|
|
A000045号 |
| 斐波那契数:F(n)=F(n-1)+F(n-2),其中F(0)=0,F(1)=1。 (原名M0692 N0256)
|
|
5625
|
|
|
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
评论
|
D.E.Knuth写道:“在斐波纳契写下他的作品之前,印度学者已经讨论过序列F{n},他们长期以来一直对由单拍和双拍音符形成的节奏模式感兴趣。这种共有n拍的节奏数量是F{n+1};因此Gopála(1135年之前)和Hemachandra(约1150年)提到数字1、2、3、5、8、13、21。。。明确地。“(TAOCP第1卷,第2版)-彼得·卢什尼2015年1月11日
根据历史记载(参见P.Singh和S.Kak的参考文献),广义斐波那契数列a、b、a+b、a+2b、2a+3b、3a+5b。。。也可以描述为Gopala-Hemachandra数H(n)=H(n-1)+H(n-2),其中F(n)=H(nLekraj Beedassy,2015年1月11日
苏珊塔·古纳提莱克写道:“他的序列在南亚广为人知,并用于计量科学。其发展部分归功于平加拉(公元前200年),后来与维拉汉卡(约公元700年)、戈帕拉(约公元1135年)和赫马钱德拉(约1150年)联系在一起,他们都生活和工作在斐波纳契之前。”(走向全球科学:挖掘文明知识,第126页)-俄罗斯考克斯2021年9月8日
有时也称为Hemachandra数字。
有时也称为拉梅序列。
有关“斐波纳契”1202年著作的照片,请参阅下面的莱昂纳多·比萨链接。
F(n+2)=长度为n且没有连续0的二进制序列数。
F(n+2)=不包含连续整数的{1,2,…,n}的子集的数目。
F(n+1)=2X1多米诺骨牌对2Xn矩形的平铺数。
F(n+1)=路径图中n个顶点上的匹配数(即Hosoya指数):F(5)=5,因为路径图在顶点a、B、C、D上的匹配是空集,{AB}、{BC}、}和{AB、CD}-Emeric Deutsch公司2001年6月18日
F(n)=n+1的成分数,其中任何部分都不等于1。[格里马尔迪·凯利]
正项是z=2*x*y^4+(x^2)*y^3-2*(x^3)*y*2-y^5-(x^4)*y+2*y对于x,y>=0的解(Ribenboim,第193页)。当x=F(n),y=F(n+1)并且z>0时,则z=F(n+1)。
斐波那契搜索参见Knuth,第3卷;霍洛维茨和萨赫尼;等。
F(n+1)是梯形图L_n=P_2 X P_n.-Sharon Sela(sharonsela(AT)hotmail.com)中的完美匹配数,2002年5月19日
F(n+1)=S_n中避免对合的(3412132)、(3412213)和(3412321)个数。
这也是Horadam层序(0,1,1)-罗斯·拉海耶2003年8月18日
的INVERT变换A019590型.INVERT([1,1,2,3,5,8,…])给出A000129号反向([1,2,3,5,8,13,21,…])给出A028859号. -安蒂·卡图恩2003年12月12日
F(n)=n-1的组分数量,不大于2。例如:F(4)=3,因为我们有3=1+1+1=1+2+1。
F(n)=n组成奇数部分的数量;例如,F(6)计数1+1+1+1+1,1+1+1+3,1+1+3+1,1+3+1+1,5+5,3+1+1+1,3+3,5+1-克拉克·金伯利2004年6月22日
F(n)=长度为n的二进制字的数量,从0开始,且所有长度为奇数;例如,F(6)计数010101、010111、010001、011101、011111、000101、000111、000001-克拉克·金伯利2004年6月22日
序列数(s(0),s(1),。。。,s(n)),使得0<s(i)<5,|s(ii)-s(i-1)|=1,s(0)=1是F(n+1);例如,F(5+1)=8对应于121212121232121234123212123232123234123432123434-克拉克·金伯利,2004年6月22日[由Neven Juric更正,2009年1月9日]
同样,F(6+1)=13对应于这13个序列,其中有7个数字:1212121、1212123、1212321、1212323、1212343、1232121、1232123、1232321、1232323、1232343、123 4323、1234343Neven Juric,2008年1月9日
F(n)和Mandelbrot集合之间的关系在链接“Le nombre d‘or dans l’assemble de Mandelbrot”(法语)中进行了讨论-杰拉尔德·麦卡维2004年9月19日
对于任何非零值k,n4和单个k的连续分数[4,4,…,4,k]等于(F(3n)+k*F(3n+3))/(F(3n-3)+k*F(3n))-格雷格·德累斯顿2019年8月7日
F(n+1)(对于n>=1)=1,2,3,…,的置换数p,。。。,n使得|k-p(k)|<=1,对于k=1,2,。。。,n.(对于<=2和<=3,请参见A002524号和A002526号.) -克拉克·金伯利2004年11月28日
n>0时的比值F(n+1)/F(n)是黄金分割的简单连续分数展开的收敛点-乔纳森·桑多2004年12月19日
斐波那契数列与任何加法数列一样,自然倾向于几何形式,公比不是有理幂10;因此,对于足够多的项,第一个有效数字的Benford定律(即,第一个数字1<=d<=9发生概率log10(d+1)-log10(d))成立-Lekraj Beedassy公司2005年4月29日(见Brown-Duncan,1970)-N.J.A.斯隆2017年2月12日)
F(n+2)=Sum_{k=0..n}二项式(floor((n+k)/2),k),行和A046854号. -保罗·巴里2003年3月11日
“zig-zag”偏序集的序理想数。见第1卷,第3章,问题。斯坦利23岁-米奇·哈里斯2005年12月27日
F(n+1)/F(n)也是Farey分数序列(参见A097545号黄金分割比,这是唯一法利分数和连分数相同的数字-约书亚·祖克2006年5月8日
F(n+1)等于n元篱笆的下行数(即减少子集),即{1,2,…,n}上高度为1的有序集,其1>2<3>4<。。。n,无其他可比性。或者,F(n+1)等于{1,2,…,n}的子集A的数目,其性质是,如果奇数k在A中,则{1,2、…,n{的相邻元素属于A,即k-1和k+1都在A中(前提是它们在{1,2…,nneneneep中)-布莱恩·戴维2006年8月25日
逆:φ=(sqrt(5)+1)/2,四舍五入(log_phi(sqrt((5)a(n)+sqrtA001519号和A001906号.-大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月19日
1848年Jacobi的一个结果表明,在一个p.i.d.上的每个对称矩阵都与一个三对角矩阵同余。考虑n×n三对角矩阵的行列式中的最大和数T(n)。这与这种行列式的和数相同,其中主-,次对角线和超对角线元素都是非零的。通过对第一行进行扩展,我们可以看到T(n)的序列是在1上没有初始压模的斐波那契序列。-Lariy Gerstein(Gerstein(AT)math.ucsb.edu),2007年3月30日
假设psi=log(phi)。如果n是偶数,则得到表示式F(n)=(2/sqrt(5))*sinh(n*psi);如果n是奇数,则F(n)=(2/sqrt(5))*cosh(n*psi)。卢卡斯数也有类似的表示(A000032号). 许多斐波那契公式现在很容易从适当的sinh和cosh公式中得出。例如:德莫伊夫定理(cosh(x)+sinh(x))^m=cosh(mx)+sinh(mx-Hieronymus Fischer公司2007年4月18日
反向:地板(log_phi(sqrt(5)*F(n))+1/2)=n,对于n>1。同样对于n>0,floor((1/2)*log_phi(5*F(n)*F(n+1))=n。扩展对整数n有效,但n=0除外,-1:floor(1/2)*sign(F(n-Hieronymus Fischer公司2007年5月2日
F(n+2)=具有两点余域的Khalimsky-continuinus函数的个数Shiva Samieinia(Shiva(AT)math.su.se),2007年10月4日
这是Doroslovacki参考中的a_1(n)。
第一个差分序列F(n+1)-F(n)基本上是相同的序列:1,0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144-科尔姆·马尔卡希2008年3月3日
a(n)=在顺序相关且对每一步的数量或大小没有其他限制的情况下,采用奇数尺寸的台阶,以n个台阶向上运行的不同方式的数量-穆罕默德·阿扎里安2008年5月21日
除了初始项外,这些分子收敛到递归x=1/(x+1)-西诺·希利亚德2008年9月15日
F(n)是长度为n且符合顺序构造规则的可能二进制序列的数目:如果最后一个符号为0,则添加补码(1);否则添加0或1。这里,0,1是任何2值符号集的元符号。这个规则与JFJ Laros的规则有明显的相似之处,但它是基于加法而不是替换的,并创建了一个树而不是单个序列-罗斯·德鲁2008年10月5日
F(n)=乘积{k=1..(n-1)/2}(1+4*cos^2k*Pi/n),其中项=斐波那契乘积多项式的根,A152063号. -加里·亚当森2008年11月22日
