欧几里德算法

欧几里德算法，也称为欧几里得算法，是一种算法找到最大公约数两个数字的和.该算法也可以定义为更通用的戒指而不仅仅是整数.甚至有主环哪些不是欧几里得的但如果等效可以定义欧几里德算法。有理数的算法是欧几里得第七卷元素.算法for reals出现在第十卷中，使其成为整数关系算法（Ferguson等。1999).

欧几里德算法是P-问题其时间复杂度由输入长度的二次函数限定价值观（巴赫和沙利特，1996年）。

让,然后找到一个数字哪一个划分二者都和（以便和)，然后也划分 自从

类似地，找到一个数字哪一个划分 和（以便和)，然后 分割 自从

因此，每个常见的除数属于和是常见的除数属于和，因此该过程可以迭代如下：

对于整数，当划分确切地说，在那一点上对应于最大的公约数属于和,。对于实数，该算法将生成精确关系或近似关系的无限序列（弗格森et（等）阿尔。1999).

欧几里德算法的一个重要结果是找到整数和这样的话

这可以从以下等式开始，替换为从上一个等式，向上通过方程式。

请注意只是剩余物，因此算法可以很容易通过反复计算从开始的连续项的余数手动应用有两个感兴趣的数字（两个数字中较大的先写）。作为例如，考虑将该算法应用于这给出了42、30、12、6、0，所以类似地，将算法应用于（144，55）给出144、55、34、21、13、8、5、3、2、1、0，所以以及144和55是相当地首要的.

A简明扼要Wolfram语言实施如下所示。

余数[a_，b_]：=模态[a，b]余数[a_，0]：=0欧氏算法GCD[a_，b_]：=固定点列表[{最后[#]，余数@@#}&，{a，b}][[-3，1]]

Lamé表明，达到最大公约数对于小于的两个数字是

哪里是黄金比率.从数值上看，Lamé的表达式计算结果为

其中，对于,总是乘以较小数字中的位数（Wells 1986，第59页）。如图所示通过拉梅定理，发生最坏的情况当算法应用于两个连续的斐波那契数Heilbronn表示步骤数为适用于所有配对具有.Kronecker表明算法使用最少的绝对余数。这个商获得分布如下表所示（Wagon 1991）。

让是计算所需的除数使用欧几里德算法，并定义如果。然后是函数由重现关系

为此函数制表给予

（组织环境信息系统A051010号). 给定的最大步骤数,2, 3, ... 是1、2、2、3、2、4、3、3、4、4、5。。。（组织环境信息系统A034883号).

考虑功能

给出平均步数是固定的，并且随机选择（Knuth 1998，第344和353-357页）。这个的前几个值是0、1/2、1、1、8/5、7/6、13/7、7/4。。。（组织环境信息系统A051011号和A051012号). 诺顿（1990）表明

哪里是Mangoldt函数和是波特常数（克努思1998年，第355-356页）。

相关功能

哪里是全能函数，给出平均数当是固定的，并且是一个与之互素的随机数波特（1975）表明

（Knuth 1998，第354-355页）。

最后，定义

当和都是在诺顿（1990）证明了

哪里是黎曼-泽塔函数.

存在21个二次域其中有是一种欧几里德算法（Inkeri 1947，Barnes和Swinnerton-Dyer 1952）。

有关更多详细信息，请参见Uspensky和Heaslet（1939年）以及Knuth（1998年）。

尽管人们尝试了各种方法来推广算法整数关系之间变量，在发现之前没有一个成功的Ferguson-Forcade算法（弗格森等。1999). 其他几个整数关系算法现在已经被发现。