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q-对数系数

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这个q个-二项式系数为q个-模拟对于二项式系数也称为高斯系数或高斯多项式。A类q个-二项式系数由

[n；m]_q=（（q）_n）/（（q）_m（q）_（n-m））=乘积_（i=0）^（m-1）（1-q^（n-i））/（1-q^（i+1）），
（1）

哪里

（q） _k=产品_（m=1）^infty（1-q^m）/（1-q^（k+m））
(2)

是一个q个-系列（Koepf 1998年，第26页）。对于k、 n中的n,

[n；k]q=（[n]q！）/（[k]q！[n-k]q！），
(3)

哪里[n] _q！是一个q个-阶乘的（Koepf 1998年，第30页）。这个q个-二项式系数也可以定义为q个-支架 [k] （_q）通过

[n；k]_q={product_（i=1）^（k）（[n-i+1]_q）/（[i]_q。
(4)

这个q个-二项式在中实现Wolfram语言作为Q二项式[n个,米,q个].

对于q->1^-,这个q个-二项式系数变成通常的二项式系数.

特殊情况

[n] _q=[n；1]_q=（1-q^n）/（1-q）
(5)

有时被称为q个-支架.

这个q个-二项式系数满足递推方程

[n+1；k]q=q^k[n；k]q+[n；k-1]q，
(6)

为所有人n> =1和1<=k<=n,所以每个q个-二项式系数是多项式q个.前几个q个-二项式系数为

[2；1]_q=（1-q^2）/（1-q）=1+q
(7)
[3；1]_q号=[3；2]q=（1-q^3）/（1-q）=1+q+q^2
(8)
[4；1]_q=[4；3]_q=（1-q^4）/（1-q）=1+q+q^2+q^3
（9）
[4；2]_q=（（1-q^3）（1-qq^4））/（1-q）（1-q^2））=1+q+2q^2+q^3+q^4。
(10)

从定义来看，如下所示

[n；1]q=[n；n-1]q=总和（i=0）^（n-1）q^i。
(11)

其他身份包括

（[n+1；k+1]q）/（[n；k+1]）=（1-q^（n+1））/（1-qqu（n-k））
(12)
（[n+1；k+1]q）/（[n/1；k]q）=（1-q^（n-k+1））/。
(13)

这个q个-二项式系数[分钟]可以通过建造所有米-的子集{1,2，…，n}对每个子集的元素求和，并取总数

[n；m]q=总和（i）q^（si-m（m+1）/2）
(14)

所有子项s _ i（Kac和Cheung，2001年，第19页）。

q二项式

这个q个-二项式系数[m+n；m]_q也可以解释为中的多项式q个其系数q^k个统计的不同分区数k个安装在m×n矩形。例如，1、2、3的分区，下表中给出了4个。

n个分区
0{}
1{{1}}
2{{2},{1,1}}
三{{3},{2,1},{1,1,1}}
4{{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1}}

其中，{},{1},｛2｝,{1,1},{2,1},和{2,2}装在里面2×2框。具有0、1、2、3和4个元素的这些元素的计数为1、1、2中、1和1，因此，（4，2）-二项式系数由下式给出

[4；2]q=1+q+2q^2+q^3+q^4，
(15)

同上。

另请参见

二项式系数,柯西二项式定理,网格着色问题,q个-支架,q个-系列,Stieltjes-Wigert多项式

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Gasper，G.和Rahman，M。基本超几何级数。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。卡克，V.Cheung，P。量子微积分。纽约：Springer-Verlag，2001年。Koekoek，R.和Swarttouw，无线电频率。“q个-伽马函数和q个-二项式系数。"§0.3英寸超几何正交多项式的Askey-Scheme及其应用q-模拟。荷兰代尔夫特理工大学技术学院《数学与信息学报告98-17》，第10-11页，1998年。科普夫，西。超几何的求和：求和与特殊函数恒等式的算法。德国布伦瑞克：Vieweg，第26页，1998年。

参考Wolfram | Alpha

q-对数系数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“q-平均系数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html

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