Kasteleyn关于mXn网格完美匹配数的公式的输出专门用于m=2的斐波那契序列-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
(F(n),F(n+4))满足丢番图方程:X^2+Y^2-7XY=9*(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2009年9月6日
(F(n),F(n+2))满足丢番图方程:X^2+Y^2-3XY=(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2009年9月8日
五边形上一个节点的长度为n+1的闭合行走次数与五边形中两个相邻节点之间长度为n/1的行走次数之差-亨利·博托姆利,2010年2月10日
F(n+1)=长度n正好有一个弱上升的Motzkin路径数。长度为n的Motzkin路径是从(0,0)到(n,0)的晶格路径,由U=(1,1),D=(1,-1)和H=(1,0)步组成,永远不会低于x轴。Motzkin路径中的弱上升是连续U步和H步的最大序列。示例:a(5)=5,因为我们有(HHHH)、(HHU)D、(HUH)D、A114690型). -Emeric Deutsch公司2010年3月11日
(F(n-1)+F(n+1))^2-5*F(n-2)*F(n+2)=9*(-1)^n-穆罕默德·布哈米达2010年3月31日
根据Pinter和Ziegler参考文献的摘要:作者“证明了斐波那契数列本质上是唯一的二元递归,它包含无穷多个三项算术级数。还给出了一般线性递归具有无穷多个四项算术级数的判据。”-乔纳森·沃斯邮报2010年5月22日
F(n+1)=路径图P_4上从初始节点开始的长度为n的路径数-约翰内斯·梅耶尔2010年5月27日
F(k)=在nXn板上放置k个非攻击皇后的方法数的生成函数分母中的分圆多项式数-瓦茨拉夫·科特索维奇2010年6月7日
由于n->oo,(a(n)/a(n-1)-a(n-1,/a(n))趋于1.0。示例:a(12)/a(11)-a(11)/a(12)=144/89-89/144=0.99992197-加里·亚当森2010年7月16日
斐波那契数是指这样的数m,即m*phi比k*phi更接近整数,对于所有k,1<=k<m。更正式的说法是:a(0)=0,a(1)=1,a(2)=1、a(n+1)=最小m>a(n),即m*phi比a(n)*phi接近整数。
对于所有数字1<=k<F(n),不等式|k*phi-round(k*phi)|>|F(n。
当n>1时,F(n)*phi-圆形(F(n,*phi)=-((-phi)^(-n))。
当n>1时,分形(1/2+F(n)*phi)=1/2-(-phi)^(-n)。
分形(F(n)*phi)=(1/2)*(1+(-1)^n)-(-phi)^(-n),n>1。
逆:n=-log_phi|1/2-分形(1/2+F(n)*phi)|。
(结束)
F(n+k)^2-F(n)^2=F(k)*F(2n+k),对于偶数k-加里·德特利夫斯2010年12月4日
F(n+k)^2+F(n)^2=F(k)*F(2n+k-加里·德特利夫斯2010年12月4日
F(n)=圆形(φ*F(n-1)),对于n>1-约瑟夫·舒拉克,2012年1月13日
[n]的自由排列数。
[n]的置换数,其中supp(w)中的s_k表示s_{k+-1}不在supp(w)中。
每个分解为长度(w)反射的排列数[n]实际上由简单反射组成。(结束)
序列F(n+1)^(1/n)正在增加。序列F(n+2)^(1/n)递减-托马斯·奥多夫斯基2012年4月19日
两个猜想:对于n>1,F(n+2)^2 mod F(n+1)^2=F(n)*F(n+1)-(-1)^n-亚历克斯·拉图什尼亚克2012年5月6日
Ratushnyak第一猜想的证明:对于n>1,F(n+2)^2-F(n)*F(n+1)+(-1)^n=2*F(n+1)^2。
考虑:F(n+2)^2-F(n)*F(n+1)-2*F(n+1)^2
=F(n+2)^2-F(n+1)^2–F(n+1)^2-F(n)*F(n/1)
=(F(n+2)+F(n+1))*
=F(n+3)*F(n)-F(n+1)*F(n+2)=-(-1)^n。
考虑以下事实
L(2n+1)^2=L(4n+2)-2
(F(2n)+F(2n+2))^2=F(4n+1)+F
(F(2n)+F(2n+2))^2=(和{k=2..2n}F(2k))+F。
(结束)
关系:(1,1,0,0,0,…)的INVERT变换=(1,2,3,5,8,…),而(1,0,1,0,1,0,1,…)=(1、1、2、3、5,8…)的INVERT变换等价于:使用第1部分和第2部分的合成数等价于使用第==1部分(mod 2)的合成数(即奇数整数)。通常,使用部分1和k的组合物的数量等于使用部分1 mod k的(n+1)的组合物的数量。Cf。A000930号对于k=3和A003269号对于k=4。例如:对于k=2,n=4,我们有组分(22;211,121;112;1111)=5;但使用第1部分和第3部分,我们得到了n=5:(3113111311111,5)=5-加里·亚当森2012年7月5日
序列F(n)是交替序列(-1)^(n-1)*F(n。这两个事实很容易从等式a(n;1)=F(n+1)和b(n;l)=FA014445号(另见Witula等人的论文。)-罗曼·维图拉2012年7月24日
F(n)是不同(n-1)位二进制数的数目,这样所有长度>1的子串都至少有一个数字等于1。例如:对于n=5,有8个二进制数,其中n-1=4位数字(1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111),只有F(n)=5的数字1010、101、1101,1110和1111具有所需的属性-Hieronymus Fischer公司2012年11月30日
对于正n,F(n+1)等于n X n三对角矩阵的行列式,其中1沿着主对角线,i沿着上对角线和次对角线。其中i=sqrt(-1)。示例:Det([1,i,0,0;i,1,i,0;0,i,1;i,0.0,i,1])=F(4+1)=5-菲利普·德尔汉姆2013年2月24日
对于n>=1,从第一部分和第二部分开始,每第二对部分之间有一个液滴的n的组成数;请参见示例。此外,a(n+1)是从第二部分和第三部分开始,每对第二部分之间有下降的构图数;请参见示例-乔格·阿恩特2013年5月21日[有关证据,请参阅霍普金斯/Tangboonduangjit参考,有关替代证据和统计数据,请参阅Checa参考]
a(n)是五边形(不是五边形)数,因为代数次数2的数字rho(5)=2*cos(Pi/5)=phi(黄金分割),五边形中对角线/边的长度比,具有最小多项式C(5,x)=x^2-x-1(参见A187360型,n=5),因此在代数数域Q(rho(5))的幂基中,ρ(5)^n=a(n-1)*1+a(n)*rho(五),n>=0。这里需要a(-1)=1。另见P.Steinbach参考A049310型. -沃尔夫迪特·朗2013年10月1日
将F(-n)定义为F(n)表示n奇数,将-F(n)定义为n偶数。则对于所有n和k,F(n+2k)^2-F(n)^2=F(n+k)*(F(n+3k)-F(n-k))-查理·马里恩2013年12月20日
(F(n),F(n+2k))满足丢番图方程:X^2+Y^2-L(2k)*X*Y=F(4k)^2*(-1)^n。这概括了Bouhamida于2009年9月6日和9月8日发表的评论-查理·马里恩2014年1月7日
5阶帕斯卡循环数组第n行的范围-肖恩·奥特2014年5月30日[orig.Kicey-Klimko 2011,以及Glen Whitehead的观察结果;Ault-Kicey 2014中发现的更一般的工作]
五次多项式2*y-y^5+2*x*y^4+x^2*y^3-2*x^3*y^2-x^4*y与x,y>=0的非负范围,见Jones 1975-查尔斯·格里特豪斯四世2014年6月1日
表达式round(1/(F(k+1)/F(n)+F(k)/F-理查德·福伯格,2014年8月4日
猜想:对于n>0,F(n)是所有可容许余类的数目,其中Collatz 3n+1函数的特定有限子序列由n+2项组成。已验证0<n<51。有关详细信息,请参阅链接-迈克·温克勒2014年10月3日
斐波那契数列a(n)的任何连续对(m,k)都说明了m英里和k公里之间的等价关系。例如,8英里~13公里;13英里~21公里-Lekraj Beedassy公司2014年10月6日
a(n+1)计算K_2上的闭合行走,在另一个顶点上包含一个循环。等价于A^(n+1)的(1,1)_entry,其中有向图的邻接矩阵为A=(0,1;1,1)-大卫·尼尔·麦格拉思2014年10月29日
a(n-1)计算图G(1-顶点;l-loop,2-loop)上的闭游动-大卫·尼尔·麦格拉思2014年11月26日
设P(x)=x/(1+x)与comp。逆Pinv(x)=x/(1-x)=-P[-x],C(x)=[1-sqrt(1-4x)]/2,是移位加泰罗尼亚数的o.g.fA000108号,逆Cinv(x)=x*(1-x)。
Fin(x)=P[C(x,A000957号反向鳍^(-1)(x)=Cinv[Pinv(x)]=Cinv[-P(-x)]。
Mot(x)=C[P(x)]=C[-Pinv(-x)]给出了移位的o.g.fA005043号,带有comp的Motzkin或Riordan数。逆Mot^(-1)(x)=Pinv[Cinv(x)]=(x-x^2)/(1-x+x^2。A057078号).
