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/***\主页*@自2010-09-08*@作者Richard J.Mathar**<a href=“http://oeis.org/“>OEIS</a>中的函数*\cite{PARI}翻译语言PARI/gp。**//**一般辅助函数*//**将矢量写入b文件。*矢量的元素被附加到文件中。*文件是由不存在创建的。*@param[in]v值的向量*@param[in]f要创建的文件名。*@param[in]关闭v的第一个元素的索引。*@自2010-09-08*@todo f应替换为A号并打印%I和%H行。*@todo不附加到现有文件。*@作者R.J.Mathar*/矢量文件(v、f、OFF)={对于(i=1,长度(v),写下(f,i+offs-1”“v[i]);)}/**常系数线性递归的第n项。*@param[in]vi初始值的向量。*@param[in]vc递推系数的向量。*@param[in]n返回值的索引,从1开始。*@returna(n)由a(i)=vi[i]定义,对于n<=长度(vi),否则a(n)=sum{c=1..leng(vc)}vc[c]*a(n-c)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/林瑞克(vi,vc,n)={本地(vshf、j、s、lenvi);j=长度(vi);lenvi=j;如果(n<=j,返回(vi[n])) ;如果(长度(vc)>lenvi,错误(“LinHRec reccurrence”,length(vc),“deep but only”,j,“initial elements”);) ;vshf=矢量(j,i,vi[i]);而(j<n,s=总和(i=1,长度(vc),vc[i]*vshf[lenvi+1-i]);/*上移一个元素*/对于(i=1,lenvi-1,vshf[i]=vshf[i+1]);vshf[lenvi]=s;j++;) ;甚高频[伦维];}/**常系数线性递归的前n项。*@param[in]vi初始值的向量。*@param[in]vc递推系数的向量。*@param[in]n返回向量的长度。*@return a[1..n]由a(i)=vi[i]定义,对于n<=长度(vi),否则a(n)=sum{c=1..leng(vc)}vc[c]*a(n-c)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/林瑞克(vi,vc,n)={本地(vshf、j、s、lenvi);j=长度(vi);lenvi=j;如果(长度(vc)>lenvi,错误(“LinHRec reccurrence”,length(vc),“deep but only”,j,“initial elements”);) ;vshf=矢量(n);对于(i=1,min(lenvi,n),vshf[i]=vi[i]) ;而(j<n,s=和(i=1,长度(vc),vc[i]*vshf[j+1-i]);vshf[j+1]=s;j++;) ;甚高频;}/**n的不同因式分解列表。*@param n参数>=1。*@param maxf因子分解中n的最大因子。*@return一个格式为[list1,list2,list3,…]的列表,其中listi中的所有数字<=maxf,*其中listi中所有数字的乘积是n,并且每个listi中的数字都是非递增的。*示例:n=100和maxf=10返回[[[5,5,2,2],[5,5,4],[10,5,2],[10,10]]。*这主要是一个辅助功能A005179号,以及对分区的乘法模拟。*@自2008年5月26日起*@作者R.J.Mathar*/prodR(n,最大值)={本地(dfs,a=[],r,tmp);dfs=除数(n);对于(i=2,长度(dfs),如果(dfs[i]<=maxf,如果(dfs[i]==n,a=混凝土(a,[[n]]),r=prodR(n/dfs[i],最小值(dfs[i],maxf));对于(j=1,长度(r),tmp=浓度(dfs[i],r[j]);a=浓度(a,[tmp]);) ;) ;) ;) ;返回(a);}/**按A数顺序编号的序列*//**τ(n),n的除数。*@param[in]n计算除数的参数。*@return tau(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000005号(n)={/*西格玛(n,0)*/努姆迪夫(n)}添加帮助(A000005号,“tau(n),n的除数”;/**n划分为不同部分的数目。*@param[in]n参数n>=0。*@返回q(n)。*@自2000年以来*@作者N.J.A.斯隆*/A000009号(n)={波尔科夫(prod(k=1,n,1+x^k,1+x*O(x^n)),n)}添加帮助(A000009号,“q(n),n划分为不同部分的数目”);/**划分为不同部分的0..n-1的向量。*@param[in]n矢量的长度。*@return q(0..n-1)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000009_vec(n)={局部(gf=prod(k=1,n,1+x^k,1+x*O(x^n)),a=向量(n));对于(i=0,n-1,a[i+1]=波尔科夫(gf,i)) ;}addhelp(a00009_vec,“q(0..n-1),0..n-1划分为不同部分的向量”);/**欧拉函数φ(n)。*@param[in]n计算素数的上限。*@return phi(n),数的计数<=n和相对素数对n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000010号(n)={欧勒比语(n)}添加帮助(A000010号,“phi(n),欧拉函数。”);/**所有1的顺序。*@param[in]n(伪)参数>=0。*@返回1*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000012号(n)={1}/**自然数。*@param[in]n参数>=1。*@返回n*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000027号(n)={如果(n<1,错误(“A000027号参数“n,<=0.”);) ;n}/**第n个卢卡斯号码。