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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000045号 斐波那契数:F(n)=F(n-1)+F(n-2),其中F(0)=0,F(1)=1。
(原名M0692 N0256)
5625
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
D.E.Knuth写道:“在斐波纳契写下他的作品之前,印度学者已经讨论过序列F{n},他们长期以来一直对由单拍和双拍音符形成的节奏模式感兴趣。这种共有n拍的节奏数量是F{n+1};因此Gopála(1135年之前)和Hemachandra(约1150年)提到数字1、2、3、5、8、13、21。。。明确地。“(TAOCP第1卷,第2版)-彼得·卢什尼2015年1月11日
根据历史记载(参见P.Singh和S.Kak的参考文献),广义斐波那契数列a、b、a+b、a+2b、2a+3b、3a+5b。。。也可以描述为Gopala-Hemachandra数H(n)=H(n-1)+H(n-2),其中F(n)=H(nLekraj Beedassy,2015年1月11日
苏珊塔·古纳提莱克写道:“他的序列在南亚广为人知,并用于计量科学。其发展部分归功于平加拉(公元前200年),后来与维拉汉卡(约公元700年)、戈帕拉(约公元1135年)和赫马钱德拉(约1150年)联系在一起,他们都生活和工作在斐波纳契之前。”(走向全球科学:挖掘文明知识,第126页)-俄罗斯考克斯2021年9月8日
有时也称为Hemachandra数字。
有时也称为拉梅序列。
有关“斐波纳契”1202年著作的照片,请参阅下面的莱昂纳多·比萨链接。
F(n+2)=长度为n且没有连续0的二进制序列数。
F(n+2)=不包含连续整数的{1,2,…,n}的子集的数目。
F(n+1)=2X1多米诺骨牌对2Xn矩形的平铺数。
F(n+1)=路径图中n个顶点上的匹配数(即Hosoya指数):F(5)=5,因为路径图在顶点a、B、C、D上的匹配是空集,{AB}、{BC}、}和{AB、CD}-Emeric Deutsch公司2001年6月18日
F(n)=n+1的成分数,其中任何部分都不等于1。[格里马尔迪·凯利]
正项是z=2*x*y^4+(x^2)*y^3-2*(x^3)*y*2-y^5-(x^4)*y+2*y对于x,y>=0的解(Ribenboim,第193页)。当x=F(n),y=F(n+1)并且z>0时,则z=F(n+1)。
斐波那契搜索参见Knuth,第3卷;霍洛维茨和萨赫尼;等。
F(n)是帕斯卡三角形中45度斜率项的对角线和-阿玛纳斯·穆尔西,2001年12月29日(即A030528型R.J.马塔尔,2021年10月28日)
F(n+1)是梯形图L_n=P_2 X P_n.-Sharon Sela(sharonsela(AT)hotmail.com)中的完美匹配数,2002年5月19日
F(n+1)=S_n中避免对合的(3412132)、(3412213)和(3412321)个数。
这也是Horadam层序(0,1,1)-罗斯·拉海耶2003年8月18日
的INVERT变换A019590型.INVERT([1,1,2,3,5,8,…])给出A000129号反向([1,2,3,5,8,13,21,…])给出A028859号. -安蒂·卡图恩2003年12月12日
空间R^3上k阶有意义微分运算的次数-布兰科·马列舍维奇2004年3月2日
F(n)=n-1的组分数量,不大于2。例如:F(4)=3,因为我们有3=1+1+1=1+2+1。
F(n)=n组成奇数部分的数量;例如,F(6)计数1+1+1+1+1,1+1+1+3,1+1+3+1,1+3+1+1,5+5,3+1+1+1,3+3,5+1-克拉克·金伯利2004年6月22日
F(n)=长度为n的二进制字的数量,从0开始,且所有长度为奇数;例如,F(6)计数010101、010111、010001、011101、011111、000101、000111、000001-克拉克·金伯利2004年6月22日
序列数(s(0),s(1),。。。,s(n)),使得0<s(i)<5,|s(ii)-s(i-1)|=1,s(0)=1是F(n+1);例如,F(5+1)=8对应于121212121232121234123212123232123234123432123434-克拉克·金伯利,2004年6月22日[由Neven Juric更正,2009年1月9日]
同样,F(6+1)=13对应于这13个序列,其中有7个数字:1212121、1212123、1212321、1212323、1212343、1232121、1232123、1232321、1232323、1232343、123 4323、1234343Neven Juric,2008年1月9日
F(n)和Mandelbrot集合之间的关系在链接“Le nombre d‘or dans l’assemble de Mandelbrot”(法语)中进行了讨论-杰拉尔德·麦卡维2004年9月19日
对于n>0,F(2n-1)*phi=[F(2n);L(2n-1),L(2n-1),L。同样为真:F(2n)*phi=[F(2n+1);-L(2n(A000204号). -克拉克·金伯利,2004年11月28日[由更正Hieronymus Fischer公司2010年10月20日]
对于任何非零值k,n4和单个k的连续分数[4,4,…,4,k]等于(F(3n)+k*F(3n+3))/(F(3n-3)+k*F(3n))-格雷格·德累斯顿2019年8月7日
F(n+1)(对于n>=1)=1,2,3,…,的置换数p,。。。,n使得|k-p(k)|<=1,对于k=1,2,。。。,n.(对于<=2和<=3,请参见A002524号A002526号.) -克拉克·金伯利2004年11月28日
n>0时的比值F(n+1)/F(n)是黄金分割的简单连续分数展开的收敛点-乔纳森·桑多2004年12月19日
替换下连续单词(以a开头)的长度:{a->ab,b->a}-杰罗恩·F.J.拉罗斯2005年1月22日
斐波那契数列与任何加法数列一样,自然倾向于几何形式,公比不是有理幂10;因此,对于足够多的项,第一个有效数字的Benford定律(即,第一个数字1<=d<=9发生概率log10(d+1)-log10(d))成立-Lekraj Beedassy公司2005年4月29日(见Brown-Duncan,1970)-N.J.A.斯隆2017年2月12日)
F(n+2)=Sum_{k=0..n}二项式(floor((n+k)/2),k),行和A046854号. -保罗·巴里2003年3月11日
“zig-zag”偏序集的序理想数。见第1卷,第3章,问题。斯坦利23岁-米奇·哈里斯2005年12月27日
F(n+1)/F(n)也是Farey分数序列(参见A097545号黄金分割比,这是唯一法利分数和连分数相同的数字-约书亚·祖克2006年5月8日
a(n+2)是通过2块具有n个反射的玻璃板的路径数(反射发生在板/板或板/空气界面)。囊性纤维变性。A006356号-A006359号. -米奇·哈里斯2006年7月6日
F(n+1)等于n元篱笆的下行数(即减少子集),即{1,2,…,n}上高度为1的有序集,其1>2<3>4<。。。n,无其他可比性。或者,F(n+1)等于{1,2,…,n}的子集A的数目,其性质是,如果奇数k在A中,则{1,2、…,n{的相邻元素属于A,即k-1和k+1都在A中(前提是它们在{1,2…,nneneneep中)-布莱恩·戴维2006年8月25日
多对映体中Kekulé结构的数量。有关详细信息,请参阅Lukovits和Janezic的论文-Parthasarathy楠比2006年8月22日
逆:φ=(sqrt(5)+1)/2,四舍五入(log_phi(sqrt((5)a(n)+sqrtA001519号A001906号.-大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月19日