BTC(x)=C[Pinv(x)]给出A007317号,加泰罗尼亚数的二项式变换,BTC^(-1)(x)=P[Cinv(x)]。
Fib(x)=-翅片[Cinv(Cinv(-x))]=-P[Cinv[-x)]=x+2 x ^2+3 x ^3+5 x ^4+…=(x+x^2)/[1-x-x^2]是移位斐波那契数列的o.g.fA000045号,所以比较。倒数为Fib^(-1)(x)=-C[Pinv(-x)]=-BTC(-x)和Fib(x)=-BTC^(-1)(-x)。
推广到P(x,t)=x/(1+t*x)和Pinv(x,t)=x\(1-t*xA091867号,C[P[x,1-t]],以及A104597号,Pinv[Civ(x),t+1]。
(结束)
F(n+1)等于长度为n的二进制字的数量,避免奇数长度的零-米兰Janjic2015年1月28日
我们证明了公式部分中列出的拉希德猜想1。
我们使用以下符号:F(n)=A000045号(n) 、斐波那契数和L(n)=A000032号(n) 卢卡斯数字。基本的斐波那契-卢卡斯递归断言G(n)=G(n-1)+G(n-2),用“L”或“F”替换“G”。
我们需要以下先决条件,我们将其标记为(A)、(B)、(C)、(D)。先决条件是参考资料部分列出的Koshy书中的公式。(A) F(m-1)+F(m+1)=L(m)(科西,第97页,第32页),(B)L(2m)+2*(-1)^m=L(m。
我们还必须证明(E),L(n+2)*F(n-1)=F(2n+1)+2*(-1)^n。为了证明(E 2和m=n+1,我们有F(n+3)*F(n-1)=F(n+1)+(-1)^n。将(C)的这两个应用程序相加并使用(D),我们得到F(n+1)*F(n-1)+F(n+3)*F。
我们现在证明猜想1。通过(A)和Fibonacci-Lucas递归,我们得到了F(2n+1)+F(2n+2)+F。但是通过(B),m=2n+4,我们得到了sqrt(L(2n+4)+2(-1)^n)=L(n+2)。最后通过(E),我们得到L(n+2)*F(n-1)=F(2n+1)+2*(-1)^n。将两边除以F(n-1),根据需要,我们得到(F(2n+1)+2*(-1。
(结束)
在斐波纳契的《利伯·阿巴奇》(Liber Abaci)中,兔子问题出现在第404-405页L.E.Sigler的译文中,以及第637页的注释[27]中-沃尔夫迪特·朗2015年4月17日
a(n)将(n-1)的部分有序分区计算为1、2、3部分,其中只有相邻的1和2的顺序不重要。(参见示例。)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年7月27日
F(n)除以F(n*k)。马乔里·比克内尔(Marjorie Bicknell)和韦纳·E·霍格特(Verner E Hoggatt Jr.)证明-朱哈尼·海诺,2015年8月24日
F(n)是长度为n的投票路径的UDU等价类的数目。只要UDU在两条路径中的位置相同,那么长度为n、步长为U=(1,1)、D=(1,-1)的两条投票路径都是UDU等价的-科斯塔斯·马内斯2015年8月25日
对于n>=4,F(n)是长度为n-2的字母表{1,2,3}上下单词的数量-冉·潘,2015年11月23日
F(n+2)是p(n)中的项数,其中p(n)/q(n)是形式无穷连分式[a(0),a(1),…]的第n个收敛项;例如,p(3)=a(0)a(1)a(2)a(3)+a(0。此外,F(n+1)是q(n)中的项数-克拉克·金伯利2015年12月23日
如果|i-j|<=1,则F(n+1)(对于n>=1)是n X n矩阵M与M(i,j)=1的恒等式,否则为0-德米特里·埃菲莫夫2016年1月8日
梯形有三条长度边,顺序为F(n)、F(n+2)、F。对于增加n,与最大面积非常接近的近似值的第四边等于2*F(n+1)。对于边长顺序为F(n+2)、F(n)、F-J.M.贝戈2016年3月17日
(1) 将两个边长分别为L(n)、F(n+3)、L(n+2)和F(n+2),L(n+1)、L=A000032号(n) )沿长度L(n+2)的公共边创建不规则四边形。其面积约为5*F(2*n-1)-(F(2xn-7)-F(2*n-13))/5。(2) 沿着公共边F(n+3)将两个边长分别为L(n)、F(n+2)、F。其面积约为4*F(2*n-1)-2*(F(2*n-7)+F(2*18))-J.M.贝戈2016年4月6日
设T*是由这些规则生成的根为0的无限树:如果p在T*中,则p+1在T*,x*p在Tx中。
设g(n)是第n代的节点集,因此g(0)={0},g(1)={1},g(2)={2,x},c(3)={3,2x,x+1,x^2}等。
设T(r)是用r代替x得到的树。
如果一个正整数N不是正方形且r=sqrt(N),那么g(N)中的整数(不一定是不同的)数量为A000045号(n) ,对于n>=1。请参见A274142型.(结束)
考虑n的分区,所有和最初以非递增顺序列出。将所有1冻结到位,然后允许所有其他加法更改其顺序,而不替换任何1。得到的排列数为a(n+1)-格雷戈里·西蒙2016年6月14日
矩阵幂M^k的极限如所示A163733号2016年9月14日,由于k->无穷大导致单列向量等于斐波那契序列-加里·亚当森2016年9月19日
F(n)和Lucas数L(n)由公式F(n)=(F(n-1)+L(n-1))/2和L(n)=2F(n+1)-F(n)关联,是一对典型的“自序列”(见OEIS Wiki链接)-Jean-François Alcover公司2017年6月10日
另外,(n-2)-路径图中独立顶点集和顶点覆盖的数量-埃里克·韦斯特因2017年9月22日
Łukasiewicz路径的{UD、DU、FD、DF}等价类的移位数。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯吉佐夫2018年4月8日
对于n>0,F(n)=马尔可夫等价类的数量,骨架为n个节点上的路径。参见下文A.Radhakrishnan等人的文章中的定理2.1-利亚姆·索卢斯,2018年8月23日
对于n>=2,同样:中的项数A032858号(每隔一个以3为基数的数字严格小于其相邻数字),以3为底的数字为n-2-M.F.哈斯勒,2018年10月5日
F(n+1)是S_n上Foata变换的不动点数-凯文·朗2018年10月17日
F(n+2)是具有独立参数(0,1,0,1,…)或(1,0,1,0,…)的A_n型Hecke代数的维数。参见链接“具有独立参数的Hecke代数”中的推论1.5-贾煌2019年1月20日
该序列是(1,-1,2,-3,5,-8,13,…)的第二个INVERT变换,并且是从(1,0,1,0。请参阅中所示的阵列A073133号. -加里·亚当森2019年7月16日
F(n*k)/F(k)=和{i=0..n-1;j=0..n-1;i+2*j=n-1}(-1)^(j*(k-1))*L(k)^i*(i+j)/(i!*j!))。
F((2*m+1)*k)/F(k)=和{i=0..m-1}(-1)^(i*k)*L(2*m-2*i)*k。
F(2*m*k)/F(k)=和{i=0..m-1}(-1)^(i*k)*L(2*m-2*i-1)*k)。
F(m+s)*F(n+r)-F(m+r)*F。
F(m+r)*F(n+s)+F(m+s)*F。
L(m+r)*L(n+s)-5*F(m+s)*F(n+r)=(-1)^。
L(m+r)*L(n+s)+5*F(m+s)*F(n+r)=2*L。
L(m+r)*L(n+s)-L(m+s)*L(n+r)=(-1)^(n+s)*5*F(m-n)*F(r-s)。(结束)
F(n+1)是S_n中的置换数,其弱阶主序理想是布尔格-布里吉特·坦纳2020年1月16日
F(n+1)是S_n中的置换w的数量,对于支持w的每个简单反射S,它们以弱顺序形成布尔区间[S,w]-布里奇特·坦纳2020年1月16日
F(n+1)是{1,2,.,.,n}的子集数,其中子集的连续元素之间的所有差异都是奇数。例如,对于n=6,F(7)=13,13个子集是{6}、{1,6},{3,6}和{5,6}、{2,3,6{、{2,5,6{、{4,5,6neneneep、{1,2,3,6}、}1,2,5,6}、{1,4,5、6}。有关元素之间的均匀差异,请参见中的注释A016116号. -恩里克·纳瓦雷特,2020年7月1日
F(n)是{1,2,…,n}的子集数,其中子集的最小元素等于子集的大小(这种类型的子集有时称为特殊子集)。例如,F(6)=8,并且子集是{1}、{2,3}、}2,4}、[2,5}、[3,4,5}]、[2,6}、[1,4,6}和[3,5,6}]。很容易看出,这些子集遵循斐波那契递归F(n)=F(n-1)+F(n-2子集(在本例中,通过将其应用于F(4)=3个子集{1}、{2,3}、{2,4},我们得到{2,6}、{3,4,6}、{3,5,6})-恩里克·纳瓦雷特2020年9月28日