*@param[in]n序列的索引*@return L(n),其中L(0)=2,L(1)=1和L(n)=L(n-1)+L(n-2)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000032号(n)={/*递归a(0,1)=(2,1)和a(n)=a(n-1)+a(n-2),偏移量为0*/林瑞克([2,1],[1,1],n+1)}添加帮助(A000032号“卢卡斯(n)”);/**前n个Lucas数,L(0..n-1)。*@param[in]n返回向量的长度*@return L(0..n-1),其中L(0)=2,L(1)=1和L(n)=L(n-1)+L(n-2)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000032_向量(n)={林瑞克向量([2,1],[1,1],n)}addhelp(A000032_vec,“矢量卢卡斯(0..n-1)”);/**检验论点是否是质数。*@param[in]n要测试的值。*@return true如果n是质数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/ISA0000040(n)={isprime(n)}/**质数。*@param[in]n素数的索引*@返回质数(n)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000040号(n)={质数(n)}添加帮助(A000040号,“素数(n)”);/**大于n的最小素数。*@param[in]n小于返回的素数。*@返回质数p>n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000040_下一个(n)={下一时间(n+1)}addhelp(a00040_next,“最小素数大于n.”);/**前n个素数的向量。*@param[in]n矢量分量的数目。*@返回质数(1..n)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000040_vec(n)={向量(n,i,A000040号(i) );}addhelp(a00040_vec,“前n个素数的向量”);/**n的无限制分区数。*@param[in]n P(n)的索引。*@return P(n)。如果n=0或1,则为0;如果n=2,则为2。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000041号(n)={零件编号(n)}添加帮助(A000041号,“分区数n.”;/**梅森素数的指数。*@param[in]n列表中的索引。*@return The prime exponent:2,3,4,7,13…中的第n个元素*这只是从一个有限的查找表中获取的。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000043号(n)={本地(a=[2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937,21701、23209、44497、86243、110503、132049、216091、756839、859433、1257787、1398269、2976221、3021377、6972593、13466917]) ;如果(n>长度(a),错误(“A000043号参数“n”太大。") ,如果(n<1,错误(“A000043号参数“n”,<1e。") ,a[n])) ;}添加帮助(A000043号,“n次梅森素数的素数。”);/**第n个fibonacci数。*@param[in]n是F(n)的索引。*@return F(n)。如果n=0,则为0;如果n=1或2,则为1。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000045型(n)={斐波纳契(n)}添加帮助(A000045型,“斐波纳契(n)”);/**前n个Fibonacci数。*@param[in]n返回向量的长度。*@return斐波那契(0..n-1)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000045_向量(n)={向量(n,i,fibonacci(i-1))}/**2的n次方。*@param[in]n指数。>=0*@return 2^n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000079号(n)={2^n个}添加帮助(A000079号,“2^n”);/**加泰罗尼亚语(n)。*@param[in]n加泰罗尼亚数字的索引,>=0。*@返回C(n)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000108号(n)={二项式(2*n,n)/(n+1)}添加帮助(A000108号,“加泰罗尼亚语(n)”);/**第一个n个加泰罗尼亚数字,以C(0)开头。*@param[in]n返回向量的长度。*@return C(0..n-1)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000108车辆(n)={向量(n,i,A000108号(一-1)}addhelp(a00108_vec,“矢量Catalan(0..n-1)”);/**n!,n的阶乘。*@param[in]n参数。*@return 1*2*3*.*n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000142号(n)={n!}添加帮助(A000142号,“阶乘(n)”);/**前n个Bell数的向量。*@param[in]n要创建的向量的长度。*@返回铃(0..n-1)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000110_vec(n)={局部(a=向量(n),s);a[1]=1;a[2]=1;a[3]=2;如果(n<=3,return(向量(n,i,a[i]);) ;对于(nloc=3,n-1,s=总和(k=1,nloc,a[nloc-k+1]/(nloc-k)/(k-1)!);a[nloc+1]=(nloc-1)*s) ;a;}addhelp(a00110_vec,“贝尔向量(0..n-1)”);/**贝尔(n)。