1848年Jacobi的一个结果表明,在一个p.i.d.上的每个对称矩阵都与一个三对角矩阵同余。考虑n×n三对角矩阵的行列式中的最大和数T(n)。这与这种行列式的和数相同,其中主-,次对角线和超对角线元素都是非零的。通过对第一行进行扩展,我们可以看到T(n)的序列是在1上没有初始压模的斐波那契序列。-Lariy Gerstein(Gerstein(AT)math.ucsb.edu),2007年3月30日
假设psi=log(phi)。如果n是偶数,则得到表示式F(n)=(2/sqrt(5))*sinh(n*psi);如果n是奇数,则F(n)=(2/sqrt(5))*cosh(n*psi)。卢卡斯数也有类似的表示(A000032号). 许多斐波那契公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式中得出。例如:德莫伊夫定理(cosh(x)+sinh(x))^m=cosh(mx)+sinh(mx-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日
反向:地板(log_phi(sqrt(5)*F(n))+1/2)=n,对于n>1。同样对于n>0,floor((1/2)*log_phi(5*F(n)*F(n+1))=n。扩展对整数n有效,但n=0除外,-1:floor(1/2)*sign(F(n-Hieronymus Fischer公司2007年5月2日
F(n+2)=具有两点余域的Khalimsky-continuinus函数的个数Shiva Samieinia(Shiva(AT)math.su.se),2007年10月4日
这是Doroslovacki参考中的a_1(n)。
让φ=A001622号则φ^n=(1/φ)*a(n)+a(n+1)-加里·亚当森2007年12月15日
第一个差分序列F(n+1)-F(n)基本上是相同的序列:1,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144-科尔姆·马尔卡希2008年3月3日
a(n)=在顺序相关且对每一步的数量或大小没有其他限制的情况下,采用奇数尺寸的台阶,以n个台阶向上运行的不同方式的数量-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
等于三角形的行和A144152号. -加里·亚当森2008年9月12日
除了初始项外,这些分子收敛到递归x=1/(x+1)-西诺·希利亚德2008年9月15日
F(n)是长度为n且符合顺序构造规则的可能二进制序列的数目:如果最后一个符号为0,则添加补码(1);否则添加0或1。这里,0,1是任何2值符号集的元符号。这个规则与JFJ Laros的规则有明显的相似之处,但它是基于加法而不是替换的,并创建了一个树而不是单个序列-罗斯·德鲁2008年10月5日
F(n)=乘积{k=1..(n-1)/2}(1+4*cos^2k*Pi/n),其中项=斐波那契乘积多项式的根,A152063号. -加里·亚当森2008年11月22日
Fp==5^((p-1)/2)mod p,p=素数[Schroeder,p.90]-加里·亚当森&亚历山大·波沃洛茨基,2009年2月21日
A000032号(n) ^2-5*F(n)^2=4*(-1)^n-加里·亚当森2009年3月11日
Kasteleyn关于mXn网格完美匹配数的公式的输出专门用于m=2的斐波那契序列-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
(F(n),F(n+4))满足丢番图方程:X^2+Y^2-7XY=9*(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2009年9月6日
(F(n),F(n+2))满足丢番图方程:X^2+Y^2-3XY=(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2009年9月8日
a(n+2)=A083662号(A131577号(n) )-莱因哈德·祖姆凯勒2009年9月26日
五边形上一个节点的长度为n+1的闭合行走次数与五边形中两个相邻节点之间长度为n/1的行走次数之差-亨利·博托姆利,2010年2月10日
F(n+1)=长度n正好有一个弱上升的Motzkin路径数。长度为n的Motzkin路径是从(0,0)到(n,0)的晶格路径,由U=(1,1),D=(1,-1)和H=(1,0)步组成,永远不会低于x轴。Motzkin路径中的弱上升是连续U步和H步的最大序列。示例:a(5)=5,因为我们有(HHHH)、(HHU)D、(HUH)D、A114690型). -Emeric Deutsch公司2010年3月11日
(F(n-1)+F(n+1))^2-5*F(n-2)*F(n+2)=9*(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2010年3月31日
根据Pinter和Ziegler参考文献的摘要:作者“证明了斐波那契数列本质上是唯一的二元递归,它包含无穷多个三项算术级数。还给出了一般线性递归具有无穷多个四项算术级数的判据。”-乔纳森·沃斯邮报2010年5月22日
F(n+1)=路径图P_4上从初始节点开始的长度为n的路径数-约翰内斯·梅耶尔2010年5月27日
F(k)=在nXn板上放置k个非攻击皇后的方法数的生成函数分母中的分圆多项式数-瓦茨拉夫·科特索维奇2010年6月7日
由于n->oo,(a(n)/a(n-1)-a(n-1,/a(n))趋于1.0。示例:a(12)/a(11)-a(11)/a(12)=144/89-89/144=0.99992197-加里·亚当森2010年7月16日
发件人Hieronymus Fischer公司2010年10月20日:(开始)
斐波那契数是指这样的数m,即m*phi比k*phi更接近整数,对于所有k,1<=k<m。更正式的说法是:a(0)=0,a(1)=1,a(2)=1、a(n+1)=最小m>a(n),即m*phi比a(n)*phi接近整数。
对于所有数字1<=k<F(n),不等式|k*phi-round(k*phi)|>|F(n。
当n>1时,F(n)*phi-圆形(F(n,*phi)=-((-phi)^(-n))。
当n>1时,分形(1/2+F(n)*phi)=1/2-(-phi)^(-n)。
分形(F(n)*phi)=(1/2)*(1+(-1)^n)-(-phi)^(-n),n>1。
逆:n=-log_phi|1/2-分形(1/2+F(n)*phi)|。
(结束)
F类(A001177号(n) *k)对于任何整数k,mod n=0-加里·德特利夫斯2010年11月27日
F(n+k)^2-F(n)^2=F(k)*F(2n+k),对于偶数k-加里·德特利夫斯2010年12月4日
F(n+k)^2+F(n)^2=F(k)*F(2n+k-加里·德特利夫斯2010年12月4日
F(n)=圆形(φ*F(n-1)),对于n>1-约瑟夫·舒拉克,2012年1月13日
对于n>0:a(n)=Wythoff数组中第n行的长度A003603型. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月26日
发件人布里吉特·坦纳2012年2月22日:(开始)
[n]的自由排列数。
[n]的置换数,其中supp(w)中的s_k表示s_{k+-1}不在supp(w)中。
每个分解为长度(w)反射的排列数[n]实际上由简单反射组成。(结束)
序列F(n+1)^(1/n)正在增加。序列F(n+2)^(1/n)递减-托马斯·奥多夫斯基2012年4月19日
两个猜想:对于n>1,F(n+2)^2 mod F(n+1)^2=F(n)*F(n+1)-(-1)^n-亚历克斯·拉图什尼亚克2012年5月6日
发件人拉维·库马尔·达瓦拉2014年1月30日:(开始)
Ratushnyak第一猜想的证明:对于n>1,F(n+2)^2-F(n)*F(n+1)+(-1)^n=2*F(n+1)^2。
考虑:F(n+2)^2-F(n)*F(n+1)-2*F(n+1)^2
=F(n+2)^2-F(n+1)^2–F(n+1)^2-F(n)*F(n/1)
=(F(n+2)+F(n+1))*
=F(n+3)*F(n)-F(n+1)*F(n+2)=-(-1)^n。
第二个猜想的证明:L(n)表示Lucas数列A000032号.
