话题
搜索

Radon变换--正方形


Radon方形
 R(p,tau)=int_(-infty)^inftyint_(-inty)^inffyf(x,y)δ[y-(tau+px)]dydx,
(1)

哪里

 f(x,y)={1代表[-a,a]中的x,y;否则为0
(2)

 增量(x)=1/(2pi)int_(-infty)^inftye(-ikx)
(3)

delta函数.

R(p,τ)=1/(2pi)整数_(-a)^aint_(-a
(4)
=1/(2pi)int_(-infty)^inftye(iktau)[int_(-a)^ae^(-ky)dyint_(-a)^ae^(ikpx)dx]dk
(5)
=1/(2pi)e^(iktau)1/(-ik)[e^(-iky)]_(-a)^a1/(ikp)[e^(ikpx)]_(-a)^adk
(6)
=1/(2pi)int_(-infty)^inftye^(iktau)1/(k^2p)[-2isin(ka)][2isin(kpa)]dk
(7)
=2/(pip)int_(-infty)^infty(sin(ka)sin(kpa)e^(iktau))/(k^2)dk
(8)
=4/(pip)int_0^infty(sin(ka)sin(kpa)cos(ktau))/(k^2)dk
(9)
=2/(pip)int_0^infty(sin[k(tau+a)]-sin[k(τ-a)])/(k^2)sin(kpa)dk
(10)
=2/(pip){int_0^infty(sin[k(tau+a)]sin(kpa))/。
(11)

根据Gradshteyn和Ryzhik(2000,方程3.741.3),

 int_0^infty(sin(ax)sin(bx))/(x^2)dx=1/2pisgn(ab)min(|a|,|b|),
(12)

所以

 R(p,tau)=1/p{sgn[(tau+a)pa]min(|tau+a|,|pa|)-sgn[(τ-a)pa]min[(tau-a|,|pa |)}。
(13)

这也可以明确地写在表单中

 R(p,tau)=(|a+ap-tau|+|a+ap+tau|-|a-ap-tau|-|a-ap+tau |)/(2p)。
(14)

另请参见

Radon变换Radon变换——圆柱体Radon变换--Delta功能Radon变换——高斯

与Wolfram一起探索| Alpha

新型网络搜索引擎

更多需要尝试的事情:

工具书类

I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。积分、级数和乘积表,第6版。加州圣地亚哥:学术出版社,2000

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Radon变换--正方形。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RadonTransformSquare.html

主题分类