卢卡斯(1877)以意大利数学家斐波那契(Leonardo Bonacci,约1170年-约1240/50年)的名字命名为“斐波那奇之家”。1876年,他以法国数学家加布里埃尔·拉梅(1795-1870)的名字命名该序列为“塞里·德拉梅”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日
所有自然数n的无穷和F(n)/10^(n-1)等于100/89。更一般地说,所有自然数n的F(n)/(k^(n-1))之和等于k^2/(k^2-k-1)。乔纳坦·朱拉奇科维奇,2023年12月31日
对于n>=1,组分的数量(c(1),c(2),。。。,n的c(k)),其中c(1),c(3),c(5)。。。为1。为了获得长度为n的这种组分K(n),将K(n-1)中的所有部分c(2)增加一,并在K(n-2)中预加两部分1-乔格·阿恩特2024年1月5日
|
|
参考文献
|
Mohammad K.Azarian,斐波那契数列的生成函数,《密苏里数学科学杂志》,第2卷,第2期,1990年春,第78-79页。Zentralblatt MATH,Zbl 1097.11516。
Mohammad K.Azarian,《爬楼梯问题的一般化II》,《密苏里数学科学杂志》,第16卷,第1期,2004年冬季,第12-17页。
P.Bachmann,Niedere Zahlentheorie(1902年,1910年),再版切尔西,纽约,1968年,第2卷,第70页。
R.B.Banks,《切片披萨、赛跑海龟和应用数学的进一步冒险》,普林斯顿大学出版社,1999年。见第84页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,同上。4。
Marjorie Bicknell和Verner E Hoggatt,斐波那契问题书,斐波纳契协会,加利福尼亚州圣何塞,1974年。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第24页(示例18),489,541。
A.Cayley,《三角定理和分划定理》,《数学信使》,5(1876),第164、188页=数学论文第10卷,第634期,第16页。
B.A.Davey和H.A.Priestley,《格与序导论》(第二版),CUP,2002年。(参见练习1.15。)
B.Davis,《今日科学》(后来更名为“2001”)中的“第一位数定律”,1980年3月,第55页,《印度时报》,孟买。
Robert Dougherty-Bliss,《Meta-C-finite Ansatz》,arXiv预印本arXiv:2206.148522022
S.R.Finch,《数学常数》,剑桥,2003年,第1.2节。
R.P.Grimaldi,《没有总和的构成》1,《第三十二届东南组合数学、图论和计算国际会议论文集》(巴吞鲁日,洛杉矶,2001年)。恭喜。数字。152 (2001), 33-43.
H.Halberstam和K.F.Roth,《序列》,牛津,1966年;见附录。
S.Happersett,“数学冥想”,《数学与艺术杂志》,1(2007),29-33。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年;特别见第148页。
V.E.Hoggatt,Jr.、Fibonacci和Lucas Numbers。马萨诸塞州波士顿霍顿,1969年。
E.Horowitz和S.Sahni,《数据结构基础》,计算机科学出版社,1976年;第338页。
M.Kauers和P.Paule,《混凝土四面体》,施普林格出版社2011年,第63页。
C.Kicey和K.Klimko,Pascal三角形的一些几何,Pi-Mu Epsilon期刊,13(4):229-245(2011)。
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,第1卷,第78页;第3卷,第6.2.1节。
托马斯·科西(Thomas Koshy),“斐波那契(Fibonacci)和卢卡斯(Lucas)数字及其应用”,约翰·威利(John Wiley)和索恩斯(Sons),2001年。
比萨的莱昂纳多·皮萨诺(Leonardo Pisano),《计算之书》(Liber Abaci),1202年。
D.Litchfield、D.Goldenheim和C.H.Dietrich、Euclid、Fibonacci和Sketchpad、Math。教师,90(1997)。
Lukovits等人,《纳米管:Kekulé结构数量和芳香性》,《化学杂志》。Inf.计算。《科学》(2003),第43卷,609-614。参见第610页的等式2。
I.Lukovits和D.Janezic,“纳米管共轭电路的计数”,《化学杂志》。Inf.计算。科学。,第44卷,410-414(2004)。见表1第二列。
B.Malesevic:空间R^n上微分运算组合的一些组合方面,贝尔格莱德大学,Publ。埃利克特罗恩。传真:。,序列号。材料9(1998),29-33。
G.Mantel,Resten van wederkeerige Reeksen,Nieuw Archief v.Wiskunde,第二辑,第一卷(1894年),172-184。
C.N.Menhinick,《斐波那契共振和其他新的黄金比率发现》,《Onperson》(2015),第200-206页。
S.Mneimneh,《课程中的斐波那契:不仅仅是一次糟糕的复发》,载于SIGCSE 15第46届ACM计算机科学教育技术研讨会论文集,第253-258页。
Hilary I.Okagbue、Muminu O.Adamu、Sheila A.Bishop、Abiodun A.Opanuga,斐波那契数的数字和迭代数字和及其恒等式和幂,国际应用工程研究杂志ISSN 0973-4562第11卷,第6期(2016)第4623-4627页。
Clifford A.Pickover,《数学的激情》,威利出版社,2005年;见第49页。
Clifford A.Pickover,《数学书》,《从毕达哥拉斯到第57维度》,《数学史上的250个里程碑》,斯特林出版社。,纽约,2009年,第274页。
A.S.Posamentier&I.Lehmann,《神奇的斐波那契数》,普罗米修斯出版社,纽约州阿默斯特,2007年。
P.Ribenboim,《素数记录新书》,施普林格出版社,1996年。
J.Riordan,《组合分析导论》,普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿,1978年。
A.M.Robert,p-adic分析课程,Springer-Verlag,2000年;第213页。
J.Roberts,《整数的诱惑》,数学。美国协会,1992年,第288页。
曼弗雷德·施罗德(Manfred R.Schroeder),《科学与传播中的数字理论》,第五版,斯普林格·弗拉格出版社,2009年
L.E.Sigler,斐波纳契的《利伯·阿巴奇》,斯普林格出版社,2003年,第404-405页和第627页[26]。
Simson,[没有透露名字],对阿尔伯特·吉拉德评论中一段晦涩难懂的段落的解释。。。,菲尔,跨性别。皇家学会,10(1753),430-433。
帕尔马南德·辛格,《古代和中世纪印度的所谓斐波那契数》,《数学史》,第12卷(1985年),第229-244页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
S.Vajda,Fibonacci和Lucas数字以及黄金分割,Ellis Horwood有限公司,奇切斯特,1989年。
N.N.Vorob'ev,Chisla fibonachchi[俄罗斯],莫斯科,1951年。英语翻译,斐波那契数列,布莱斯德尔,纽约和伦敦,1961年。
N.N.Vorobiev,Fibonacci Numbers,Birkhauser(巴塞尔;波士顿),2002年。
D.威尔斯,《企鹅好奇和有趣数字词典》,第61-67页,企鹅出版社,1987年。
D.B.West,组合数学,剑桥,2021年,第53页。
R.Witula,D.Slota,delta-Fibonachi Numbers,应用。分析。离散数学。,3 (2009), 310-329.
