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Dedekind总和

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鉴于相对质数 整数 第页和问（即。，（p，q）=1)，Dedekind总和定义为

s（p，q）=总和（i=1）^q（i/q））（（（pi）/q），
(1)

哪里

（（x））={x-|_x_|-1/2 x不在Z中；0 x在Z中，
(2)

具有|_x_|这个地板功能.（（x））是一个奇数函数自从（（x））=-（（-x））并且具有周期1。Dedekind总和即使是（p，q）=1,因此，有时会取消相对优先的限制（Apostol 1997，第72页）。符号s（p，q）有时被用来代替s（p，a）（贝克2000）。

Dedekind和也可以用以下形式表示

s（p，q）=1/（4q）sum（r=1）^（q-1）cot（（pipr）/q）cot。
(3)

如果0<h<k，让r_0（零）,第1段,...,r（n+1）表示欧几里德算法由提供

r_0（零）=k个
(4)
第1段=小时
(5)
r（j+1）=r（j-1）（修改rj）
(6)

对于1<=r_（j+1）<r_j和r_（n+1）=1.然后

s（h，k）=1/（12）和（j=1）^（n+1）{（-1）^
(7)

（《使徒行传》1997年，第72-73页）。

一般来说，没有简单的公式来计算s（p，q），但有些特殊情况是

s（1，q）=（（q-1）（q-2））/（12q）
（8）
s（2，q奇数）=（问题1）（问题5）/（24）
(9)

（《使徒行传》1997，第62页）。《使徒行传》（1997，第73页）给出了其他特殊情况

12hks（h，k）=（k-1）（k-h^2-1），k=1（mod h）
(10)
12hks（h，k）=（k-2）[k-1/2（h^2+1）]对于k=2（mod h）
(11)
12hks（h，k）=k^2+（h^2-6h+2）k+h^2+1，k=-1（mod h）
(12)
12hks（h，k）=k^2-（h^2-t（r-1）（r-2）h+r^2+1）/rk+h^2+1
(13)

对于k=r（mod h）和h=t（模量），其中r> =1和t=+/-1最后，

12hks（h，k）=k^2-（h^2+4r（t-2）（t+2）h+26）/5k+h^2+1
(14)

对于k=5（模小时）和h=t（模块5），其中t=+/-1或+/-2.

Dedekind和服从2项

s（p，q）+s（q，p）=-1/4+1/（12）（p/q+q/p+1/（pq））
(15)

（Dedekind 1953；Rademacher and Grosswald 1972；Pommersheim 1993；Apostol 1997，第62-64页）和3学期

s（bc^'，a）+s（ca^'，b）+s（ab^'，c）=-1/4+1/（12）（a/（bc）+b/（ca）+c/（ab））
(16)

（Rademacher 1954），互惠法律，其中一,“^”;b条,b^'；和c（c）,“抄送”是成对的相对质数、和

aa^'=1（b型）
(17)
bb^'=1（修改）
(18)
cc^'=1（mod a）
(19)

（Pommersheim 1993）。

6q（p，q）是一个整数（Rademacher和格罗斯瓦尔德1972年，第28页），如果θ=（3，q），然后

12pqs（p，q）=0（mod thetap）
(20)

和

12pqs（q，p）=q^2+1（mod thetap）。
(21)

此外，s（p，q）满足一致性

12qs（p，q）=（q-1）（q+2）-4p（q-1+4sum（r<q/2）|（2pr）/q|（mod 8），
(22)

哪一个，如果问很奇怪，变成

12qs（p，q）=q-1+4sum（r<q/2）|（2pr）/q|（mod 8）
(23)

（《使徒行传》1997年，第65-66页）。如果q=3、5、7或13，出租r=24/（q-1），设整数一,b条,c（c）,d日给予ad-bc=1这样的话c=c1q和c1>0，并让

δ={s（a，c）-（a+d）/（12c）}-{s（a，c1）-（a+d）／（12c1）}。
(24)

然后阿尔代尔塔是一个偶数（Apostol 1997，第66-69页）。

让第页,问,u个,v（单位：N）具有（p，q）=（u，v）=1（即成对相当地首要的)，则Dedekind总和也满足

s（p，q）+s（u，v）=s（pu^'-qv^'，pv+qu）-1/4+1/（12）（q/（vt）+v/（tq）+t/（qv）），
(25)

哪里t=pv+qu,和u ^’,v ^’有吗整数这样的话uu^'+vv^'=1（Pommersheim，1993年）。

如果第页是质数，那么

（p+1）s（h，k）=s（ph，k）+sum_（m=0）^（p-1）s（h+mk，pk）
(26)

（Dedekind 1953；Apostol 1997，第73页）。此外，Knopp（1980）对其进行了很好的概括。

另请参见

Dedekind Eta函数,Iseki公式

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Apostol，T.M.“Dedekind和的性质”、“Dedekind和的互惠定律”和“同余性质”Dedekind Sums公司。“§3.7-3.9英寸模块化数论中的函数和狄里克莱级数，第二版。纽约：Springer-Verlag，第52和61-69页，1997年。Apostol，T.M.Ch.12英寸介绍分析数论。纽约：Springer-Verlag，1976年。贝克，M.“Dedekind余切和”，2001年12月7日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077.德德金，R.“Erlauterungen zu den Fragmenten，XXVIII”，摘自这个伯恩哈德·里曼作品集。纽约：多佛，第466-4781953页。石井，Dedekind模函数的变换公式及相关函数方程。"杜克大学数学。J。 24, 653-662, 1957.克诺普，M.I.“Hecke算子和Dedekind和的恒等式”J.编号第。 12, 2-9, 1980.Pommersheim，J.“保守主义变体，格点和Dedekind和。"数学。安。 295, 1-24, 1993.Rademacher，H.“Dedekind和的互易公式的推广”杜克数学。J。 21, 391-398, 1954.Rademacher，H.和Grosswald，E.公司。德德金德总和。华盛顿特区：数学。美国协会。，1972拉德马赫，H。和Whiteman，A.L.“Dedekind和定理”阿默尔。数学杂志。 63,377-407, 1941.

参考Wolfram | Alpha

Dedekind总和

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Dedekind Sum”来源数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html网址

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