号37 算术函数的渐近结果

关键词：

随机乘法函数;短移动间隔;乘法丢番图方程;贫乏;高斯行为;除数函数的相关性
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Pandey}等人，代数数论18，No.2，389--408（2024；Zbl 07805423）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

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