考虑以下事实
L(2n+1)^2=L(4n+2)-2
(F(2n)+F(2n+2))^2=F(4n+1)+F
(F(2n)+F(2n+2))^2=(和{k=2..2n}F(2k))+F。
(结束)
关系:(1,1,0,0,0,…)的INVERT变换=(1,2,3,5,8,…),而(1,0,1,0,1,0,1,…)=(1、1、2、3、5,8…)的INVERT变换等价于:使用第1部分和第2部分的合成数等价于使用第==1部分(mod 2)的合成数(即奇数整数)。通常,使用部分1和k的组合物的数量等于使用部分1 mod k的(n+1)的组合物的数量。Cf。A000930号对于k=3和A003269号对于k=4。例如:对于k=2,n=4,我们有组分(22;211,121;112;1111)=5;但使用第1部分和第3部分,我们得到了n=5:(3113111311111,5)=5-加里·亚当森2012年7月5日
序列F(n)是交替序列(-1)^(n-1)*F(n。这两个事实很容易从等式a(n;1)=F(n+1)和b(n;l)=FA014445号(另见Witula等人的论文。)-罗曼·维图拉2012年7月24日
F(n)是不同(n-1)位二进制数的数目,这样所有长度>1的子串都至少有一个数字等于1。例如:对于n=5,有8个二进制数,其中n-1=4位数字(1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111),只有F(n)=5的数字1010、101、1101,1110和1111具有所需的属性-Hieronymus Fischer公司2012年11月30日
对于正n,F(n+1)等于n X n三对角矩阵的行列式,其中1沿着主对角线,i沿着上对角线和次对角线。其中i=sqrt(-1)。示例:Det([1,i,0,0;i,1,i,0;0,i,1;i,0.0,i,1])=F(4+1)=5-菲利普·德尔汉姆2013年2月24日
对于n>=1,从第一部分和第二部分开始,每第二对部分之间有一个液滴的n的组成数;请参见示例。此外,a(n+1)是从第二部分和第三部分开始,每对第二部分之间有下降的构图数;请参见示例-乔格·阿恩特2013年5月21日[有关证据,请参阅霍普金斯/Tangboonduangjit参考,有关替代证据和统计数据,请参阅Checa参考]
三角形的中心项162741英镑A208245型,n>0-莱因哈德·祖姆凯勒,2013年7月28日
对于n>=4,F(n-1)是以下给出的几何网格类中的简单置换数A226433型. -杰·潘通2013年9月8日
a(n)是五边形(不是五边形)数,因为代数次数2的数字rho(5)=2*cos(Pi/5)=phi(黄金分割),五边形中对角线/边的长度比,具有最小多项式C(5,x)=x^2-x-1(参见A187360型,n=5),因此在代数数域Q(rho(5))的幂基中,ρ(5)^n=a(n-1)*1+a(n)*rho(五),n>=0。这里需要a(-1)=1。另见P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年10月1日
A010056号(a(n))=1-莱因哈德·祖姆凯勒2013年10月10日
将F(-n)定义为F(n)表示n奇数,将-F(n)定义为n偶数。则对于所有n和k,F(n+2k)^2-F(n)^2=F(n+k)*(F(n+3k)-F(n-k))-查理·马里恩2013年12月20日
(F(n),F(n+2k))满足丢番图方程:X^2+Y^2-L(2k)*X*Y=F(4k)^2*(-1)^n。这概括了Bouhamida于2009年9月6日和9月8日发表的评论-查理·马里恩2014年1月7日
对于任何素数p,F(n)中有一个可被p整除的无限周期子序列,它从索引n=0开始,值为0,其第一个非零项在n=A001602号(i) 、和周期k=A001602号(i) ●●●●。另请参见A236479号. -理查德·福伯格2014年1月26日
5阶帕斯卡循环数组第n行的范围-肖恩·奥特2014年5月30日[orig.Kicey-Klimko 2011,以及Glen Whitehead的观察结果;Ault-Kicey 2014中发现的更一般的工作]
五次多项式2*y-y^5+2*x*y^4+x^2*y^3-2*x^3*y^2-x^4*y与x,y>=0的非负范围,见Jones 1975-查尔斯·格里特豪斯四世2014年6月1日
表达式round(1/(F(k+1)/F(n)+F(k)/F-理查德·福伯格,2014年8月4日
猜想:对于n>0,F(n)是所有可容许余类的数目,其中Collatz 3n+1函数的特定有限子序列由n+2项组成。已验证0<n<51。有关详细信息,请参阅链接-迈克·温克勒2014年10月3日
a(4)=3和a(6)=8是唯一的素数+1形式的斐波那契数列-埃曼纽尔·范蒂厄姆(Emmanuel Vantieghem)2014年10月2日
a(1)=1=a(2),a(3)=2是唯一的形式为素数-1的斐波那契数列-埃曼纽尔·范蒂厄姆(Emmanuel Vantieghem)2015年6月7日
斐波那契数列a(n)的任何连续对(m,k)都说明了m英里和k公里之间的等价关系。例如,8英里~13公里;13英里~21公里-Lekraj Beedassy公司2014年10月6日
a(n+1)计算K_2上的闭合行走,在另一个顶点上包含一个循环。等价于A^(n+1)的(1,1)_entry,其中有向图的邻接矩阵为A=(0,1;1,1)-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月29日
a(n-1)计算图G(1-顶点;l-loop,2-loop)上的闭游动-大卫·尼尔·麦格拉思2014年11月26日
发件人汤姆·科普兰2014年11月2日:(开始)
设P(x)=x/(1+x)与comp。逆Pinv(x)=x/(1-x)=-P[-x],C(x)=[1-sqrt(1-4x)]/2,是移位加泰罗尼亚数的o.g.fA000108号,逆Cinv(x)=x*(1-x)。
Fin(x)=P[C(x,A000957号反向鳍^(-1)(x)=Cinv[Pinv(x)]=Cinv[-P(-x)]。
Mot(x)=C[P(x)]=C[-Pinv(-x)]给出了移位的o.g.fA005043号,带有comp的Motzkin或Riordan数。逆Mot^(-1)(x)=Pinv[Cinv(x)]=(x-x^2)/(1-x+x^2。A057078号).