将n个标记的球放入n个未标记的框中的方法数。*@param[in]n参数>=0。*@返回铃(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000110号(n)={局部v;如果(n<0,错误(“A002110型参数“n,<0.”),v=A000110_vec(n+1);v[n+1];) ;}添加帮助(A000110号,“贝尔(n)”);/**n的二元展开式中的1个数。*@param[in]n参数。*@return n的二进制展开中设置的位数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000120型(n)={局部(a=0);当(n>0时,n> >=1;a+=最苦(n,0););a;}添加帮助(A000120型,“n的二进制权重。n中设置的位数。”;/**佩尔(n)。*@param[in]n将索引放入序列中。*@返回a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)+a(n-2)中的元素a(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000129号(n)={林瑞克([0,1],[2,1],n+1)}添加帮助(A000129号,“佩尔(n)。”;/**第一个n个Pell数的向量。*@param[in]n要返回的向量的长度。*@返回Pell(0..n-1),从0,1,2,5,12,29开始。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000129_向量(n)={林瑞克向量([0,1],[2,1],n)}addhelp(a00129_vec,“第一个n Pell numbers.”);/**sigma(n),n的除数和。*@param[in]n取除数的n。*@return sigma_1(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000203型(n)={西格玛(n,1)}添加帮助(A000203型,“sigma(n),n的除数之和”;/**第n个三角形数。*@param[in]n将索引放入列表中,n>=0。*@return n*(n+1)/2。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000217(n)={n*(n+1)/2}添加帮助(A000217,“第n个三角形数”);/**第一个n个三角形数的向量。*@param[in]n返回向量的长度。*@return[0,1,3,6,10,…]的前n个元素*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000217_vec(n)={向量(n,i,A000217(一-1)}addhelp(A000217_vec,“三角形数0到n-1的向量”);/**2^n-1。*@param[in]n指数n。*@return 2^n减1。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000225(n)={如果(n<0,错误(“A000225参数“n,<0.”);) ;2^n-1个}添加帮助(A000225,“2^n-1.”);/**3的n次方。*@param[in]n指数。>=0*@return 3^n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000244号(n)={3^n个}添加帮助(A000244号,“3^n.”;/**n平方。*@param[in]n基础。*@return n^2。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000290型(n)={n^2个}添加帮助(A000290型,“n的平方”;/**n*(n+1)*(n+2)/6.第n个四面体数。*@param[in]n参数,>=0。*@return在n处求值的多项式。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000292号(n)={如果(n<0,错误(“A000292号参数“n,<0.”);) ;n*(n+1)*(n+2)/6}添加帮助(A000292号,“N-四面体数。”);/**第n个四面体数的向量。*@param[in]n构造的向量的长度。*@返回起始向量[0,1,4,10,20,…]*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000292_vec(n)={向量(n,i,A0000292号(i-1));}addhelp(A000292_vec,“n个最小四面体数的向量。”);/**测试参数是否为四面体数。*@param[in]n参数。*@return True如果n的形式为k(k+1)(k+2)/6且k>=0。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/isA000292(n)={本地(k);如果(n<0,返回(0),如果(n<=1,返回(1))) ;/*从估计T(k)>=k^3/6开始,然后向下检查k。*/k=楼层((6*n)^(1/3));同时(A000292号(k) >n,k--) ;A000292号(k) ==n}addhelp(isA000292,“如果n是四面体数,则为True。”);/**n立方。*@param[in]n基础。*@return n^3。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000578号(n)={n^3个}添加帮助(A000578号,“n^3.”);/**测试参数是否为正三次方。*@param[in]n未来完美立方体。*@return True如果n的形式是k^3,k>=0。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/ISA00578(n)={如果(n<0,返回(0),I功率(n,3))}addhelp(isA000578,“如果n是正完全立方体,则为真。”);/**素数π(n)。