狄里克莱卷积

这个狄里克莱卷积是一个二进制运算为定义算术函数。它是由开发的约翰·彼得·古斯塔夫·勒杰恩·迪里克莱特，德国数学家。

定义

如果ƒ和克是两个算术函数（即正函数整数到复数)，一个定义了一个新的算术函数ƒ * 克，的狄里克莱卷积属于ƒ和克，签署人

$｛\displaystyle｛\begin｛aligned｝（f*g）（n）&=\sum_｛d\，\ mid\，n｝f（d）g\left（｛\frac｛n｝｛d｝｝\ right）\\&=\sum_｛ab\，=\，n｝f（a）g（b）\ end｛aligned｝｝｝$

其中总和覆盖所有正数约数 d日第页，共页n个，或等效于所有对(一,b条)正整数的乘积为n个.

属性

算术函数集构成可交换的 戒指，的Dirichlet环，在下逐点加法（即。（f）+克由定义(（f）+克)(n个)=（f）(n个) +克(n个))和狄里克莱卷积。乘法恒等式是函数${\显示样式\epsilon}$由定义${\显示样式\epsilon}$(n个)=1，如果n个=1和${\显示样式\epsilon}$(n个)=0，如果n个> 1. 这个单位这个环的（即可逆元素）是算术函数（f）具有（f）(1) ≠ 0.

具体来说，狄利克雷卷积是 相联的,

(（f）*克) *小时=（f）* (克*小时),

分发过度添加

（f）* (克+小时) =（f）*克+（f）*小时= (克+小时) *（f）,

是可交换的,

（f）*克=克*（f）,

并具有标识元素，

（f）*${\显示样式\epsilon}$=${\显示样式\epsilon}$*（f）=（f）.

此外，对于每个（f）对于其中（f）(1)≠0存在克这样的话（f）*克=${\显示样式\epsilon}$，调用了Dirichlet逆属于（f）.

二的Dirichlet卷积乘法函数又是乘法的，每个乘法函数都有一个Dirichlet逆，它也是乘法的。关于乘法函数的文章列出了重要乘法函数之间的几个卷积关系。

给定一个完全乘法函数 （f）然后（f）(克*小时) = (（f） 克)*(（f） 小时)，其中并置表示逐点乘法。

两个完全乘法函数的卷积为强者乘法，但不一定完全乘法。

示例

在这些公式中

${\显示样式\epsilon}$是乘法恒等式。（即。${\显示样式\epsilon}$（1） =1，所有其他值为0。）

1是常数函数，其值为1n个.（即1(n个)=1.）记住1不是身份。

1_C类，其中${\displaystyle\scriptstyle C\subset\mathbb{Z}}$是一套是指示器功能.（即1_C类(n个)=1，如果n个∈C，否则为0。）

Id是标识函数，其值为n个.（即Id(n个) =n个.)

身份证件_k个是第k次幂函数。（即Id_k个(n个) =n个^k个.)

其他功能在文章中定义算术函数.

• 1 * μ =${\显示样式\epsilon}$（常数函数1的Dirichlet逆是莫比乌斯函数.）这意味着

• 克=（f）*1当且仅当（f）=克*μ（莫比乌斯反演公式).

• λ * |μ| =$｛\displaystyle\epsilon｝$其中λ为刘维尔函数.

• λ * 1 = 1_平方米其中Sq={1，4，9，…}是正方形集

• ${\显示样式\sigma}$_k个=Id_k个*1函数σ的定义_k个

• ${\显示样式\sigma}$=Id*1函数σ=σ的定义₁

• d日=1*1函数定义d日(n个) = σ₀

• 身份证件_k个=${\显示样式\sigma}$_k个*$｛\displaystyle\mu｝$σ公式的Möbius反演_k个、σ和d日.

• 身份证=${\显示样式\sigma}$*${\显示样式\mu}$

• 1 =d日* μ

• d日^三* 1 = (d日* 1)²

• ${\显示样式\varphi}$*1=Id该公式已在文章中证明欧拉函数.