|
|
链接
|
马可·阿布拉特(Marco Abrate)、斯特凡诺·巴贝罗(Stefano Barbero)、翁贝托·塞鲁蒂(Umberto Cerruti)、纳迪尔·穆鲁(Nadir Murru)、,彩色构图、反转操作符和带有“黑色领带”的优雅构图,离散数学。335 (2014), 1--7. MR3248794。
Jarib R.Acosta、Yadira Caicedo、Juan P.Poveda、JoséL.Ramírez、Mark Shattuck、,一些新的限制n色合成函数,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.6.4条。
穆罕默德·阿扎里安,斐波那契恒等式为二项式和《国际当代数学科学杂志》,第7卷,第38期,2012年,第1871-1876页。
奥维迪乌·巴格达萨(Ovidiu Bagdasar)、伊芙·海德威克(Eve Hedderwick)、爱昂-卢西亚波帕(Ioan-Lucian Popa)、,关于复杂Horadam序列的比率和几何边界《离散数学电子笔记》(2018)第67卷,第63-70页。
S.Barbero、U.Cerruti、N.Murru、,用二项式和逆算子变换递归序列,J.国际顺序。13(2010)#110.7.7,实施例17。
玛丽莲娜·巴纳贝、弗拉维奥·博内蒂和尼科洛·卡斯特罗诺沃,莫茨金和加泰罗尼亚隧道多项式,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.8条。
Paul Barry、Aoife Hennessy和Nikolaos Pantelidis,Riordan子群的代数性质,J Algebr Comb 53,1015-1036(2021)。
A.T.Benjamin、A.K.Eustis、M.A.Shattuck、,周期平铺的压缩定理及其结果,JIS 12(2009)09.6.3。
E.R.Berlekamp,对数学心理测量学的贡献,未出版的贝尔实验室备忘录,1968年2月8日[带注释的扫描件]
马乔里·比克内尔(Marjorie Bicknell)和维纳·E·霍加特(Verner E Hoggatt Jr),证明:F(n)除以F(nk)《斐波那契数入门:IX》(1973)
J.Bodeen、S.Butler、T.Kim、X.Sun、S.Wang、,用三角形平铺条形图《El.J.Combinat》。21(1)(2014)第1.7页。
Jhon J.Bravo、Jose L.Herrera和JoséL.Ramírez,广义Pell数的组合解释,J.国际顺序。,第23卷(2020年),第20.2.1.条。
J.Britton和B.V.Eeckhout,斐波那契互动[断开的链接]
S.Brlek、E.Duchi、E.Pergola和S.Rinaldi,关于继承规则的等价性问题,离散。数学。,298 (2005), 142-154.
Steve Butler、Jason Ekstrand和Steven Osborne,通过在图中行走计算平铺数《基于项目的数学本科生研究指南》,Birkhäuser,Cham(2020),见第155页。
Paula M.M.C.Catarino和Anabela Borges,关于莱昂纳多数字《科美尼亚大学数学学报》(2019年),第1-12页。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
G.Everest、A.J.van der Poorten、Y.Puri和T.Ward,整数序列与周期点,《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.2.3条。
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward,《递归序列》,美国。数学。Soc.,2003年;特别参见第255页。1990179年3月
约翰·法瑞尔,斐波那契鸽子【摘自Sarah Spolaor,2010年9月30日】
Helaman和Claire Ferguson,用石头和铜器庆祝数学《美国数学学会通告》,57(2010),840-850。见第844页。
伊曼纽尔·费兰德,泰勒公式的变形《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.7条。
里戈伯托·弗洛雷斯(Rigoberto Flórez)、罗宾逊·A·希吉塔(Robinson A.Higuita)和安塔拉·穆克吉(Antara Mukherjee),Hosoya三角形中某些斐波那契恒等式的几何性质,arXiv:1804.02481[math.NT],2018年。
D.Foata和G.-N.Han,斐波那契多项式,莱昂纳多·菲波纳契:《节奏,歌剧,科学》(1994),179-208。
C.J.Glasby、S.P.Glassby、F.Pleijel、,蠕虫数量,程序。罗伊。Soc.B,程序。生物科学。275 (1647) (2008) 2071-2076.
Nancy S.S.Gu、Nelson Y.Li和Toufik Mansour,2-二叉树:双射和相关问题,离散。数学。,308 (2008), 1209-1221.
R.K.盖伊,强大的小数定律阿默尔。数学。《月刊》第95期(1988年),第8期,第697-712页。[带注释的扫描副本]
郭乃涵,标准拼图的枚举,arXiv:2006.14070[math.CO],2020年。
S.Happersett,数学冥想《数学与艺术杂志》,1(1)(2007),29-33。
Brady Haran和Colm Mulcahy,小纤维,Numberphile视频(2016)。
A.P.Hillman和G.L.Alexanderson,通过问题解决的代数,第2章,第11-16页,斐波那契数和卢卡斯数[断开的链接]
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第12页。图书网站
Brian Hopkins、Aram Tangboonduangjit、,验证和概括Arndt的组成《斐波纳契季刊》,2022年12月。
Q.-H Hou、Z-W Sun和H.-M.Wen,一些组合序列的单调性,arXiv:1208.3903[math.CO],2012-2014年。
J.Huang,具有独立参数的Hecke代数,arXiv:1405.1636[math.RT],2014;《代数组合数学杂志》43(2016)521-551。
C.W.Huegy和D.B.West,平面的斐波那契平铺,离散数学。,249 (2002), 111-116.
Milan Janjić,限制性三元词和插入词,arXiv:1905.04465[math.CO],2019年。
S.Kak,中庸与美学物理学,arXiv:physics/0411195[physics.hist-ph],2004年。
曼努埃尔·考尔斯(Manuel Kauers)、多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger)、,限制运行的标准杨表计数,arXiv:2006.10205[数学.CO],2020年。
Louis H.Kauffman和Pedro Lopes,分级森林和理性节疤,arXiv:0710.3765[math.GT],2007-2009年。
A.Krowne,PlanetMath.org,斐波那契数列[断开的链接]
D.H.Lehmer,关于斯特恩双原子级数阿默尔。数学。《1929年第36(1)月刊》,第59-67页。[注释和更正的扫描副本]
比萨的莱昂纳多·皮萨诺,初始术语说明摘自《计算之书》,1202年(大卫·辛马斯特摄)。
F.Luca、V.J.M.Huguet、F.Nicolae、,关于斐波那契数的欧拉函数,JIS 12(2009)09.6.6。
埃杜亚德·卢卡斯,简单周期数值函数理论斐波那契协会,1969年。文章“Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques,I”的英文翻译,Amer。数学杂志。,1 (1878), 184-240.
Peter McCalla、Asamoah Nkwanta、,加泰罗尼亚和莫茨金积分表示,arXiv:1901.07092[math.NT],2019年。
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri,条状平铺和规则文法,理论。计算机科学。242, 1-2 (2000) 109-124.
A.Milicevic和N.Trinajstic,化学中的组合计数,化学。型号1。,第4卷,(2006年),第405-469页。
奥古斯汀·穆纳吉,整数合成与高阶共轭,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.5条。
玛丽亚娜·纳吉(Mariana Nagy)、西蒙·科威尔(Simon R.Cowell)和瓦莱里乌·贝尤(Valeriu Beiu),3D斐波那契螺线是真的吗从科学到艺术再回到科学,2018年第七届国际计算机通信与控制会议(ICCCC),IEEE,2018年。
玛丽亚娜·纳吉(Mariana Nagy)、西蒙·科威尔(Simon R.Cowell)、瓦莱里乌·贝尤(Valeriu Beiu)、,三次斐波那契恒等式的研究——当长方体有重量时,arXiv:1902.05944[math.HO],2019年。
小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
小埃德·佩格。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日[缓存副本,经许可(仅pdf)]
T.K.Petersen和B.E.Tenner,排列的深度,arXiv:1202.4765v1[math.CO],2012-2014年。
Phakhinkon Phunphayap、Prapanpong Pongsriam、,斐波系数p-adic估计的显式公式,J.国际顺序。21 (2018), #18.3.1.
