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Delta函数

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delta函数是一个广义函数可以定义为一类三角洲序列delta函数有时称为“Dirac的delta函数”或“冲动符号”（Bracewell 1999）。它在沃尔夫拉姆语言作为迪拉克三角洲[x个].

正式地，三角洲是一个线性泛函从空间（通常视为施瓦茨空间 S公司或紧凑支撑所有平滑功能的空间D类)测试功能的（f）.的操作三角洲在（f），通常表示δ[f]或<增量，f>，然后给出的值为0（f）对于任何功能（f）在工程背景下，三角洲的功能性质函数经常被抑制。

delta函数可以被视为导数的Heaviside阶跃函数,

d/（dx）[H（x）]=增量（x）
(1)

（Bracewell 1999年，第94页）。

delta函数的基本性质是

int_（-infty）^inftyf（x）delta（x-a）dx=f（a）
(2)

事实上，

int_（a-epsilon）^（a+epsilon）f（x）delta（x-a）dx=f（a）
(3)

对于ε>0。

其他身份包括

增量（x-a）=0
(4)

对于x=一,以及

δ（ax）=1/（|a|）增量（x）
(5)
德尔塔（x^2-a^2）=1/（2|a|）[增量（x+a）+增量（x-a）]
(6)

更一般地说x个由提供

δ[g（x）]=总和（i）（δ（x-x_i））/（|g^'（x_i，
（7）

其中x _ i秒是根属于克例如，检查

δ（x^2+x-2）=δ[（x-1）（x+2）]。
(8)

然后g^'（x）=2x+1,所以g^’（x_1）=g^'（1）=3和g^’（x_2）=g^'（-2）=-3,给

增量（x^2+x-2）=1/3增量（x-1）+1/3增量（x+2）。
(9)

定义delta函数导数的基本方程δ（x）是

intf（x）delta^（（n））（x）dx=-int（partialf）/（partialx）delta（（n-1））（x）dx。
(10)

出租f（x）=xg（x）在这个定义中，如下所示

intxg（x）δ^'（x）dx=-intdelta（x）partial/（partialx）[xg（x）]dx
(11)
=-积分增量（x）[g（x）+xg^'（x）]dx
(12)
=-积分（x）增量（x）dx，
(13)

其中第二项可以删除，因为intxg^'（x）delta（x）dx=0，所以(13)暗示

xdelta^'（x）=-增量（x）。
(14)

通常，相同的程序给出

整数[x^nf（x）]增量^（（n））（x）dx=（-1）^nint（部分^n[x^nf（x，
(15)

但由于x个次δ（x）积分到0，则得出只有常数项有贡献。因此，所有项乘以导数f（x）消失，离开不！f（x），所以

整数[x^nf（x）]delta^（（n））（x）dx=（-1）^nn！intf（x）δ（x）dx，
（16）

这意味着

x^ndelta^（（n））（x）=（-1）^nn！增量（x）。
(17)

涉及delta函数导数的其他恒等式包括

delta^'（-x）=-delta^'（x）
(18)
int_（-infty）^inftyf（x）delta^'（x-a）dx=-f^'（a）
(19)
（δ^'*f）（a）=int_（-infty）^inftydelta^'（a-x）f（x）dx=f^'（a）
(20)

哪里*表示卷积,

int_（-infty）^infty|delta^'（x）|dx=infty，
(21)

和

x^2增量^'（x）=0。
(22)

包含以下内容的积分恒等式增量（1/x）由提供

int_（-1）^1增量（1/x）dx=0。
(23)

delta函数也遵循所谓的筛选财产

intf（x）δ（x-x0）dx=f（x0）
(24)

（Bracewell，1999年，第74-75页）。

一个傅里叶级数扩展德尔塔（x-a）给予

a_n（名词）=1/piint_（-pi）^pidelta（x-a）cos（nx）dx
(25)
=1/皮科斯（na）
(26)
b_n（b_n）=1/piint_（-pi）^pidelta（x-a）sin（nx）dx
(27)
=1/pisin（na），
(28)

所以

三角形（x-a）=1/（2pi）+1/pisum_（n=1）^（infty）[cos（na）cos（nx）+sin（na）sin（nx
(29)
=1/（2pi）+1/psum_（n=1）^（infty）cos[n（x-a）]。
(30)

delta函数表示为傅立叶变换作为

δ（x）=F_k[1]（x）=int_（-infty）^inftye^（-2piikx）dk。
(31)

同样，

F_x^（-1）[增量（x）]（k）=int_（-infty）^inftydelta（x）e^（2piikx）dx=1
(32)

