有三角形的数字也是方形的

奇迹中的奇迹。我很惊喜地收到了来自克里斯·惠特罗:

我刚刚无意中发现了您的网站，注意到您的页面位于三角形和广场数字。我忍不住放下这张纸条，指出一个奇怪的事实：还有一组同时是三角形和方形的无限数字。生成它们有一个递归关系：

(1)S（n+1）=4·S（n）·[8·S（n+1]

从S（1）=1，S（2）=36开始，依此类推。证明是公平的简单明了。嗯，一件事既可以是三角形和正方形，不是吗？

是的，当然。怎么能同时是正方形和三角形呢？

嗯，我不得不在图书馆里翻阅了几本书，直到我在A.H.Beiler的数字理论中的娱乐.拜勒写道：“八个三角形因单位增加而产生一个正方形，”因为

(2)8·r（r+1）/2+1=4r2+4r+1=（2r+1）2。

（2） 反过来也证明了这一点：一个正方形减去一就得到了八个三角形。这个简单的规则解释了递归关系（1）。然而，（1）并没有列举所有这些数字。从（1）中，我们得到S（3）=41616，而还有另一个数字1225，即三角形和方形：1225 = 49·50/2 = 352。

这个问题实际上是作为问题发布的E类1473 (调幅1962年，第168页），J.L.Pietepol著，A.V.Sylvester著解[数学模型第145页，数学速度, #186]. 让T型n个=n（n+1）/2表示第n个三角形数。根据观察结果，如果Tn个是一个完美的正方形，T也是4n（n+1）的确，让n（n+1）/2=k2.然后4n（n+1）=8k2。继续：

 
T型4n（n+1）=T8千2 =8千2（8千2+1）/2=4k2（8千2+ 1)
=4k2[4n（n+1）+1]=4k2[4个2+4n+1]
=4千2（2n+1）2。

所有这些数字都可以通过求解Pell方程:8倍2+1=年2它在数论中起着突出的作用。

正方形和三角形同时数
8倍2+ 1 =年2三角形数三角形的边正方形的侧面
8·12+1 =三2111
8·62+1 =1723686
8·352+1 =99212254935
8·2042+1 =577241616288204
8·11892+1 =33632141372116811189
8·69302+1 =1960124802490098006930
8·403912+1 =114243216314328815712140391

所有这些数字都可以通过将递归关系生成的序列的成员平方得到

（3）单位n个=6 un-1个-u个n-2个，n>1，u0=0，u1= 1,

还有一个明确的公式

(4)单位n个= (((1 +√2)2个- (1 -√2)2个)/(42))2

也可以写成[威尔斯，第93页]

(4)单位n个= [(17 + 12√2)n个+ (17 - 12√2)n个-2]/32之间。

([威尔斯第93页]还提到，三角形数字不能是立方体，也不能是四次方或五次方。）

阿曼多·瓜纳切利从阿根廷发现了一个非常简单的递归关系，它可以生成所有同样是正方形的三角形数。

我遇到的参考文献如下。

工具书类

  1. A.H.Beiler的数字理论中的娱乐1966年，多佛
  2. J.H.Conway、R.K.Guy、，《数字之书》1996年，施普林格
  3. R.Honsberger公司数学模型，MAA，1978年
  4. G.M.Phillips，数学不是一项观众运动2005年，施普林格
  5. C.W.触发器，数学速成，多佛，1985年
  6. D.威尔斯，企鹅奇趣数字词典，企鹅出版社，1987年

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