BTC(x)=C[Pinv(x)]给出A007317号,加泰罗尼亚数的二项式变换,BTC^(-1)(x)=P[Cinv(x)]。
Fib(x)=-翅片[Cinv(Cinv(-x))]=-P[Cinv[-x)]=x+2 x ^2+3 x ^3+5 x ^4+…=(x+x^2)/[1-x-x^2]是移位斐波那契数列的o.g.fA000045号,所以比较。倒数为Fib^(-1)(x)=-C[Pinv(-x)]=-BTC(-x)和Fib(x)=-BTC^(-1)(-x)。
推广到P(x,t)=x/(1+t*x)和Pinv(x,t)=x\(1-t*xA091867号,C[P[x,1-t]],以及A104597号,Pinv[Civ(x),t+1]。
(结束)
F(n+1)等于长度为n的二进制字的数量,避免奇数长度的零-米兰Janjic2015年1月28日
发件人罗素·杰·亨德尔2015年4月12日:(开始)
我们证明了公式部分中列出的拉希德猜想1。
我们使用以下符号:F(n)=A000045号(n) 、斐波那契数和L(n)=A000032号(n) 卢卡斯数字。基本的斐波那契-卢卡斯递归断言G(n)=G(n-1)+G(n-2),用“L”或“F”替换“G”。
我们需要以下先决条件,我们将其标记为(A)、(B)、(C)、(D)。先决条件是参考资料部分列出的Koshy书中的公式。(A) F(m-1)+F(m+1)=L(m)(科西,第97页,第32页),(B)L(2m)+2*(-1)^m=L(m。
我们还必须证明(E),L(n+2)*F(n-1)=F(2n+1)+2*(-1)^n。为了证明(E 2和m=n+1,我们有F(n+3)*F(n-1)=F(n+1)+(-1)^n。将(C)的这两个应用程序相加并使用(D),我们得到F(n+1)*F(n-1)+F(n+3)*F。
我们现在证明猜想1。通过(A)和Fibonacci-Lucas递归,我们得到了F(2n+1)+F(2n+2)+F。但是通过(B),m=2n+4,我们得到了sqrt(L(2n+4)+2(-1)^n)=L(n+2)。最后通过(E),我们得到L(n+2)*F(n-1)=F(2n+1)+2*(-1)^n。将两边除以F(n-1),根据需要,我们得到(F(2n+1)+2*(-1。
(结束)
在斐波纳契的《利伯·阿巴奇》(Liber Abaci)中,兔子问题出现在第404-405页L.E.Sigler的译文中,以及第637页的注释[27]中-沃尔夫迪特·朗2015年4月17日
a(n)将(n-1)的部分有序分区计算为1、2、3部分,其中只有相邻的1和2的顺序不重要。(参见示例。)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年7月27日
F(n)除以F(n*k)。马乔里·比克内尔(Marjorie Bicknell)和韦纳·E·霍格特(Verner E Hoggatt Jr.)证明-朱哈尼·海诺,2015年8月24日
F(n)是长度为n的投票路径的UDU等价类的数目。只要UDU在两条路径中的位置相同,那么长度为n、步长为U=(1,1)、D=(1,-1)的两条投票路径都是UDU等价的-科斯塔斯·马内斯2015年8月25日
卡西尼恒等式F(2n+1)*F(2n+3)=F(2n+2)^2+1是A262342型. -乔纳森·桑多2015年10月23日
对于n>=4,F(n)是长度为n-2的字母表{1,2,3}上下单词的数量-冉·潘,2015年11月23日
F(n+2)是p(n)中的项数,其中p(n)/q(n)是形式无穷连分式[a(0),a(1),…]的第n个收敛项;例如,p(3)=a(0)a(1)a(2)a(3)+a(0。此外,F(n+1)是q(n)中的项数-克拉克·金伯利2015年12月23日
如果|i-j|<=1,则F(n+1)(对于n>=1)是n X n矩阵M与M(i,j)=1的恒等式,否则为0-德米特里·埃菲莫夫2016年1月8日
梯形有三条长度边,顺序为F(n)、F(n+2)、F。对于增加n,与最大面积非常接近的近似值的第四边等于2*F(n+1)。对于边长顺序为F(n+2)、F(n)、F-J.M.贝戈2016年3月17日
(1) 将两个边长分别为L(n)、F(n+3)、L(n+2)和F(n+2),L(n+1)、L=A000032号(n) )沿长度L(n+2)的公共边创建不规则四边形。其面积约为5*F(2*n-1)-(F(2xn-7)-F(2*n-13))/5。(2) 沿着公共边F(n+3)将两个边长分别为L(n)、F(n+2)、F。其面积约为4*F(2*n-1)-2*(F(2*n-7)+F(2*18))-J.M.贝戈2016年4月6日
发件人克拉克·金伯利2016年6月13日:(开始)
设T*是由这些规则生成的根为0的无限树:如果p在T*中,则p+1在T*,x*p在Tx中。
设g(n)是第n代的节点集,因此g(0)={0},g(1)={1},g(2)={2,x},c(3)={3,2x,x+1,x^2}等。
设T(r)是用r代替x得到的树。
如果一个正整数N不是正方形且r=sqrt(N),那么g(N)中的整数(不一定是不同的)数量为A000045号(n) ,对于n>=1。请参见A274142型.(结束)
考虑n的分区,所有和最初以非递增顺序列出。将所有1冻结到位,然后允许所有其他加法更改其顺序,而不替换任何1。得到的排列数为a(n+1)-格雷戈里·西蒙2016年6月14日
矩阵幂M^k的极限如所示A163733号2016年9月14日,由于k->无穷大导致单列向量等于斐波那契序列-加里·亚当森2016年9月19日
F(n)和Lucas数L(n)由公式F(n)=(F(n-1)+L(n-1))/2和L(n)=2F(n+1)-F(n)关联,是一对典型的“自序列”(见OEIS Wiki链接)-Jean-François Alcover公司2017年6月10日
另外,(n-2)-路径图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月22日
Łukasiewicz路径的{UD、DU、FD、DF}等价类的移位数。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯吉佐夫2018年4月8日
对于n>0,F(n)=马尔可夫等价类的数量,骨架为n个节点上的路径。参见下文A.Radhakrishnan等人的文章中的定理2.1-利亚姆·索卢斯,2018年8月23日
对于n>=2,同样:中的项数A032858号(每隔一个以3为基数的数字严格小于其相邻数字),以3为底的数字为n-2-M.F.哈斯勒,2018年10月5日
F(n+1)是S_n上Foata变换的不动点数-凯文·朗2018年10月17日
F(n+2)是具有独立参数(0,1,0,1,…)或(1,0,1,0,…)的A_n型Hecke代数的维数。参见链接“具有独立参数的Hecke代数”中的推论1.5-贾煌2019年1月20日
该序列是(1,-1,2,-3,5,-8,13,…)的第二个INVERT变换,并且是从(1,0,1,0。请参阅中所示的阵列A073133号. -加里·亚当森2019年7月16日
发件人王凯(Kai Wang)2019年12月16日:(开始)
F(n*k)/F(k)=和{i=0..n-1;j=0..n-1;i+2*j=n-1}(-1)^(j*(k-1))*L(k)^i*(i+j)/(i!*j!))。
F((2*m+1)*k)/F(k)=和{i=0..m-1}(-1)^(i*k)*L(2*m-2*i)*k。
F(2*m*k)/F(k)=和{i=0..m-1}(-1)^(i*k)*L(2*m-2*i-1)*k)。
F(m+s)*F(n+r)-F(m+r)*F。
F(m+r)*F(n+s)+F(m+s)*F。
L(m+r)*L(n+s)-5*F(m+s)*F(n+r)=(-1)^。
L(m+r)*L(n+s)+5*F(m+s)*F(n+r)=2*L。
L(m+r)*L(n+s)-L(m+s)*L(n+r)=(-1)^(n+s)*5*F(m-n)*F(r-s)。(结束)
F(n+1)是S_n中的置换数,其弱阶主序理想是布尔格-布里吉特·坦纳2020年1月16日
F(n+1)是S_n中的置换w的数量,对于支持w的每个简单反射S,它们以弱顺序形成布尔区间[S,w]-布里奇特·坦纳2020年1月16日
F(n+1)是{1,2,.,.,n}的子集数,其中子集的连续元素之间的所有差异都是奇数。例如,对于n=6,F(7)=13,13个子集是{6}、{1,6},{3,6}和{5,6}、{2,3,6{、{2,5,6{、{4,5,6neneneep、{1,2,3,6}、}1,2,5,6}、{1,4,5、6}。有关元素之间的均匀差异,请参见中的注释A016116号. -恩里克·纳瓦雷特,2020年7月1日
F(n)是{1,2,…,n}的子集数,其中子集的最小元素等于子集的大小(这种类型的子集有时称为特殊子集)。例如,F(6)=8,并且子集是{1}、{2,3}、}2,4}、[2,5}、[3,4,5}]、[2,6}、[1,4,6}和[3,5,6}]。很容易看出,这些子集遵循斐波那契递归F(n)=F(n-1)+F(n-2子集(在本例中,通过将其应用于F(4)=3个子集{1}、{2,3}、{2,4},我们得到{2,6}、{3,4,6}、{3,5,6})-恩里克·纳瓦雷特2020年9月28日
卢卡斯(1877)以意大利数学家斐波那契(Leonardo Bonacci,约1170年-约1240/50年)的名字命名为“斐波那奇之家”。1876年,他以法国数学家加布里埃尔·拉梅(1795-1870)的名字命名该序列为“塞里·德拉梅”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日
F(n)是具有n条边的路径的边覆盖数-M.Farrokhi D.G.先生。2021年9月30日
LCM(F(m),F(n))是一个斐波那契数,当且仅当F(m-M.Farrokhi D.G.先生。2021年9月30日
每个非一致正有理数最多有一个表示形式作为两个斐波那契数的商-M.Farrokhi D.G.先生。2021年9月30日