何塞·拉米雷斯、马克·沙塔克、,广义雅可比数与限制k元词《纯粹数学与应用》(2019)第28卷第1期,第91-108页。
Shiva Samieinia,数字直线段和曲线执照论文。斯德哥尔摩大学数学系,报告2007:6。
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,关于Dyck路的支配偏序《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.5条。
Yüksel Soykan,广义斐波那契数平方和的封闭公式《亚洲高级研究与报告杂志》(2020)第9卷,第1期,23-39,文章编号AJARR.55441。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,k二项式变换和Hankel变换《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
Asep K.Supriatna、Ema Carnia、Meksianis Z.Ndii、,斐波那契数:人口动力学视角,Heliyon(2019)第5卷第1期,e01130。
K.Tognetti,寻找黄金序列,手稿草稿,1994年5月25日。
克里斯托巴尔·维拉,自然数(与斐波那契数列相关的视频)
N.N.Vorob’ev,斐波那契数《施普林格数学百科全书》。
罗曼·维图拉(Roman Witula)、达米安·斯洛塔(Damian Slota)和埃德塔·赫特马尼科(Edyta Hetmanik),不同已知整数序列之间的桥《Annales Mathematicae et Informaticae》,41(2013),第255-263页。
|
|
配方奶粉
|
G.f.:x/(1-x-x^2)。
通用公式:和{n>=0}x^n*积{k=1..n}(k+x)/(1+k*x)-保罗·D·汉纳2013年10月26日
F(n)=((1+sqrt(5))^n-(1-sqrt(5))^n)/(2^n*sqrt(5))。
或者,F(n)=((1/2+sqrt(5)/2)^n-(1/2-sqrt。
F(n)=F(n-1)+F(n-2)=-(-1)^n F(-n)。
F(n)=圆形(φ^n/sqrt(5))。
F(n+1)=和{j=0..floor(n/2)}二项式(n-j,j)。
一个强可除序列,即所有正整数n和m的gcd(A(n),A(m))=A(gcd(n,m))-迈克尔·索莫斯2017年1月3日
例如:(2/sqrt(5))*exp(x/2)*sinh(sqrt)*x/2)-伦·斯迈利,2001年11月30日
[0 1;1 1]^n[0 1]=[F(n);F(n+1)]
x|F(n)==>x |F(kn)。
F(m)可被素数p整除的一个充分条件是(p-1)除以m,如果p==1或4(mod 5);(p+1)除以m,如果p==2或3(mod 5);或5除以m,如果p=5。(这基本上是哈代和赖特的定理180。)-弗雷德·海伦纽斯(fredh(AT)ix.netcom.com),2001年6月29日
a(n)=F(n)具有以下性质:F(n,F(m)+F(n+1)*F(m+1)=F(n+m+1)-米克洛斯·克里斯托夫2003年11月13日
猜想1:对于n>=2,sqrt(F(2n+1)+F(2n+2)+F。[有关证明,请参阅评论部分。]
猜想2:当n>=0时,(F(n+2)*F(n+3))-(F(n+1)*F(n+4))+(-1)^n=0。
定理1:对于n>=0,(F(n+3)^2-F(n+1)^2)/F(n+2)=(F(n+3)+F(n+1))。
定理2:对于n>=0,F(n+10)=11*F(n+5)+F(n)。
定理3:对于n>=6,F(n)=4*F(n-3)+F(n-6)。(结束)
拉希德猜想2实际上是一般定律F(n)*F(m)+F(n+1)*F2005年4月22日,Harmel Nestra(Harmel.Nestra(AT)ut.ee)
拉希德·库尔芒的猜想2简化为:F(n)*F(n+3)=F(n+1)*F(n+2)-(-1)^n-亚历克斯·拉图什尼亚克2012年5月6日
猜想:对于所有c,当2-phi<=c<2*(2-phi)时,对于n>2,F(n)=地板(phi*a(n-1)+c)-杰拉尔德·麦卡维2004年7月21日
对于x>phi,求和{n>=0}F(n)/x^n=x/(x^2-x-1)-杰拉尔德·麦卡维2004年10月27日
F(n+1)=由方程F(x,y)=xy+F(xy,x)确定的系列F(x、1)中第n项的指数-乔纳森·桑多2004年12月19日
a(n-1)=Sum_{k=0..n}(-1)^k*二项式(n-上限(k/2),下限(k/2))-贝诺伊特·克洛伊特2005年5月5日
F(n+1)=和{k=0..n}二项式((n+k)/2,(n-k)/2)(1+(-1)^(n-k-保罗·巴里2005年8月28日
斐波那契(n)=产品{j=1..天花板(n/2)-1}(1+4(cos(j*Pi/n))^2)。[比克内尔和霍加特,第47-48页。]-Emeric Deutsch公司2006年10月15日
F(n*m)=和{k=0..m}二项式(m,k)*F(n-1)^k*F(n)^(m-k)*F[m-k)]。F(n*m)(n固定,m=0,1,2,…)的母函数是G(x)=F(n)*x/((1-F(n-1)*x)^2-F(n。例如,F(15)=610=F(5*3)=二项式(3,0)*F(4)^0*F(5)^3*F(3)+二项式+1*27*1*0=250+225+135+0=610-米克洛斯·克里斯托夫2007年2月12日
对于a>=b和奇数b,F(a+b)+F(a-b)=L(a)*F(b)。
对于a>=b和偶数b,F(a+b)+F(a-b)=F(a)*L(b)。
对于a>=b和奇数b,F(a+b)-F(a-b)=F(a)*L(b)。
对于a>=b和偶数b,F(a+b)-F(a-b)=L(a)*F(b)。
F(n+m)+(-1)^m*F(n-m)=F(n)*L(m);
F(n+m)-(-1)^m*F(n-m)=L(n)*F(m);
F(n+m+k)+(-1)^k*F(n+m-k)+;
F(n+m+k)-(-1)^k*F(n+m-k)+(-1);
F(n+m+k)+(-1)^k*F(n+m-k)-(-1)^m*(F(n-m+k)+(-1)^k*F(n-m-k))=L(n)*F(m)*L(k);
F(n+m+k)-(-1)^k*F(n+m-k)-。(结束)
Kristof 2007的推论是2*F(A+b)=F(A)*L(b)+L(A)*F(b)-格雷姆·麦克雷,2014年4月24日
对于n>m,如果m是奇数,则2m连续Fibonacci数F(n-m-1)到F(n+m-2)的和为F(n)*L(m),如果m为偶数,则为L(n)*F(m)(参见McRae链接)-格雷姆·麦克雷2014年4月24日。
a(n)=连续分数[1,1,1,…]的分母(有n个1);例如,2/3=连分数[1,1,1];其中barover[1]=[1,1,1,…]=0.6180339-加里·亚当森2007年11月29日
F(n+3)=2F(n+2)-F(n),F(n+4)=3F(n=2)-F-(n)-保罗·柯茨2008年2月1日
a(n)=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}δ(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n),其中δ(l_1,l_2-托马斯·维德2009年2月25日
a(n+1)=2^n平方(Product_{k=1..n}cos(kPi/(n+1-萨拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日
如果p[i]=modp(i,2),并且如果A是n阶Hessenberg矩阵,定义为:A[i,j]=p[j-i+1],(i<=j),A[i、j]=-1,(i=j+1),否则A[i和j]=0。然后,对于n>=1,a(n)=det a-米兰Janjic2010年5月2日
极限{k->oo}F(k+n)/F(k)=(L(n)+F(n)*sqrt(5))/2与Lucas数L(n=A000032号(n) ●●●●-约翰内斯·梅耶尔2010年5月27日
对于n>=1,F(n)=圆形(log_2(2^(φ*F(n-1))+2^(phi*F(n-2))),其中φ是黄金比率-弗拉基米尔·舍维列夫2010年6月24日、6月27日
对于n>=1,a(n+1)=上限(φ*a(n)),如果n是偶数,a(n+1)=下限(φ*a(n),如果n是奇数(φ=黄金比率)-弗拉基米尔·舍维列夫,2010年7月1日
a(n)=2*a(n-2)+a(n-3),n>2-加里·德特利夫斯2010年9月8日
a(n)^2-a(n-1)^2=a(n+1)*a(n-2),参见A121646号.
