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Klurman，奥列克西;伊利亚·什克雷多夫。;Xu，Max文强

关于随机Chowla猜想。 （英语） Zbl 07694917号

地理。功能。分析。 33，第3号，749-777（2023）.
S.Chowla公司猜想[Riemann假设和Hilbert的第十个问题。（数学及其应用，第4卷）。伦敦和格拉斯哥：Blackie&Son Ltd（1965；兹伯利0133.30003)]对于Liouville（或Möbius）函数\[\sum_{n\lex}\lambda（P（n））=o（x），\]当\（P\）是\（\mathbb{Z}[X]\）中的多项式时，它不是一个常数时间平方。当P是具有整数系数的线性因子的乘积时，这种情况是目前的一个热门话题。
作者考虑和（sum{n\lex}f（P（n）），其中f是Steinhaus乘法函数；这样的函数定义如下：序列（f（p））{p；text{prime}}是均匀分布在单位圆上的独立随机变量序列，对于任何（n），都有（f（n）=prod_{p^{beta}}（f（b））。为了避免笨拙的陈述，他们引入了无害的条件\（f（-n）=f（n）\）和\（f（0）=0 \）。
定理1.1。设（f）是Steinhaus随机乘法函数。然后，对于（mathbb{Z}[X]\）中的任何多项式（P\），其阶（d\ge2）不是（P（X）=w（X+c）^d）的形式，对于（mathbb{Q}\）中某些（w）和（c），我们有，因为（N\）趋于无穷大\[\裂缝{1}{\sqrt{N}}\sum_{N\leN}f（P（N））\]分布趋向于标准复高斯分布，平均值为（0），方差为（1）。
由于A.J.哈珀【数学论坛Pi 8，论文编号e1，95 p.（2020；Zbl 1472.11254号)]对于线性多项式，这个结果是错误的，并且由于（f）是完全乘法的，所以当（f）为幂的常数倍时，这个结果也是错误的。
对于较大的值，作者获得了以下结果，该结果符合钦钦的重对数定律
核心条款1.2。设（f）是Steinhaus随机乘法函数。那么，对于度为（d\ge2）的（mathbb{Z}[X]\）中的任何多项式（P\），它几乎肯定存在任意大X，使得\[\左|\sum_{n\lex}f（P（n））右|\gg_d\sqrt{x\log\logx}。\]证据利用了A.J.哈珀【数学论坛Pi 8，论文编号e1，95 p.（2020；Zbl 1472.11254号); 国际数学。Res.不。2023年，第3期，2095–2138（2023年；Zbl 1515.11076号)].
这篇写得很好的论文从一个详细的介绍开始，介绍了结果的背景和证明的大纲。
审核人：Jean-Marc Deshouillers（波尔多）

引用于4文件

MSC公司：

11公里65 概率数论中的算术函数
60F05型 中心极限和其他弱定理
11号37 算术函数的渐近结果
11纳米60 与加法函数和正乘法函数相关的分布函数

关键词：

斯坦豪斯随机乘法函数;乔拉猜想;复高斯分布

引文：

Zbl 0133.30003号;Zbl 1472.11254号;Zbl 1515.11076号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{O.Klurman}等人，Geom。功能。分析。33，编号3，749-777（2023；Zbl 07694917）
全文： 内政部 arXiv公司

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