素数<=n。*@param[in]n素数的极限。*@returnπ(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000720(n)={primepi(n)}添加帮助(A000720,“pi(n),素数<=n.”;/**测试参数是否为素数幂p^k,k>=0。*@param n参数>=1。*@return True如果n的形式是p^k,p a prime,k>=0。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/ISA00961(n)={如果(n<0,返回(0),/*如果1或有一个不同的素数因子,则为真*/如果(n==1,返回(1),ω(n)==1) ;) ;}addhelp(isA000961,“如果素数幂p^k,k>=0,则为真。”);/**大于n的次素数幂。*@param n参数和下限。*@return最小的p^k>n,p a素数和k>=0。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000961_下一个(n)={局部(a=n+1);如果(n<1,返回(1),而(!ISA00961(a),a++) ;) ;}addhelp(a00961_next,“最小素数幂>n.”);/**n个最小素数幂的向量。*@param n返回的向量长度。*@return[1,2,3,4,5,7,8,9,11,13…的第一个元素*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000961_vec(n)={局部(a=向量(n),pk=1);对于(i=1,n,a[i]=pk;pk=a00961_下一个(pk);) ;}addhelp(a00961_vec,“n个第一素数幂的向量。”);/**中心二项式系数二项式(2n,n)。*@param n参数>=0。*@return binomia(2*n,n)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A000984号(n)={如果(n<0,错误(“A000984号参数“n,<0.”);) ;二项式(2*n,n)}添加帮助(A000984号,“二项式(2*n,n),中心二项式系数。”);/**第n个Motzkin数。圆上n个标记点之间的非相交弦。*@param[in]n将索引放入序列中。*@return a(0)=a(1)=1,a(2)=2等中的元素a(n)*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001006号(n)={和(k=0,n,二项式(n,2*k)*A000108号(k) )}添加帮助(A001006号,“莫茨金(n)。”;/**雅各布斯塔尔(n)。*@param[in]n将索引放入序列中。*@返回a(0)=0,a(1)=1,a(n)=a(n-1)+2*a(n-2)中的元素a(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001045型(n)={linHRec([0,1],[1,2],n+1)}添加帮助(A001045型,“雅各布斯塔尔(n)。”;/**第一个n个Jacobsthal数的向量。*@param[in]n要返回的向量的长度。*@返回J(0..n-1)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001045_vec(n)={林瑞克向量([0,1],[1,2],n)}addhelp(a01045_vec,“第一个n个Jacobsthal数。”);/**中心二项式系数二项式(n,楼层(n/2))。*@param n参数>=0。*@return二项式(n,[n/2])*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001405(n)={如果(n<0,错误(“A001405参数“n,<0.”);) ;二项式(n,n\/2)}添加帮助(A001405,“二项式(n,[n/2]),中心二项式系数。”);/**第一个n个中心二项式系数(k,floor(k/2))。*@param n返回的向量长度。*@返回从1,1,2,3,6,10开始的向量,。。。。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001405_vec(n)={如果(n<0,错误(“A001405_vec参数”,n,“<0.”);) ;向量(n,i,A001405(一-1)}addhelp(A001405_vec,“二项向量(k,[k/2]),0<=k<n.”);/**1*3*5*…(2n-1)双阶乘。*@param[in]n奇数双阶乘的索引,>=0。*@return(2n-1)!!*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001147号(n)={如果(n<0,错误(“A001147号参数“n,<0.”);) ;生产(i=1,n,2*i-1)}添加帮助(A001147号,“2n-1的双阶乘。”);/**ω(n)。n的不同素数。*@param[in]n要分解的数字。*@returnω(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001221型(n)={欧米茄(n)}添加帮助(A001221型,“ω(n),不同素数的个数。”);/**第一个nΩ(.)的向量。*@param[in]n返回向量的长度。*@returnω(1..n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001221_向量(n)={向量(n,i,ω(i))}addhelp(A001221_vec,“具有不同素数计数的向量omega(1..n)”);/**大欧米茄(n)。素数素数用重数计数的素数。*@param[in]n要计算的数字。*@return大Ω(n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001222号(n)={大欧米茄(n)}添加帮助(A001222号,“大Ω(n),重数素数。”);/**第一个n大Ω(.)的向量。*@param[in]n要返回的向量的长度。