a(n)=sqrt((-1)^k*(a(n+k)^2-a(k)*a(2n+k-加里·德特利夫斯2010年12月3日
F(2*n)=F(n+2)^2-F(n+1)^2-2*F(n)^2-理查德·福伯格,2011年6月4日
(-1)^(n+1)=F(n)^2+F(n。
F(n)=F(n+2)-1+(F(n+1))^4+2*。(结束)
F(n)=1+和{x=1..n-2}F(x)-约瑟夫·舒拉克2012年2月5日
F(n)=4*F(n-2)-2*F(n-3)-F(n-6)-加里·德特利夫斯2012年4月1日
G.f.:A(x)=x/(1-x-x^2)=G(0)/sqrt(5),其中G(k)=1-((-1)^k)*2^k/(A^k-b*x*A^k*2^k/(b*xx2^k-2*(-1)*k)*c^k/G(k+1);(连分数,第3类,3步)。
设E(x)为例如f。,
E(x)=1*x+(1/2)*x^2+(1/3)*x*3+(1/8)*x|4+(1/24)*x$5+(1/90)*x_6+(13/5040)*x~7+。。。;然后
E(x)=G(0)/sqrt(5);G(k)=1-((-1)^k)*2^k/;(连分数,第3类,3步)。
(结束)
F(n)=1+和{j_1=1..n-2}1+和{j_1=1..n2}和{j_2=1..j_1-2}1+加和{j_1=1..n-2}和}j_2=1.j_1-2{和{j_3=1..j_2}1+…+Sum_{j_1=1..n-2}Sum_{j_2=1..j_1-2}Sum_{j_3=1..j_2-2}。。。求和{j_k=1..j_(k-1)-2}1,其中k=楼层((n-1)/2)。
示例:F(6)=1+Sum_{j=1..4}1+Sum_{j=1..4}Sum_{k=1..(j-2)}1+0=1+(1+1+1+1)+(1+(1+1))=8。
F(n)=求和{j=0..k}S(j+1,n-2j),其中k=楼层((n-1)/2)和S(j,n)是第n个j复和:S(1,n)=1是1-单形和,S(2,n)=和{k=1..n}S+1=n是2-单形和,S(3,n)=sum_{k=1..n}S(2,k)=1+2+3++n是3-单形和(=三角数=A000217号),S(4,n)=和{k=1..n}S(3,k)=1+3+6++n(n+1)/2是4-单和(=四面体数=A000292号)等等。
由于S(j,n)=二项式(n-2+j,j-1),上述公式本质上等于众所周知的二项式公式。(结束)
通用公式:A(x)=x/(1-x/(1-x/(1+x)))-迈克尔·索莫斯2013年1月4日
和{n>=1}(-1)^(n-1)/(a(n)*a(n+1))=1/phi(φ=黄金比率)-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
对于奇数k,求和{n>=1}a(k)^2*(-1)^(n-1)/(a(k*n)*a(kxn+k))=phi^(-k)。
对于偶数k,求和{n>=1}a(k)^2/(a(k*n)*a(kxn+k))=phi^(-k)。(结束)
(1) 通过a(n)表示a(n+1):a(n+1)=(a(n;
(2) 和{k=1..n}(-1)^(k-1)/(a(k)*a(k+1))=a(n)/a(n+1);
(3) a(n)/a(n+1)=1/phi+r(n),其中|r。(结束)
F(n+1)=F(n)/2+平方((-1)^n+5*F(n,^2/4),n>=0。F(n+1)=U_n(i/2)/i^n,(U:=第二类切比雪夫多项式,i=sqrt(-1))-高斯珀2013年3月4日
G.f.:-Q(0),其中Q(k)=1-(1+x)/(1-x/(x-1/Q(k+1)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月6日
G.f.:x-1-1/x+(1/x)/Q(0),其中Q(k)=1-(k+1)*x/(1-x/(x-(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月23日
G.f.:x*G(0),其中G(k)=1+x*(1+x)/(1-x*(1+x)/;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年7月8日
通用公式:x^2-1+2*x^2/(W(0)-2),其中W(k)=1+1/(1-x*(k+x)/(x*(k+1+x)+1/W(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月28日
G.f.:Q(0)-1,其中Q(k)=1+x^2+(k+2)*x-x*(k+1+x)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月6日
设b(n)=b(n-1)+b(n-2),其中b(0)=0,b(1)=phi。然后,对于n>=2,如果n是偶数,则F(n)=地板(b(n-1)),如果n为奇数,则收敛-理查德·福伯格2014年1月19日
a(n)=和{t1*g(1)+t2*g(2)+…+tn*g(n)=n}多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn),其中g(k)=2*k-1-米尔恰·梅卡2014年2月27日
F(n)=圆形(sqrt(F(n-1)^2+F(n)^2+F(n+1)^2)/2),对于n>0。如果n足够大,这个规则似乎适用于形式a(n)=a(n-1)+a(n-2)的任意序列,对于a(0)和a(1)的任意两个值-理查德·福伯格2014年7月27日
F(n)=圆形(2/(1/F(n。这个规则似乎也适用于形式a(n)=a(n-1)+a(n-2)的任何序列,对于a(0)和a(1)的任意两个值,如果n足够大-理查德·福伯格2014年8月3日
F(n)=圆形(1/(总和{j>=n+2}1/F(j)))-理查德·福伯格2014年8月14日
a(n)=n>=2时的超几何([-n/2+1/2,-n/2+1],[-n+1],-4)-彼得·卢什尼2014年9月19日
极限{n->oo}(log F(n+1)/log F(n))^n=e-托马斯·奥多夫斯基2014年10月6日
F(n)=(L(n+1)^2-L(n-1)^2)/(5*L(n)),其中L(nA000032号(n) ,具有类似的反向关系-理查德·福伯格,2014年11月17日
考虑上面注释中的图G[1-顶点;1-loop,2-loop]。构造幂矩阵阵列T(n,j)=[A^*j]*[S^*(j-1)],其中A=(1,1,0,…)和S=(0,1,0,……)(A063524号). [*是卷积运算]用I=(1,0,…)定义S^*0=I。然后T(n,j)计算包含(j)个循环和a(n-1)=Sum_{j=1..n}T(n、j)的n-walk-大卫·尼尔·麦格拉思2014年11月21日
将F(-n)定义为F(n)表示n奇数,将-F(n)定义为n偶数。那么对于所有n和k,F(n)=F(k)*F(n-k+3)-F(k-1)*F-查理·马里恩2014年12月4日
F(2*n)=F(n+1)^2-F(n-1)^2,类似于Koshy(D)和Forberg 2011,但有所不同-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月12日
F(n+1)=上限((1/phi)*Sum_{k=0..n}F(k))-汤姆·埃德加2015年9月10日
F(n)=(F(2n+k+1)-F(n+1)*F(n+k/1))/F(n+k),k>=0。
因此,当k=0:F(n)=sqrt(F(2n+1)-F(n+1)^2)时。
F(n)=(F(3n)-F(n+1)^3+F(n-1)^3)^(1/3)。
F(n+2k)=从F(n)开始的任何子序列的二项式变换。示例F(6)=8:1*8=F(6”)=8;1*8+1*13=F(8)=21;1*8+2*13+1*21=F(10)=55;1*8+3*13+3*21+1*34=F(12)=144等。此公式适用于具有a(0)和a(1)任意两个种子值的斐波那契型序列(例如Lucas序列A000032号:a(0)=2,a(1)=1)。
(结束)
a(n)=F_n(1),其中F_n是斐波那契多项式。
从初始字符串“1”(1->1010->101011->…)到步骤n,代换系统{0->11,1->1010}中的零数乘以1/A000079号(n) ●●●●。(结束)
对于n>=2,a(n)=2^(n^2+n)-(4^n-2^n-1)*楼层(2^(n ^2+n)/-贝诺伊特·克洛伊特2017年4月17日
f(n+1)=和{j=0..floor(n/2)}和{k=0..j}二项式(n-2j,k)*二项式-托尼·福斯特三世2017年9月4日
F(n)=和{k=0..层((n-1)/2)}((n-k-1)!/(n-2k-1)!*k!)-詹多斯·曼贝塔利耶夫2017年11月8日
对于x偶数,F(n)=(F(n+x)+F(n-x))/L(x)。对于x奇数,F(n)=(F(n+x)-F(n-x))/L(x),其中在这两种情况下n>=x。因此,当n>=0时,F(n)=F(2*n)/L(n)-大卫·詹姆斯·西卡莫尔,2018年5月4日
让[a/p]表示勒让德符号。然后,对于奇素数p:
F(p+n)==[5/p]*F([5/p]+n)(mod p),如果[5/p]=1或-1。
F(p+n)==3*F(n)(mod p),如果[5/p]=0(即p=5)。
如果该序列被negafibonacci数(即F(-n))扩展,则负指数项也是如此=A039834号(n) )。(结束)
当n>k>0时,F(n)=F(k-1)*F(abs(n-k-2))+F(k-1)*F(n-k-1)+F(k)*F(abs(n-k-2))+2*F(k)*F(n-k-1)-约瑟夫·舒尼亚2019年8月12日