所有自然数n的无穷和F(n)/10^(n-1)等于100/89。更一般地说,所有自然数n的F(n)/(k^(n-1))之和等于k^2/(k^2-k-1)。乔纳坦·朱拉奇科维奇,2023年12月31日
对于n>=1,组分的数量(c(1),c(2),。。。,n的c(k)),其中c(1),c(3),c(5)。。。为1。为了获得长度为n的这种组分K(n),将K(n-1)中的所有部分c(2)增加一,并在K(n-2)中预加两部分1-乔格·阿恩特2024年1月5日
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配方奶粉
G.f.:x/(1-x-x^2)。
通用公式:和{n>=0}x^n*积{k=1..n}(k+x)/(1+k*x)-保罗·D·汉纳2013年10月26日
F(n)=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^n*sqrt(5))。
或者,F(n)=((1/2+sqrt(5)/2)^n-(1/2-sqrt。
F(n)=F(n-1)+F(n-2)=-(-1)^n F(-n)。
F(n)=圆形(φ^n/sqrt(5))。
F(n+1)=和{j=0..floor(n/2)}二项式(n-j,j)。
一个强可除序列,即所有正整数n和m的gcd(A(n),A(m))=A(gcd(n,m))-迈克尔·索莫斯2017年1月3日
例如:(2/sqrt(5))*exp(x/2)*sinh(sqrt)*x/2)-伦·斯迈利,2001年11月30日
[0 1;1 1]^n[0 1]=[F(n);F(n+1)]
x|F(n)==>x |F(kn)。
F(m)可被素数p整除的一个充分条件是(p-1)除以m,如果p==1或4(mod 5);(p+1)除以m,如果p==2或3(mod 5);或5除以m,如果p=5。(这基本上是哈代和赖特的定理180。)-弗雷德·海伦纽斯(fredh(AT)ix.netcom.com),2001年6月29日
a(n)=F(n)具有以下性质:F(n,F(m)+F(n+1)*F(m+1)=F(n+m+1)-米克洛斯·克里斯托夫2003年11月13日
发件人库尔曼。阿齐兹。拉希德2004年2月21日:(开始)
猜想1:对于n>=2,sqrt(F(2n+1)+F(2n+2)+F。[有关证明,请参阅评论部分。]
猜想2:当n>=0时,(F(n+2)*F(n+3))-(F(n+1)*F(n+4))+(-1)^n=0。
[删除了另外两个猜想彼得·卢什尼2017年11月17日]
定理1:对于n>=0,(F(n+3)^2-F(n+1)^2)/F(n+2)=(F(n+3)+F(n+1))。
定理2:对于n>=0,F(n+10)=11*F(n+5)+F(n)。
定理3:对于n>=6,F(n)=4*F(n-3)+F(n-6)。(结束)
拉希德猜想2实际上是一般定律F(n)*F(m)+F(n+1)*F2005年4月22日,Harmel Nestra(Harmel.Nestra(AT)ut.ee)
拉希德·库尔芒的猜想2简化为:F(n)*F(n+3)=F(n+1)*F(n+2)-(-1)^n-亚历克斯·拉图什尼亚克2012年5月6日
猜想:对于所有c,当2-phi<=c<2*(2-phi)时,对于n>2,F(n)=地板(phi*a(n-1)+c)-杰拉尔德·麦卡维2004年7月21日
对于x>phi,求和{n>=0}F(n)/x^n=x/(x^2-x-1)-杰拉尔德·麦卡维2004年10月27日
F(n+1)=由方程F(x,y)=xy+F(xy,x)确定的系列F(x、1)中第n项的指数-乔纳森·桑多2004年12月19日
a(n-1)=Sum_{k=0..n}(-1)^k*二项式(n-上限(k/2),下限(k/2))-贝诺伊特·克洛伊特2005年5月5日
a(n)=总和{k=0..n}绝对值(A108299号(n,k))-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日
a(n)=A001222号(A000304号(n) )。
F(n+1)=和{k=0..n}二项式((n+k)/2,(n-k)/2)(1+(-1)^(n-k-保罗·巴里2005年8月28日
斐波那契(n)=产品{j=1..天花板(n/2)-1}(1+4(cos(j*Pi/n))^2)。[比克内尔和霍加特,第47-48页。]-Emeric Deutsch公司2006年10月15日
F(n)=2^-(n-1)*Sum_{k=0.floor((n-1)/2)}二项式(n,2*k+1)*5^k-Hieronymus Fischer公司2006年2月7日
a(n)=(b(n+1)+b(n-1))/n,其中{b(n)}是序列A001629号. -塞尔吉奥·法尔孔2006年11月22日
F(n*m)=和{k=0..m}二项式(m,k)*F(n-1)^k*F(n)^(m-k)*F[m-k)]。F(n*m)(n固定,m=0,1,2,…)的母函数是G(x)=F(n)*x/((1-F(n-1)*x)^2-F(n。例如,F(15)=610=F(5*3)=二项式(3,0)*F(4)^0*F(5)^3*F(3)+二项式+1*27*1*0=250+225+135+0=610-米克洛斯·克里斯托夫2007年2月12日
发件人米克洛斯·克里斯托夫2007年3月19日:(开始)
设L(n)=A000032号(n) =卢卡斯数字。然后:
对于a>=b和奇数b,F(a+b)+F(a-b)=L(a)*F(b)。
对于a>=b和偶数b,F(a+b)+F(a-b)=F(a)*L(b)。
对于a>=b和奇数b,F(a+b)-F(a-b)=F(a)*L(b)。
对于a>=b和偶数b,F(a+b)-F(a-b)=L(a)*F(b)。
F(n+m)+(-1)^m*F(n-m)=F(n)*L(m);
F(n+m)-(-1)^m*F(n-m)=L(n)*F(m);
F(n+m+k)+(-1)^k*F(n+m-k)+;
F(n+m+k)-(-1)^k*F(n+m-k)+(-1);
F(n+m+k)+(-1)^k*F(n+m-k)-(-1)^m*(F(n-m+k)+(-1)^k*F(n-m-k))=L(n)*F(m)*L(k);
F(n+m+k)-(-1)^k*F(n+m-k)-。(结束)
Kristof 2007的推论是2*F(A+b)=F(A)*L(b)+L(A)*F(b)-格雷姆·麦克雷,2014年4月24日
对于n>m,如果m是奇数,则2m连续Fibonacci数F(n-m-1)到F(n+m-2)的和为F(n)*L(m),如果m为偶数,则为L(n)*F(m)(参见McRae链接)-格雷姆·麦克雷2014年4月24日。
F(n)=b(n)+(p-1)*和{k=2..n-1}层(b(k)/p)*F(n-k+1),其中b(k=A010077号(n) +9*和{k=2..n-1}A059995号(A010077号(k) )*F(n-k+1)-Hieronymus Fischer公司2007年7月1日
F(n)=b(n)+p*总和{k=2..n-1}层(b(k)/p)*F(n-k+1)其中b(k=A074867号(n) +10*Sum_{k=2..n-1}A059995号(A074867号(k) )*F(n-k+1)-Hieronymus Fischer公司2007年7月1日
a(n)=连续分数[1,1,1,…]的分母(有n个1);例如,2/3=连分数[1,1,1];其中barover[1]=[1,1,1,…]=0.6180339-加里·亚当森2007年11月29日
F(n+3)=2F(n+2)-F(n),F(n+4)=3F(n=2)-F-(n)-保罗·柯茨2008年2月1日
a(2^n)=产品{i=0..n-2}B(i)其中B(iA001566号例3*7*47=F(16)-肯尼思·J·拉姆齐2008年4月23日
a(n+1)=和{k=0..n}A109466号(n,k)*(-1)^(n-k)-菲利普·德尔汉姆2008年10月26日
a(n)=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}δ(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n),其中δ(l_1,l_2-托马斯·维德2009年2月25日
a(n+1)=2^n平方(Product_{k=1..n}cos(kPi/(n+1-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
a(n+1)=Sum_{k=楼层(n/2)mod 5}C(n,k)-Sum_{k=楼层((n+5)/2)mod 5}C(n,k)=A173125型(n)-A173126号(n) =|A054877美元(n)-A052964号(n-1)|-亨利·博托姆利,2010年2月10日
如果p[i]=modp(i,2),并且如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=det a-米兰Janjic2010年5月2日
极限{k->oo}F(k+n)/F(k)=(L(n)+F(n)*sqrt(5))/2与Lucas数L(n=A000032号(n) ●●●●-约翰内斯·梅耶尔2010年5月27日
对于n>=1,F(n)=圆形(log_2(2^(φ*F(n-1))+2^(phi*F(n-2))),其中φ是黄金比率-弗拉基米尔·舍维列夫2010年6月24日、6月27日
对于n>=1,a(n+1)=上限(φ*a(n)),如果n是偶数,a(n+1)=下限(φ*a(n),如果n是奇数(φ=黄金比率)-弗拉基米尔·舍维列夫,2010年7月1日
a(n)=2*a(n-2)+a(n-3),n>2-加里·德特利夫斯2010年9月8日
a(2^n)=产品{i=0..n-1}A000032号(2 ^i)-弗拉基米尔·舍维列夫2010年11月28日
a(n)^2-a(n-1)^2=a(n+1)*a(n-2),参见A121646号.