*@return大Ω(1..n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001222_向量(n)={向量(n,i,bigomega(i))}/**卢卡斯广场(n)。*@param[in]n索引到L(n)。*@return L(n)^2。如果n=0,则为4;如果n=1,则为1;如果n=2,则为9。。。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001254型(n)={(A000032号(n) )^2个}添加帮助(A001254型,“卢卡斯(n)平方“);/**作为半素数的检验。*@param[in]n要测试的数字。*@如果是半素数,则返回true,否则返回false。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/isA001358(n)={如果(n<3,0,大ω(n)==2) ;}添加帮助(A001358,“半素数(n),在n=1时从4开始。”);/**参数后的下一个半素数。*@param[in]n当前已知的半素数。*@return最小半素数>n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001358_下一个(n)={局部(a=n+1);而(!isA001358(a),a++) ;}addhelp(A001358_next,“最小半素数大于n.”);/**n个最小半素数。*@param[in]n要返回的向量的长度。*@返回以[4,6,9,10,…]开头的向量*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A001358_vec(n)={局部(a=向量(n));如果(n>0,a[1]=4;对于(j=2,n,a[j]=A001358_下一个(a[j-1]);) ;);}addhelp(A001358_vec,“前n个半素数的向量”);/**前n个素数的乘积。*@param n因子数,>=0。*@return Primorial(n)。如果n==0,则为1。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A002110型(n)={如果(n<0,错误(“A002110型参数“n,<0.”);) ;prod(i=1,n,素数(i))}/**R(n),以10为基数。*@param n索引>=0。*@返回以10为基数的n 1代表的数字。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A002275号(n)={如果(n<0,错误(“A002275号参数“n,<0.”);) ;(10^n-1)/9}/**测试n是否为长方形。*@param[in]n参数。*如果n=k*(k+1)对于某些k>=0,@return True。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/isA002378(北)={如果(n<0,返回(0),平方(1+4*n))}addhelp(isA002378,“针对oblong格式k*(k+1)的测试参数。”);/**n*(n+1)。长方形数字。*@param[in]n参数。*@return n*(n+1)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A002378号(n)={n*(n+1)}添加帮助(A002378号,“长方形数n*(n+1)。”);/**测试参数是否为复合数。*@param n要测试素数的参数。*@return True如果x*y形式的数字x,y>1。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/isA002808(北)={如果(n<4,0, ! isprime(n));}addhelp(isA002808,“Test wethern is composite.”);/**最小合成数>n。*@param n设置的下限。*@return最小组合>n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A002808_下一个(n)={如果(n<4,4个,如果(isprime(n+1),n+2,n+1号););}addhelp(A002808_next,“最小组合>n.”);/**第n个复合数。*@param n列表中的索引,>=1。*@返回第n个组合数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A002808号(n)={局部(a=3);如果(n<0,错误(“A002808号参数“n,<0.”);) ;/*这是一个非常缓慢的执行*替换为primepi()调用。*/对于(i=1,n,a=A002808_下一个(a));}添加帮助(A002808号,“第n个复合数。”);/**检验这个论点,使之不受拘束。*@param n要检查的参数>=1。*@return True如果n是平方自由的。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/ISA00517(北)={如果(n<1,错误(“ISA00517参数”,n,“<1.”);) ;issquarefree(n)}addhelp(isA005117,“如果n是squarefree>=1,则为True。”);/**最小无平方数>n。*@param n参数和下限。*@return大于n的最小的无平方数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A005117_下一个(n)={局部(a=n+1);如果(n<1,返回(1)) ;而(!issquarefree(a),a++) ;}addhelp(A005117_next,“最小平方自由数>n.”);/**第n个平方自由数。*@param n参数>=1。*@返回[1,2,3,5,6,7,10,…]中的第n个元素*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A005117号(n)={局部(a=0);如果(n<1,错误(“A005117号参数“n,<1.”);) ;对于(i=1,n,a=A005117_下一个(a));}添加帮助(A005117号,“第n个平方自由数。”);/**正好有n个除数的最小数。