F(n)=F(n-k+2)*F(k-1)+F(n-k+1)*F-迈克尔·塔尔斯基赫,2019年10月9日
a(n)=2*i^(1-n)*sin(n*arccos(i/2))/sqrt(5),i=sqrt(-1)-高斯珀2022年5月5日
a(n)=i^(n-1)*sin(n*c)/sin(c)=i^-彼得·卢什尼2022年5月23日
F(2n)=Sum_{k=1..n}(k/5)*二项式(2n,n+k),其中(k/5)是勒让德或雅可比符号;F(2n+1)=和{k=1..n}(-(k+2)/5)*二项式(2n+1,n+k),其中(-(k+2)/5)是勒让德或雅可比符号。例如,F(10)=1*二项式(10,6)-1*二项法(10,7)-1*二项式(10,18)+1*二项制(10,9)+0*二项论(10,10),F(11)=1*二项式-李一科2022年8月21日
对于n>0,1/F(n)=Sum_{k>=1}F(n*k)/(F(n+2)^(k+1))-迭戈·拉塔吉2022年10月26日
对于n==0(mod 4):F(n)=F((n+2)/2)*(F(n/2)+F((n/2)-2))+1;
对于n==1(mod 4):F(n)=F((n-1)/2)*(F((n-1)/2;
对于n==2(mod 4):F(n)=F((n-2)/2)*(F(n/2)+F(n/2+2))+1;
对于n==3(mod 4):F(n)=F((n-1)/2)*(F(n-1。(结束)
|
|
例子
|
对于x=0,1,2,3,4,x=1/(x+1)=1,1/2,2/3,3/5,5/8。这些馏分的分子为1,1,2,3,5,它们是序列的第二项至第六项-西诺·希利亚德2008年9月15日
从第一部分和第二部分开始,每对第二部分之间有一个(7)=13个7的组合:
01: [ 2 1 2 1 1 ]
02: [ 2 1 3 1 ]
03: [ 2 1 4 ]
04: [ 3 1 2 1 ]
05:[3 1 3]
06: [ 3 2 2 ]
07: [ 4 1 2 ]
08: [ 4 2 1 ]
09年:[4 3]
10: [ 5 1 1 ]
11: [ 5 2 ]
12: [ 6 1 ]
13:[7]
有abs(a(6+1))=13组6,其中第二对零件之间没有上升,从第二和第三部分开始:
01: [ 1 2 1 2 ]
02: [ 1 3 1 1 ]
03: [ 1 3 2 ]
04: [ 1 4 1 ]
05: [ 1 5 ]
06: [ 2 2 1 1 ]
07: [ 2 3 1 ]
08: [ 2 4 ]
09: [ 3 2 1 ]
10: [ 3 3 ]
11: [ 4 2 ]
12: [ 5 1 ]
13: [ 6 ]
(结束)
(n-1)的部分有序分区为第1、2、3部分,其中只有相邻的1和2的顺序不重要。例如,a(8)=21。它们是(331)、(313)、(133)、(322)、(232)、),(13111),(11311),(11131),(11113),(2221),(22111),(211111),(1111111). -大卫·尼尔·麦格拉思2015年7月25日
考虑7的分区,其和最初以非递增顺序列出。保持1的冻结位置(用“[]”表示),然后允许其他加法改变其顺序:7;6,[1]; 5,2; 2,5; 4,3;3,4; 5,[1,1], 4,2,[1]; 2,4,[1]; 3,3,[1]; 3,3,2; 3,2,3; 2,3,3; 4,[1,1,1];3,2,[1,1]; 2,3,[1,1]; 2,2,2,[1]; 3,[1,1,1,1]; 2,2,[1,1,1]; 2,[1,1,1,1,1]; [1,1,1,1,1,1,1]. 总共有21个=a(7+1)安排-格雷戈里·西蒙2016年6月14日
|
|
MAPLE公司
|
ZL:=[S,{a=原子,b=原子,S=Prod(X,序列(Prod(X,b))),X=序列(b,卡>=1)},未标记]:seq(组合结构[计数](ZL,大小=n),n=0..38)#零入侵拉霍斯2008年4月4日
规范:=[B,{B=序列(集合(Z,卡>1))},未标记]:seq(组合结构[count](规范,大小=n),n=1..39)#零入侵拉霍斯2008年4月4日
#下面的Maple命令isFib(n)根据n是否为Fibonacci数得出true或false。
with(combint):isFib:=proc(n)local a:a:=prog(n)局部j:for j,而fibonacci(j)<=n do fibonaci(j)end do:fibonaacci(j-1)end proc:evalb(a(n)=n)end proc:#Emeric Deutsch公司2014年11月11日
|
|
数学
|
表[Fibonacci[k],{k,0,50}](*穆罕默德·阿扎里安2015年7月11日*)
表[2^n Sqrt@乘积[(Cos[Pi k/(n+1)]^2+1/4),{k,n}]//FullSimplify,{n,15}];(*Kasteleyn的配方专门化,莎拉·玛丽·贝尔卡斯特罗2009年7月4日*)
线性递归[{1,1},{0,1},40](*哈维·P·戴尔,2014年8月3日*)
系数列表[级数[-(x/(-1+x+x^2)),{x,0,20}],x](*埃里克·韦斯特因2017年9月22日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(公理)[fibonacci(n)代表0..50]
(岩浆)[斐波那契(n):n in[0..38]];
(Magma)[0,1]cat[n:n in[1..50000000]| IsSquare(5*n^2-4)or IsSquale(5*n ^2+4)]//文森佐·利班迪2014年11月19日
(Maxima)标记列表(fib(n),n,0,100)/*马丁·埃特尔2012年10月21日*/
(PARI)a(n)=斐波那契(n)
(PARI)a(n)=imag(quadgen(5)^n)
(PARI)a(n)=my(φ=quadgen(5));(φ^n-(-1/φ)^n)/(2*phi-1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月17日
(PARI)a(n)=polceoff(总和(m=0,n,x^m*prod(k=1,m,k+x+x*O(x^n))/prod(k=1,m,1+k*x+x*O(x*n)),n)\\保罗·D·汉纳2013年10月26日
从itertools导入islice
定义fib_gen():
x、 y=0,1
为True时:
收益率x
x、 y=y,x+y
fib_list=lambda n:列表(islice(fib_gen(),n))
(Python)
F.延伸(范围内_的总和(F[-2:])(n-len(F)+1));返回F[n]#M.F.哈斯勒2023年2月17日
print(a)#返回序列的名称。
print(a(38))#返回序列的第38项。
print(a.list(39))#返回前39个术语的列表。
(鼠尾草)
a=二进制递归序列(1,1);打印([a(n)代表范围(20)中的n])
#保罗·汉金(Paul Hankin)提供的F(1)=0的闭式整数公式(见链接)。
F=λn:(4<<(n-1)*(n+2))//((4<<2*(n-1
打印([F(n)代表范围(20)中的n])#彼得·卢什尼2016年8月28日
(Sage)打印(列表(fibonacci_sequence(0,40))#布鲁诺·贝塞利2014年6月26日
(哈斯克尔)
--基于来自的代码http://www.haskell.org/haskellwiki/The_Fibonacci_sequence网站
--它也有其他版本。
fib::Int->整数
fib n=fibs!!n个
哪里
fibs=0:1:zipWith(+)fibs(尾部fibs)
{-使用示例:map fib[0.38]杰拉尔德·麦卡维,2009年9月29日-}
(朱莉娅)
函数fib(n)
F=BigInt[1 1;1 0]
Fn=F^n
Fn[2,1]
结束
println([fib(n)表示0:38中的n)#彼得·卢什尼2017年2月23日
(Julia)#更快
函数fibrec(n::Int)
n==0&&return(BigInt(0),Big Int(1))
a、 b=纤维(div(n,2))
c=a*(b*2-a)
d=a*a+b*b
iseven(n)?(c,d):(d,c+d)
结束
斐波那契(n::Int)=斐波那奇(n)[1]
println([fibonacci(n)代表0:40中的n)#彼得·卢什尼2022年4月3日
(间隙)
光纤:=[0,1];;对于[3..10^3]中的n,做Fib[n]:=Fib[n-1]+Fib[n-2];od;光纤#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月3日
(方案)
;; 以下定义使用宏definec来记录(缓存)结果。请参见http://oeis.org/wiki/Memoization#方案
(Scala)定义fibonacci(n:BigInt):BigInt={
val zero=BigInt(0)
def fibTail(n:BigInt,a:BigInt,b:BigInt):BigInt=n匹配{
案例`zero`=>a
案例_=>fibTail(n-1,b,a+b)
}
fibTail(n,0,1)
}//基于卡拉斯克尔(2016)链接的“案例3:尾部递归”
(0到49).map(fibonacci(_))//阿隆索·德尔·阿特2019年4月13日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
|
|
作者
|
|
|
状态
|
经核准的
|
|
|
|