代数整数

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代数整数是代数数它们是整数系数不可约一元多项式的根

${\显示样式x^{n}+a{n-1}\，x^{n-1{+\cdots+a{2}\，x^{2}+a}1\，x+a{0}=0，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式a{n-1}，\，\ldot，\，a{2}$

例如，${\显示样式\脚本样式4+{\sqrt{7}}\，}$和${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1+{\sqrt{7}}}{2}}\，}$是代数整数。相比之下，${\displaystyle\scriptstyle{\frac{4+{\sqrt{7}}}{2}}\，}$是代数数，但不是代数整数。

一些计算机代数系统具有内置函数来测试给定的数字是否为代数整数。例如，函数代数整数Q在里面Wolfram Mathematica公司。（警告：此函数返回False（错误）当它无法确定答案时。）

有理整数（1次代数整数）

有理整数正是（普通）整数，即的成员${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}\，}$. The最小多项式对于${\displaystyle\scriptstylen\in\mathbb{Z}}$就是这样简单${\显示样式x-n}$例如，7是一个1次代数整数，其最小多项式为${\显示样式x-7}$。

二次整数（2次代数整数）

这个二次整数是二次数它们是具有2次整系数的不可约一元多项式的根。

全部高斯整数都是二次整数艾森斯坦整数。二次整数的其他示例包括$｛\displaystyle\scriptstyle｛\sqrt｛2｝｝｝$,${\显示样式\脚本样式3+7{\sqrt{-5}}}$（或${\显示样式\脚本样式3+7i{\sqrt{5}}}$)、和黄金比率 ${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1+{\sqrt{5}}}{2}}$

以下数字的示例不二次整数（尽管它们是二次数）包括${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}}$和${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1+{\sqrt{12}}}{2}}$。

三次整数（三次代数整数）

这个三次整数是立方数它们是具有3次整系数的不可约一元多项式的根。

算术整数

算术数字是那些可以用有限个代数运算表示的运算，其中包括字段运算（+、−、×、/）和根提取，因此所有算术数字都是代数的。相反，所有4阶以下的代数数（因此所有代数整数）都是算术数，但并非所有5阶及以上的代数数都是算术数字。例如，不可约一元多项式的根${\显示样式x^{5}+x+1=0}$不是算术。（一元多项式的根$显示样式p（x）=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$，如果${\显示样式p（x）}$是不可约的[即不能分解为具有较低阶整数系数的多项式]，并且如果${\显示样式a}$和${\显示样式b}$是均匀的，并且${\显示样式c}$和${\显示样式d}$是奇数，不是算术。）