*@param n参数>=1。*@返回[1,2,4,6,16,12,64,…]中的第n个元素*@自2008年5月26日起*@作者R.J.Mathar*/A005179号(n)={局部(pf=prodR(n,n),a=1,b);对于(i=1,长度(pf),b=prod(j=1,长度(pf[i]),素数(j)^(pf[i][j]-1));如果(b<a | | i==1,a=b);) ;返回(a);}添加帮助(A005179号,“有n个除数的最小数。”);/**2n+1。*@param n索引>=0。*@返回关联的奇数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A005408号(n)={如果(n<0,错误(“A005408号参数“n,<0.”);) ;2*n+1}添加帮助(A005408号,“奇数2n+1。”);/**2*n。*@param n参数>=0。*@返回2次n。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A005843号(n)={如果(n<0,错误(“A005843号参数“n,<0.”);) ;2*n}添加帮助(A005843号,“2*n.”;/**最大素数除n。*@param n要计算的数字。*@返回素数因子中最大的一个,如果n=1,则返回1。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A006530(n)={如果(n<1,错误(“A006530参数“n,<=0.”);) ;如果(n==1,返回(1)) ;vecmax(因子(n)[,1]);}添加帮助(A006530,“n的最大素数因子”;/**1..n的最大素数因子向量。*@param n返回的向量长度。*@返回向量[1,2,3,2,5,3…]*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A006530_vec(n)={向量(n,i,A006530(i) )}addhelp(A006530_vec,“1..n.的最大素数向量”;/**二项式(n,m)。帕斯卡三角形。*@param[in]n表达式中的分子。*@param[in]m表达式中的分母。*@return(n选择m)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A007318型(牛,米)={二项式(n,m)}添加帮助(A007318型,“二项式(n,m)”);/**斯特林2(n,k)。*@参数[in]n*@参数[in]k*@return第二种斯特林数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A008277号(n,k)={和(i=0,k,(-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n)/k!}添加帮助(A008277号,“斯特林2(n,m)。”;/**1<=m<=n的斯特林2(n,m)向量。*@参数[in]n*@返回第二种斯特林数。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A008277 U行(n)={向量(n,i,A008277号(n,i)}addhelp(A008277行,“斯特林2(n,1..n)。”);/**Mu(n),Moebius函数。*@param[in]n参数。*@return mu(n),如果n不是平方自由的,则为0,否则(-1)为n的不同素数的幂。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A008683号(n)={莫比乌斯(n)}添加帮助(A008684号,“莫比乌斯(北)。”;/**1..n的Moebius函数的向量。*@param[in]n返回向量的长度。*@return mu(1..n)。*@自2010-09-08*@作者R.J.Mathar*/A008683车辆(n)={向量(n,i,moebius(i))}/**酉西格玛。*@param[in]n参数*@return usigma(n),除数d的和,其中gcd(d,n/d)=1。*@自2000年以来*@作者里克·谢泼德*/A034448号(n)={sumdiv(n,d,if(gcd(d,n/d)==1,d))}/**(-1)西格玛(n)*@param[in]n参数>=1。*@return(-1)^omega(n)*和{d | n}d*(-1)^Ω(d)。*@作者R.J.Mathar*@自2006年10月12日*/A049060号(n)={局部(i,resu,rmax,p);如果(n==1,返回(1),i=系数(n);rmax=matsize(i)[1];结果=1;对于(r=1,rmax,p=总和(j=1,i[r,2],i[r,1]^j);结果*=p-1;) ;结果;) ;}添加帮助(A049060号,“(-1)西格玛(n)”);/**切比雪夫(n,x)的系数[x^m]。*@param[in]n下索引参数n>=0。*@param[in]m x的指数。*@返回S(n,x)的x^m系数。*@作者R.J.Mathar*@自2010-09-08*/A049310型(牛,米)={如果(n<0 | | m<0 | | m>n | |((n+m)%2),返回(0));(-1)^((n+m)/2+m)*二项式((n+m)/2,m)}添加帮助(A049310型,“系数[x^m]Chebyshev-S(n,x)。”;/**x^0到x^n的系数Chebyshev's(n,x)。*@param[in]n下索引参数n>=0。*@返回系数向量,x的指数增加。*@作者R.J.Mathar*@自2010-09-08*/A049310_世界其他地区(n)={向量(n+1,i,A049310型(n,i-1)}addhelp(A049310_行,“Chebyshev-S(n,x)的系数x^0,x^1等”);/**将索引n-1的前一个数增加到*具有与前一个数相同的除数。*@param[in]n参数。*@自2010-10-02*@作者R.J.Mathar*/A175300型(n)={局部(a=1,aprev);如果(n==1,返回(1),阿普里夫=A175300型(n-1);返回(aprev+A005179号(西格玛(aprev,0)));) ;}