a(n)=sqrt((-1)^k*(a(n+k)^2-a(k)*a(2n+k-加里·德特利夫斯2010年12月3日
F(2*n)=F(n+2)^2-F(n+1)^2-2*F(n)^2-理查德·福伯格,2011年6月4日
发件人阿图尔·贾辛斯基2011年11月17日:(开始)
(-1)^(n+1)=F(n)^2+F(n。
F(n)=F(n+2)-1+(F(n+1))^4+2*。(结束)
F(n)=1+和{x=1..n-2}F(x)-约瑟夫·舒拉克2012年2月5日
F(n)=4*F(n-2)-2*F(n-3)-F(n-6)-加里·德特利夫斯2012年4月1日
F(n)=圆形(φ^(n+1)/(φ+2))-托马斯·奥多夫斯基2012年4月20日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基,2012年6月3日:(开始)
G.f.:A(x)=x/(1-x-x^2)=G(0)/sqrt(5),其中G(k)=1-((-1)^k)*2^k/(A^k-b*x*A^k*2^k/(b*xx2^k-2*(-1)*k)*c^k/G(k+1);(连分数,第3类,3步)。
设E(x)为例如f。,
E(x)=1*x+(1/2)*x^2+(1/3)*x*3+(1/8)*x|4+(1/24)*x$5+(1/90)*x_6+(13/5040)*x~7+。。。;然后
E(x)=G(0)/sqrt(5);G(k)=1-((-1)^k)*2^k/;(连分数,第3类,3步)。
(结束)
发件人Hieronymus Fischer公司2012年11月30日:(开始)
F(n)=1+和{j_1=1..n-2}1+和{j_1=1..n2}和{j_2=1..j_1-2}1+加和{j_1=1..n-2}和}j_2=1.j_1-2{和{j_3=1..j_2}1+…+Sum_{j_1=1..n-2}Sum_{j_2=1..j_1-2}Sum_{j_3=1..j_2-2}。。。求和{j_k=1..j_(k-1)-2}1,其中k=楼层((n-1)/2)。
示例:F(6)=1+Sum_{j=1..4}1+Sum_{j=1..4}Sum_{k=1..(j-2)}1+0=1+(1+1+1+1)+(1+(1+1))=8。
F(n)=求和{j=0..k}S(j+1,n-2j),其中k=楼层((n-1)/2)和S(j,n)是第n个j复和:S(1,n)=1是1-单形和,S(2,n)=和{k=1..n}S+1=n是2-单形和,S(3,n)=sum_{k=1..n}S(2,k)=1+2+3++n是3-单形和(=三角数=A000217号),S(4,n)=和{k=1..n}S(3,k)=1+3+6++n(n+1)/2是4-单和(=四面体数=A000292号)等等。
由于S(j,n)=二项式(n-2+j,j-1),上述公式本质上等于众所周知的二项式公式。(结束)
通用公式:A(x)=x/(1-x/(1-x/(1+x)))-迈克尔·索莫斯2013年1月4日
和{n>=1}(-1)^(n-1)/(a(n)*a(n+1))=1/phi(φ=黄金比率)-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
发件人劳尔·普里萨卡里奥,2023年10月29日:(开始)
对于奇数k,求和{n>=1}a(k)^2*(-1)^(n-1)/(a(k*n)*a(kxn+k))=phi^(-k)。
对于偶数k,求和{n>=1}a(k)^2/(a(k*n)*a(kxn+k))=phi^(-k)。(结束)
发件人弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月24日:(开始)
(1) 通过a(n)表示a(n+1):a(n+1)=(a(n;
(2) 和{k=1..n}(-1)^(k-1)/(a(k)*a(k+1))=a(n)/a(n+1);
(3) a(n)/a(n+1)=1/phi+r(n),其中|r。(结束)
F(n+1)=F(n)/2+平方((-1)^n+5*F(n,^2/4),n>=0。F(n+1)=U_n(i/2)/i^n,(U:=第二类切比雪夫多项式,i=sqrt(-1))-高斯珀2013年3月4日
G.f.:-Q(0),其中Q(k)=1-(1+x)/(1-x/(x-1/Q(k+1)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月6日
G.f.:x-1-1/x+(1/x)/Q(0),其中Q(k)=1-(k+1)*x/(1-x/(x-(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月23日
G.f.:x*G(0),其中G(k)=1+x*(1+x)/(1-x*(1+x)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月8日
通用公式:x^2-1+2*x^2/(W(0)-2),其中W(k)=1+1/(1-x*(k+x)/(x*(k+1+x)+1/W(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
G.f.:Q(0)-1,其中Q(k)=1+x^2+(k+2)*x-x*(k+1+x)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月6日
设b(n)=b(n-1)+b(n-2),其中b(0)=0,b(1)=phi。然后,对于n>=2,如果n是偶数,则F(n)=地板(b(n-1)),如果n为奇数,则收敛-理查德·福伯格2014年1月19日
a(n)=和{t1*g(1)+t2*g(2)+…+tn*g(n)=n}多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn),其中g(k)=2*k-1-米尔恰·梅卡2014年2月27日
F(n)=圆形(sqrt(F(n-1)^2+F(n)^2+F(n+1)^2)/2),对于n>0。如果n足够大,这个规则似乎适用于形式a(n)=a(n-1)+a(n-2)的任意序列,对于a(0)和a(1)的任意两个值-理查德·福伯格2014年7月27日
F(n)=圆形(2/(1/F(n。这个规则似乎也适用于形式a(n)=a(n-1)+a(n-2)的任何序列,对于a(0)和a(1)的任意两个值,如果n足够大-理查德·福伯格2014年8月3日
F(n)=圆形(1/(总和{j>=n+2}1/F(j)))-理查德·福伯格2014年8月14日
a(n)=n>=2时的超几何([-n/2+1/2,-n/2+1],[-n+1],-4)-彼得·卢什尼2014年9月19日
极限{n->oo}(log F(n+1)/log F(n))^n=e-托马斯·奥多夫斯基2014年10月6日
F(n)=(L(n+1)^2-L(n-1)^2)/(5*L(n)),其中L(nA000032号(n) ,具有类似的反向关系-理查德·福伯格,2014年11月17日
考虑上面注释中的图G[1-顶点;1-loop,2-loop]。构造幂矩阵阵列T(n,j)=[A^*j]*[S^*(j-1)],其中A=(1,1,0,…)和S=(0,1,0,……)(A063524号). [*是卷积运算]用I=(1,0,…)定义S^*0=I。然后T(n,j)计算包含(j)个循环和a(n-1)=Sum_{j=1..n}T(n、j)的n-walk-大卫·尼尔·麦格拉思2014年11月21日
将F(-n)定义为F(n)表示n奇数,将-F(n)定义为n偶数。那么对于所有n和k,F(n)=F(k)*F(n-k+3)-F(k-1)*F-查理·马里恩2014年12月4日
如果L(k)=A000032号(k) ●●●●-亚历山大·萨莫克鲁托夫2015年7月20日
