话题

Radon变换——圆柱体

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Radon气缸

让二维圆柱函数定义为

f（x，y）={1表示r<r；0表示r>r。
(1)

然后Radon变换由提供

R（p，tau）=int_（-infty）^inftyint_（-inty）^inffyf（x，y）δ[y-（tau+px）]dydx，
(2)

哪里

δ（x）=1/（2pi）int_（-infty）^inftye^（-ikx）dk
(3)

是delta函数.在中重写极地的协调然后给出

R（p，tau）=1/（2pi）int_（-infty）^inftyint_0^（2π）int_0^Re^（-ik（rsintheta-precostheta））rdrdthetadk=1/（2pi）int_（-infty）^inftye^（iktau）int_0^（2π）int_0 ^Re^（-ikr（sintheta-pcostheta））rdrdthetadk。
(4)

现在使用调和加法定理写

sintheta-pcostheta=sqrt（1+p^2）cos（theta+phi）=sqrt（1+p2）costheta’，
(5)

具有φ相移。然后

R（p，τ）=1/（2pi）int_（-infty）^inftye^（iktau）int_0^R（int_0^（2π）e^（-iksqrt（1+p^2）rcostheta ^'）dtheta^'）rdrdk
(6)
=1/（2pi）整数_（-infty）^inftye（iktau）整数_0^R2piJ_0（ksqrt（1+p^2）r）rdrdk
(7)
=int_（-infty）^inftye（iktau）int_0^RJ_0（ksqrt（1+p^2）r）rdrdk。
(8)

然后使用

int_0^zt^（n+1）J_n（t）dt=z^（n+1）J_（n+1）（z），
(9)

其中，带有n=0,成为

int_0^ztJ_0（t）dt=zJ_1（z）。
(10)

定义

t吨=ksqrt（1+p^2）r
(11)
日期=ksqrt（1+p^2）博士
(12)
无线电数据记录器=（tdt）/（k^2（1+p^2）），
(13)

所以内积分是

整数_0^（Rsqrt（1+p^2））J_0（t）（tdt）/（k^2（1+p2））=1/（k^2（1+p^2））kRsqrt（1+p ^2）J_1（kRsq（1+p2））
(14)
=（J_1（kRsqrt（1+p^2））/（ksqrt（1+p^ 2））R，
(15)

Radon变换变成

R（p，τ）=R/（平方（1+p^2））int_（-infty）^infty（e^（iktau）J_1（kRsqrt（1+p2）））/kdk
(16)
=（2R）/（平方（1+p^2））int_0^infty（cos（ktau）J_1（kRsqrt（1+p2））/kdk
(17)
={2/（1+p^2）sqrt（R^2（1+p ^2）-tau^2）表示tau^2<R^2，（1+p2）表示tau ^2>=R^2。
(18)

正在转换为R ^’使用p=协同α,

R^'（R，α）=2/（平方米（1+cot^2alpha））平方米（（1+cot^2alpha）R^2-R^2csc^2alha）
(19)
=2/（cscalpha）平方（csc^2alphaR^2-r^2csc^2 alpha）
(20)
=2sqrt（R^2-R^2），
(21)

可以更简单地通过

R^'（R，alpha）=整数_（-sqrt（R^2-R^2））^（sqrt（R ^2-R*2））dy。
(22)

另请参见

Radon变换,Radon变换——Delta函数,Radon变换——高斯,Radon变换--正方形

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Radon变换——圆柱体。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RadonTransformCylinder.html

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