• J型_k个*1=Id_k个

• （Id_秒J型_第页)*J_秒=J_秒+第页

• ${\显示样式\sigma}$=${\显示样式\varphi}$*d日证明：将1卷积到Id的两侧=${\显示样式\varphi}$*1。

• ∧*1=对数，其中∧是von Mangoldts的函数

Dirichlet逆

给定一个算术函数ƒ其Dirichlet逆克=ƒ⁻¹可以递归计算（即克(n个)是指克(米)的米<n个)来自狄利克雷逆的定义。

对于n个= 1:

(ƒ*克) (1) =ƒ（1）克(1) =${\显示样式\epsilon}$（1） =1，所以

克(1) = 1/ƒ(1). 这意味着ƒ没有Dirichlet逆，如果ƒ(1) = 0.

对于n个= 2

(ƒ*克) (2) =ƒ（1）克(2) +ƒ(2)克（1）=${\显示样式\epsilon}$(2) = 0,

克(2) = −1/ƒ(1) (ƒ(2)克(1)),

对于n个= 3

(ƒ*克) (3) =ƒ（1）克(3) +ƒ(3)克(1) =${\显示样式\epsilon}$(3) = 0,

克（3） =−1/ƒ(1) (ƒ(3)克(1)),

对于n个= 4

(ƒ*克) (4) =ƒ（1）克(4) +ƒ(2)克(2) +ƒ（4）克(1) =${\显示样式\epsilon}$(4) = 0,

克(4) = −1/ƒ(1) (ƒ（4）克（1）+ƒ(2)克(2)),

一般来说n个 > 1,

${\显示样式g（n）={\ frac{-1}{f（1）}}\sum_{\stackrel{d\，\mid\、n}{d<n}}f\左（{\frac{n}{d\right）g（d）。}$

因为唯一的划分是ƒ（1） 这表明ƒ具有Dirichlet逆当且仅当ƒ(1) ≠ 0.

这里有一个常用算术函数Dirichlet逆的有用表格：

算术函数	Dirichlet逆
常数函数等于1	莫比乌斯函数 ${\显示样式\mu}$
${\显示样式n^{\alpha}}$	${\显示样式\mu（n）\，n^{\alpha}}$
刘维尔函数 ${\显示样式\lambda}$	Möbius函数的绝对值${\显示样式|\mu|}$

狄里克莱级数

如果（f）是一个算术函数，定义它的狄里克莱级数 生成函数通过

${\显示样式DG（f；s）=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{f（n）}{n^{s}}}}$

对于那些复杂的论据秒级数收敛的（如果有的话）。狄利克雷级数的乘法在以下意义上与狄利克雷卷积相容：

${\显示样式DG（f；s）DG（g；s）=DG（f*g；s$

为所有人秒左手边的两个系列都会聚，其中一个至少会聚绝对（注意，左手边的两个级数的简单收敛并不意味着右手边的收敛！）。这类似于卷积定理如果有人认为狄里克莱级数是傅里叶变换.

相关概念

卷积中除数的限制为单一的，双酉或无穷除数定义了类似的可交换除数与狄利克雷卷积（存在Möbius反演，乘法性的持久性，定义totients，相关素数上的Euler型乘积公式，…）。

工具书类

• 陈恒华（2009）。大学生解析数理论世界科学出版公司。国际标准图书编号 981-4271-36-5. 
• 休·L·蒙哥马利;罗伯特·C·沃恩(2007).乘法数论Ⅰ.经典理论剑桥高等数学专题。97剑桥：剑桥大学出版社。第38页。国际标准图书编号 0-521-84903-9. 

• 科恩，埃克福德（1959）。“一类剩余系统（modr）及其相关的算术函数。I.Möbius反演的推广”。太平洋数学杂志。 9（1） ：第13-23页。 
• 科恩，埃克福德（1960）。“与整数的幺正除数相关的算术函数”。数学期刊 74：第66-80页。国防部:2007年10月10日/BF01180473. 
• 科恩，埃克福德（1960）。“整数的幺正除数”。美国数学月刊 67（9） ：第879-880页。 
• Cohen，Graeme L.（1990年）。“关于整数的无穷除数”。数学。公司。 54（189）：第395-411页。国防部:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. 
• Cohen，Graeme L.（1993）。“与整数的无穷除数相关的算术函数”。国际数学杂志。数学。科学。 16（2） ：第373-383页。国防部:10.1155/S0161171293000456. 
• Jozsef Sandor；Berge，Antal（2003年）。“莫比乌斯函数：推广和扩展”。高级螺柱含量。数学。（京商） 6（2） ：第77–128页。 
• 史蒂文·芬奇（2004）。“一元论和无限论”.http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/try.pdf.