F(2*n)=F(n+1)^2-F(n-1)^2,类似于Koshy(D)和Forberg 2011,但有所不同-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月12日
F(n+1)=上限((1/phi)*Sum_{k=0..n}F(k))-汤姆·埃德加2015年9月10日
a(n)=(L(n-3)+L(n+3))/10,其中L(n)=A000032号(n) ●●●●-J.M.贝戈,2015年11月25日
发件人鲍勃·塞尔科2016年3月27日:(开始)
F(n)=(F(2n+k+1)-F(n+1)*F(n+k/1))/F(n+k),k>=0。
因此,当k=0:F(n)=sqrt(F(2n+1)-F(n+1)^2)时。
F(n)=(F(3n)-F(n+1)^3+F(n-1)^3)^(1/3)。
F(n+2k)=从F(n)开始的任何子序列的二项式变换。示例F(6)=8:1*8=F(6”)=8;1*8+1*13=F(8)=21;1*8+2*13+1*21=F(10)=55;1*8+3*13+3*21+1*34=F(12)=144等。此公式适用于具有a(0)和a(1)任意两个种子值的斐波那契型序列(例如Lucas序列A000032号:a(0)=2,a(1)=1)。
(结束)
F(n)=L(k)*F(n-k)+(-1)^(k+1)*F=A000032号(k) ●●●●-安东·扎哈罗夫2016年8月2日
发件人伊利亚·古特科夫斯基2016年8月3日:(开始)
a(n)=F_n(1),其中F_n是斐波那契多项式。
的二项式逆变换A001906号.
从初始字符串“1”(1->1010->101011->…)到步骤n,代换系统{0->11,1->1010}中的零数乘以1/A000079号(n) ●●●●。(结束)
对于n>=2,a(n)=2^(n^2+n)-(4^n-2^n-1)*楼层(2^(n ^2+n)/-贝诺伊特·克洛伊特2017年4月17日
f(n+1)=和{j=0..floor(n/2)}和{k=0..j}二项式(n-2j,k)*二项式-托尼·福斯特三世2017年9月4日
F(n)=和{k=0..层((n-1)/2)}((n-k-1)!/(n-2k-1)!*k!)-詹多斯·曼贝塔利耶夫2017年11月8日
对于x偶数,F(n)=(F(n+x)+F(n-x))/L(x)。对于x奇数,F(n)=(F(n+x)-F(n-x))/L(x),其中在这两种情况下n>=x。因此,当n>=0时,F(n)=F(2*n)/L(n)-大卫·詹姆斯·西卡莫尔,2018年5月4日
发件人艾萨克·萨福克2018年7月19日:(开始)
让[a/p]表示勒让德符号。然后,对于奇素数p:
F(p+n)==[5/p]*F([5/p]+n)(mod p),如果[5/p]=1或-1。
F(p+n)==3*F(n)(mod p),如果[5/p]=0(即p=5)。
如果该序列被negafibonacci数(即F(-n))扩展,则负指数项也是如此=A039834号(n) )。(结束)
a(n)=A094718号(4,n)。a(n)=A101220标准(0,j,n)。
a(n)=A090888号(0,n+1)=A118654号(0,n+1)=A118654号(1,n-1)=A109754号(0,n)=A109754号(1,n-1),对于n>0。
a(n)=(L(n-3)+L(n-2)+L=A000032号(n) ●●●●-阿特·贝克2019年1月4日
当n>k>0时,F(n)=F(k-1)*F(abs(n-k-2))+F(k-1)*F(n-k-1)+F(k)*F(abs(n-k-2))+2*F(k)*F(n-k-1)-约瑟夫·舒尼亚2019年8月12日
F(n)=F(n-k+2)*F(k-1)+F(n-k+1)*F-迈克尔·塔尔斯基赫,2019年10月9日
F(n)^2-F(n+k)*F(n-k)=(-1)^(n+k)*F-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2021年5月7日
Sum_{n>=1}1/a(n)=A079586号是倒数斐波那契常数-Gennady Eremin公司2021年8月6日
a(n)=产品{d|n}b(d)=产品_{k=1..n}b=A061446号(n) =a(n)的基本部分,φ(n)=A000010号(n) ●●●●-理查德·奥尔勒顿2021年11月8日
a(n)=2*i^(1-n)*sin(n*arccos(i/2))/sqrt(5),i=sqrt(-1)-高斯珀2022年5月5日
a(n)=i^(n-1)*sin(n*c)/sin(c)=i^-彼得·卢什尼2022年5月23日
F(2n)=Sum_{k=1..n}(k/5)*二项式(2n,n+k),其中(k/5)是勒让德或雅可比符号;F(2n+1)=和{k=1..n}(-(k+2)/5)*二项式(2n+1,n+k),其中(-(k+2)/5)是勒让德或雅可比符号。例如,F(10)=1*二项式(10,6)-1*二项法(10,7)-1*二项式(10,18)+1*二项制(10,9)+0*二项论(10,10),F(11)=1*二项式-李一科2022年8月21日
对于n>0,1/F(n)=Sum_{k>=1}F(n*k)/(F(n+2)^(k+1))-迭戈·拉塔吉2022年10月26日
发件人安德里亚·皮诺斯,2022年12月2日:(开始)
对于n==0(mod 4):F(n)=F((n+2)/2)*(F(n/2)+F((n/2)-2))+1;
对于n==1(mod 4):F(n)=F((n-1)/2)*(F((n-1)/2;
对于n==2(mod 4):F(n)=F((n-2)/2)*(F(n/2)+F(n/2+2))+1;
对于n==3(mod 4):F(n)=F((n-1)/2)*(F(n-1。(结束)
例子
对于x=0,1,2,3,4,x=1/(x+1)=1,1/2,2/3,3/5,5/8。这些馏分的分子为1,1,2,3,5,它们是序列的第二项至第六项-西诺·希利亚德2008年9月15日
发件人乔格·阿恩特2013年5月21日:(开始)
从第一部分和第二部分开始,每对第二部分之间有一个(7)=13个7的组合:
01: [ 2 1 2 1 1 ]
02: [ 2 1 3 1 ]
03: [ 2 1 4 ]
04: [ 3 1 2 1 ]
05:[3 1 3]
06: [ 3 2 2 ]
07: [ 4 1 2 ]
08: [ 4 2 1 ]
09年:[4 3]
10: [ 5 1 1 ]
11: [ 5 2 ]
12: [ 6 1 ]
13:[7]
有abs(a(6+1))=13组6,其中第二对零件之间没有上升,从第二和第三部分开始:
01: [ 1 2 1 2 ]
02: [ 1 3 1 1 ]
03: [ 1 3 2 ]
04: [ 1 4 1 ]
05: [ 1 5 ]
06: [ 2 2 1 1 ]
07: [ 2 3 1 ]
08: [ 2 4 ]
09: [ 3 2 1 ]
10: [ 3 3 ]
11: [ 4 2 ]
12: [ 5 1 ]
13: [ 6 ]
(结束)
(n-1)的部分有序分区为第1、2、3部分,其中只有相邻的1和2的顺序不重要。例如,a(8)=21。它们是(331)、(313)、(133)、(322)、(232)、),(13111),(11311),(11131),(11113),(2221),(22111),(211111),(1111111). -大卫·尼尔·麦格拉思2015年7月25日