（Bracewell 1999年，第95页）傅里叶转型δ函数的

F_x[增量（x-x_0）]（k）=int_（-infty）^inftye^（-2piikx）增量（x-x_0）dx=e^（-2-piikx_0。
(33)
DeltaFunctionEpsilon函数

delta函数可以定义为以下极限ε->0,

δ（x）=1/pilim_（epsilon->0）epsilon/（x^2+epsilon^2），
(34)
=lim（ε->0）1/2ε|x|^（ε-1）
(35)
=lim（ε->0^+）1/（2sqrt（piepsilon））e^（-x^2/（4ε））
(36)
=lim（ε->0）1/（pix）sin（x/epsilon）
（37）
=lim（epsilon->0）1/epsilonAi（x/epsilon）
(38)
=lim_（epsilon->0）1/epsilonJ_（1/epsilon）（（x+1）/epsilon）
(39)
=lim_（ε->0）|1/epsilone^（-x^2/epsilon）L_n（（2x）/epsilon）|，
(40)

哪里Ai（x）（艾（x））是一个艾里函数,J_n（x）是一个贝塞尔第一类函数、和L_n（x）是一个拉盖尔多项式任意正整数阶。

三角函数N

delta函数也可以由极限定义为n->不完整

δ（x）=lim（n->infty）1/（2pi）（sin[（n+1/2）x]）/（sin（1/2x））。
（41）

Delta函数也可以在二维中定义，因此在二维中笛卡尔坐标

增量^2（x，y）={0 x ^2+y ^2！=0；infty x ^2+y ^2=0，
(42)
int_（-infty）^inftyint_（-inty）^infcydelta^2（x，y）dxdy=1
(43)
delta^2（ax，by）=1/（|ab|）delta^2（x，y），
(44)

和

δ^2（x，y）=δ（x）δ（y）。
(45)

类似地，在极坐标,

δ^2（x，y）=（δ（r））/（pi|r|）
(46)

（Bracewell 1999年，第85页）。

在三维中笛卡尔坐标

增量^3（x，y，z）=增量^3
（47）
int_（-infty）^inftyint_（-inty）^inffyint_
(48)

和

δ^3（x，y，z）=δ（x）δ（y）δ（z）。
(49)

在里面柱坐标 （r，θ，z）,

δ^3（r，θ，z）=（δ（r）δ（z））/（pir）。
(50)

在球面坐标 （r，θ，φ）,

δ^3（r，θ，φ）=（δ（r））/（2pir^2）
(51)

（Bracewell 1999年，第85页）。

中的系列扩展柱坐标给予

δ^3（r1-r2）=1/（r1）δ（r1-r2）δ（theta_1-theta_2）δ（z_1-z_2）
(52)
=1/（r1）δ（r1-r2）1/（2pi）sum_（m=-infty）^（infty）e^（im（theta_1-theta_2））1/。
(53)

一些常微分方程的解可以用德尔塔（x）（坎瓦尔，1998年）。例如，微分方程

x（1-x）y^（''）+（4-6x）y_^'-6y=0
(54)

有经典解

y（x）=（C_1）/（x^3）+（x^2-x-1+2（x-2）ln（x-1））/（x^3（x-1））C_2，
(55)

和分布式解决方案

y（x）=C_1增量^（''）（x）
(56)

（M.Trott，pers.comm.，2006年1月19日）。注意，与经典解不同n个顺序ODE不需要包含n个独立常数。

另请参见

Delta序列,Doublet函数,傅里叶变换-增量功能,广义函数,冲动符号,Poincaré-Bertrand定理,Shah函数,索霍茨基的公式 探索数学世界课堂上的这个主题

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta/,http://functions.wolfram.com/GeneralizedFunctions/DiracDelta2/

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工具书类

阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第481-485页，1985Bracewell，R.“冲动符号”第5章这个傅里叶变换及其应用，第三版。纽约：McGraw-Hill，第74-104页，2000迪拉克，P.A.M。量子力学，第4版。伦敦：牛津大学出版社，1958年。Gasiorowicz，美国。量子物理学。纽约：Wiley，第491-494页，1974年。坎瓦尔，R.P。《常微分方程的应用》第6章广义《功能、理论和技术》，第2版。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第291-255页，1998帕普利斯，A。概率，随机变量和随机过程，第二版。纽约：McGraw-Hill，第97-98页，1984年。Spanier，J.和Oldham，K.B.“狄拉克Delta函数三角形（x-a）."通道10英寸安函数图谱。华盛顿特区：《半球》，第79-82页，1987年。厢式货车der Pol，B.和Bremmer，H。操作基于双面拉普拉斯积分的微积分。英国剑桥：剑桥大学出版社，1955年。

参考Wolfram | Alpha

Delta函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Delta Function”来源数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html

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