鉴于相对质数 整数 和(即。,),Dedekind总和定义为
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(1)
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哪里
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(2)
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具有这个地板功能.是一个奇函数自从并且具有周期1。Dedekind总和即使是,因此,有时会取消相对优先的限制(Apostol 1997,第72页)。符号有时被用来代替(贝克2000)。
Dedekind总和也可以表示为
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(3)
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如果,让,,...,表示欧几里德算法由提供
对于和。那么
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(7)
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(《使徒行传》1997年,第72-73页)。
一般来说,没有简单的公式来计算,但有些特殊情况是
(《使徒行传》1997年,第62页)。Apostol(1997年,第73页)给出了其他特殊情况
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(10)
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(11)
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(12)
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(13)
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对于和,其中和最后,
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(14)
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对于和,其中或.
Dedekind和服从2项
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(15)
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(Dedekind 1953;Rademacher and Grosswald 1972;Pommersheim 1993;Apostol 1997,第62-64页)和3学期
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(16)
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(Rademacher 1954),互惠法律,其中,;,; 和,是成对的相对质数、和
(Pommersheim,1993年)。
是一个整数(Rademacher和Grosswald 1972,第28页),如果,然后
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(20)
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和
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(21)
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此外,满足一致性
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(22)
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哪一个,如果很奇怪,变成
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(23)
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(《使徒行传》1997年,第65-66页)。如果、5、7或13,出租,让整数,,,给予这样的话和,并让
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(24)
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然后是一个偶数(Apostol 1997,第66-69页)。
让,,,具有(即,成对相当地首要的),则Dedekind总和也满足
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(25)
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哪里,和,有吗整数这样的话(Pommersheim,1993年)。
如果是质数,那么
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(26)
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(Dedekind 1953;Apostol 1997,第73页)。此外,Knopp(1980)对其进行了很好的概括。
另请参见
Dedekind Eta函数,Iseki公式
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工具书类
阿波斯托·T·M·。“Dedekind和的性质”、“Dedekind和的互惠定律”和“同余性质”Dedekind Sums公司。“§3.7-3.9英寸模块化数论中的函数和狄里克莱级数,第二版。纽约:Springer-Verlag,第52和61-69页,1997年。阿波斯托·T·M·。通道12英寸介绍解析数论。纽约:Springer-Verlag,1976年。贝克,M.“Dedekind余切和”,2001年12月7日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077.德德金,R.“Erlauterungen zu den Fragmenten,XXVIII”,摘自这个伯恩哈德·里曼作品集。纽约:多佛,第466-4781953页。石井,S.“Dedekind模函数的变换公式及其相关函数方程。"杜克大学数学。J。 24, 653-662, 1957.克诺普,M.I.公司。“Hecke运算符和Dedekind和的标识。”J.编号第。 121980年2月9日。Pommersheim,J.“保守主义变体,格点和Dedekind和。"数学。安。 295, 1-24, 1993.拉德马赫,H.“Dedekind和的互易公式的推广”杜克数学。J。 21, 391-398, 1954.Rademacher,H.和Grosswald,E.公司。德德金德总和。华盛顿特区:数学。美国协会。,1972拉德马赫,H。和怀特曼,A.L。“关于Dedekind和的定理。”阿默尔。数学杂志。 63,377-407, 1941.参考Wolfram | Alpha
Dedekind总和
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Dedekind Sum”来源数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html网址
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