考虑7的分区,其和最初以非递增顺序列出。保持1的冻结位置(用“[]”表示),然后允许其他加法改变其顺序:7;6,[1]; 5,2; 2,5; 4,3;3,4; 5,[1,1], 4,2,[1]; 2,4,[1]; 3,3,[1]; 3,3,2; 3,2,3; 2,3,3; 4,[1,1,1];3,2,[1,1]; 2,3,[1,1]; 2,2,2,[1]; 3,[1,1,1,1]; 2,2,[1,1,1]; 2,[1,1,1,1,1]; [1,1,1,1,1,1,1]. 总共有21个=a(7+1)安排-格雷戈里·西蒙2016年6月14日
MAPLE公司
A000045号:=过程(n)组合[fibonacci](n);结束;
ZL:=[S,{a=原子,b=原子,S=Prod(X,序列(Prod(X,b))),X=序列(b,卡>=1)},未标记]:seq(组合结构[计数](ZL,大小=n),n=0..38)#零入侵拉霍斯2008年4月4日
规范:=[B,{B=序列(集合(Z,卡>1))},未标记]:seq(组合结构[count](规范,大小=n),n=1..39)#零入侵拉霍斯2008年4月4日
#下面的Maple命令isFib(n)根据n是否为Fibonacci数得出true或false。
with(combint):isFib:=proc(n)local a:a:=prog(n)局部j:for j,而fibonacci(j)<=n do fibonaci(j)end do:fibonaacci(j-1)end proc:evalb(a(n)=n)end proc:#Emeric Deutsch公司2014年11月11日
数学
表[Fibonacci[k],{k,0,50}](*穆罕默德·阿扎里安2015年7月11日*)
表[2^n Sqrt@乘积[(Cos[Pi k/(n+1)]^2+1/4),{k,n}]//FullSimplify,{n,15}];(*Kasteleyn的配方专门化,莎拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日*)
线性递归[{1,1},{0,1},40](*哈维·P·戴尔,2014年8月3日*)
斐波那契[区间[0,20]](*埃里克·韦斯特因2017年9月22日*)
系数列表[级数[-(x/(-1+x+x^2)),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月22日*)
黄体脂酮素
(公理)[fibonacci(n)代表0..50]
(岩浆)[斐波那契(n):n in[0..38]];
(Magma)[0,1]cat[n:n in[1..50000000]| IsSquare(5*n^2-4)or IsSquale(5*n ^2+4)]//文森佐·利班迪2014年11月19日
(Maxima)标记列表(fib(n),n,0,100)/*马丁·埃特尔2012年10月21日*/
(PARI)a(n)=斐波那契(n)
(PARI)a(n)=imag(quadgen(5)^n)
(PARI)a(n)=my(φ=quadgen(5));(φ^n-(-1/φ)^n)/(2*phi-1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月17日
(PARI)a(n)=polceoff(总和(m=0,n,x^m*prod(k=1,m,k+x+x*O(x^n))/prod(k=1,m,1+k*x+x*O(x*n)),n)\\保罗·D·汉纳2013年10月26日
(Python)#来自Jaap间谍,2007年1月5日,更新者彼得·卢什尼2023年2月21日:
从itertools导入islice
定义fib_gen():
x、 y=0,1
为True时:
收益率x
x、 y=y,x+y
fib_list=lambda n:列表(islice(fib_gen(),n))
(Python)
定义A000045号(n,F=[0,1]):
F.延伸(范围内_的总和(F[-2:])(n-len(F)+1));返回F[n]#M.F.哈斯勒2023年2月17日
(Sage)#来自的演示程序Jaap间谍:
a=斯隆。A000045号; # 选择序列
print(a)#返回序列的名称。
print(a(38))#返回序列的第38项。
print(a.list(39))#返回前39个术语的列表。
(鼠尾草)
a=二进制递归序列(1,1);打印([a(n)代表范围(20)中的n])
#保罗·汉金(Paul Hankin)提供的F(1)=0的闭式整数公式(见链接)。
F=λn:(4<<(n-1)*(n+2))//((4<<2*(n-1
打印([F(n)代表范围(20)中的n])#彼得·卢什尼2016年8月28日
(Sage)打印(列表(fibonacci_sequence(0,40))#布鲁诺·贝塞利2014年6月26日
(哈斯克尔)
--基于来自的代码http://www.haskell.org/haskellwiki/The_Fibonacci_sequence网站
--它也有其他版本。
fib::Int->整数
fib n=fibs!!n个
哪里
fibs=0:1:zipWith(+)fibs(尾部fibs)
{-使用示例:map fib[0.38]杰拉尔德·麦卡维,2009年9月29日-}
(朱莉娅)
函数fib(n)
F=BigInt[1 1;1 0]
Fn=F^n
Fn[2,1]
结束
println([fib(n)表示0:38中的n)#彼得·卢什尼2017年2月23日
(Julia)#更快
函数fibrec(n::Int)
n==0&&return(BigInt(0),Big Int(1))
a、 b=纤维(div(n,2))
c=a*(b*2-a)
d=a*a+b*b
iseven(n)?(c,d):(d,c+d)
结束
斐波那契(n::Int)=斐波那奇(n)[1]
println([fibonacci(n)代表0:40中的n)#彼得·卢什尼2022年4月3日
(间隙)
光纤:=[0,1];;对于[3..10^3]中的n,做Fib[n]:=Fib[n-1]+Fib[n-2];od;光纤#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月3日
(方案)
;; 以下定义使用宏definec来记录(缓存)结果。请参见http://oeis.org/wiki/Memoization#方案
(定义(A000045号n) (如果(<n 2)n(+(A000045号(-n 1))(A000045号(-n 2))));;安蒂·卡图恩2017年10月6日
(Scala)定义fibonacci(n:BigInt):BigInt={
val zero=BigInt(0)
def fibTail(n:BigInt,a:BigInt,b:BigInt):BigInt=n匹配{
案例`zero`=>a
案例_=>fibTail(n-1,b,a+b)
}
fibTail(n,0,1)
}//基于卡拉斯克尔(2016)链接的“案例3:尾部递归”
(0到49).map(fibonacci(_))//阿隆索·德尔·阿特2019年4月13日
交叉参考
数组的第一行A103323号A172236号A234357型.第二行阵列A099390号A048887号、和A092921号(k-广义斐波那契数)。
囊性纤维变性。A001175号(皮萨诺时期),A001177号(入口点),A001176号(基本周期中的零数)。
斐波纳契-卡利三角形:A327992型.
Boutrophedon变换:A000738号A000744号.
素因子数:A022307号A038575号.
囊性纤维变性。A061446号(斐波那契数的基本部分),A000010号(对产品配方的评论)。
关键词
非n核心美好的容易的听到改变
作者
状态
经核准的

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