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Radon变换

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Radon变换是积分变换其逆运算用于重建医学CT扫描的图像。一种技术使用Radon变换使用航天器重建行星极地区域的地图也设计了极地轨道（Roulston和Muhleman，1997年）。

Radon和反向Radon变换在Wolfram语言作为雷达天线和反向Radon变换,分别是。

Radon变换可以定义为

R（p，τ）[f（x，y）]=int _（-infty）^输入f（x，tau+px）dx
（1）
=int_（-infty）^inftyint_（-inty）^inffyf（x，y）δ[y-（tau+px）]dydx
（2）
=U（p，τ），
(3)

哪里第页是斜坡一条线，陶是其截距，并且δ（x）是delta函数.反向Radon变换为

f（x，y）=1/（2pi）int_（-infty）^inftyd/（dy）H[U（p，y-px）]dp，
(4)

哪里H（H）是一个希尔伯特变换。转换还可以由定义

R^'（R，alpha）[f（x，y）]=int_（-infty）^inftyint_（-inpty）^ inftyf（x、y）delta（R-xcosalpha-ysinalpha）dxdy，
(5)

哪里第页是垂直的，垂直的从一条线到原产地和阿尔法是角由距离形成矢量.

使用身份

F_（ω，α）[R[F（ω，
(6)

哪里F类是傅里叶变换，给出了反转公式

f（x，y）=cint_0^piint_（-infty）^inftyF_（omega，alpha）[R[f（omega），alpha]]|omega|e^（iomega（xcosalpha+ysinalpha））domegadalpha。
(7)

这个傅里叶变换可以通过书写消除

f（x，y）=int_0^piint_（-infty）^inftyR[f（r，alpha）]W（r，alpha，x，y）drdalpha，
(8)

哪里W公司是一个加权函数例如

W（r，α，x，y）=h（xcosalpha+ysinalpha-r）
(9)
=F^（-1）[|omega|]。
(10)

Nievergelt（1986）使用逆公式

f（x，y）=1/pilim_（c->0）int_0^piint_（-infty）^inftyR[f（r+xcosalpha+ysinalpha，alpha）]G_c（r）drdalpha，
(11)

哪里

G_c（r）={1/（pic^2）对于|r|<=c；1/（pic^2）（1-1/（sqrt（1-c^2/r^2）））对于|r|>c。
(12)

路德维希反演公式用Radon变换表示函数。R^'（R，α）和R（p，τ）与…相关

第页=cotalphaτ=rcscalpha
(13)
第页=tau/（1+p^2）alpha=cot^（-1）p。
(14)

Radon变换满足叠加

R（p，τ）[f_1（x，y）+f_2（x，y）]=U_1（p，tau）+U_2（p，tau），
(15)

线性

R（p，τ）[af（x，y）]=aU（p，tau），
（16）

缩放比例

R（p，τ）[f（x/a，y/b）]=|a|U（pa/b，τ/b），
(17)

旋转，使用R_phi（_P） 旋转通过角 φ

R（p，tau）[R_phif（x，y）]=1/（|cosphi+psinphi|）U（（p-tanphi）/（1+ptanphi），tau/（cosphi+psinphi）），
(18)

和倾斜

R（p，tau）[f（ax+by，cx+dy）]=1/（|a+bp|）U[（c+dp）/（a+bp），（tau（ab+bc））/（a+bp）]
(19)

（杜拉尼和比塞特1984年；杜拉尼与比塞特1985年的修正）。

沿线的线积分p、 陶是

I=平方（1+p^2）U（p，τ）。
(20)

一维的模拟卷积定理是

R（p，τ）[f（x，y）*g（y）]=U（p，tau）*g，
(21)

的模拟普朗克定理是

int_（-infty）^inftyU（p，tau）dtau=int_（.infty），
(22)

和的模拟帕西瓦尔定理是

int_（-infty）^inftyR（p，tau）[f（x，y）]^2dtau=int_。
(23)

如果（f）是上的连续函数C类，可对平面积分勒贝格测量、和

int_lfds=0
(24)

对于每条（双）无限线我哪里秒是长度测量，那么（f）必须等于零。然而，如果全局可积性条件被移除，结果失败（Zalcman 1982，Goldstein 1993）。

另请参阅

Hammer的X射线问题,反Radon变换,氡变换-圆柱体,Radon变换--Delta功能,Radon变换——高斯,Radon变换--正方形,层析成像

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Anger，B.和Portenier，C。氡积分。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，1992年。阿米蒂奇，D.H。和Goldstein，M.“Radon变换的非唯一性”程序。阿默尔。数学。索克。 117, 175-178, 1993.S.R.迪恩斯。这个Radon变换及其应用。纽约：Wiley，1983年。杜拉尼，T.S.公司。和Bisset，D.“Radon变换及其特性”地球物理学。 49,1180-1187, 1984.杜拉尼，T.S。和Bisset，D.“勘误表：Radon变换及其性质。"地球物理学。 50, 884-886,1985埃塞尔，P.D。（编辑）。排放计算机断层扫描：当前趋势。纽约：核医学学会，1983Gindikin，S.（编辑）。应用Radon变换的问题。罗得岛普罗维登斯：美国。数学。Soc.，1994年。戈尔茨坦，H。经典《力学》，第2版。马萨诸塞州雷丁：艾迪森·韦斯利，1980年。格拉德什滕，I.S.公司。和I.M.Ryzhik。桌子《集成、系列和产品》，第6版。加州圣地亚哥：学术出版社，2000赫尔加森，S。这个Radon变换。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，1980年。Hungerbühler，N.“氡反投影的奇异滤波器”J.应用。分析 5,17-33, 1998.Kak，A.C。和M·斯莱尼。原则计算机层析成像。IEEE出版社，1988年。库扬斯基，洛杉矶。“广义和衰减Radon变换：恢复方法数值反演。"反问题 8, 809-819, 1992.尼维格尔特，Y.“Radon变换的基本反演”SIAM版本。 28,79-84, 1986.A.G.兰恩。和A.I.Katsevich。这个氡变换和局部层析成像。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，1996年。罗宾逊，欧洲航空公司。“洛伦兹地球物理反演问题的谱方法，傅里叶变换和Radon变换。"程序。仪表电气。电子。工程师。 70,1039-1053, 1982.罗尔斯顿，M.S。和D.O.Muhleman。“合成用Doppler-Only方法绘制极区雷达图。"申请。选择。 36,3912-39191997年。洛杉矶谢普。和Kruskal，J.B。“计算机化层析成像：新的医用X射线技术。"阿默尔。数学。每月 85,420-439, 1978.斯特里哈特，R.S。“氡反演——变化主题。"阿默尔。数学。每月 89第377-384页和第420-423页，1982年。魏斯坦，东-西。“关于氡转化的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/RadonTransforms.html.扎尔克曼，L.“Radon变换的唯一性和非唯一性。”牛市。伦敦数学。索克。 14, 241-245, 1982.

参考Wolfram | Alpha

Radon变换

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Radon变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RadonTransform.html

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