混乱

“混乱”是一个棘手的定义。事实上，列出被描述为“混沌”的系统的属性要比给出混沌的精确定义容易得多。

Gleick（1988年，第306页）指出，“（他采访过的）混沌科学家中没有人能够完全同意这个词本身的定义”，因此，他给出了该领域许多从业者的描述。例如，他引用菲利普·霍姆斯（Philip Holmes）（显然是对“混沌”的定义）的话说，“某些通常是低维动力系统的复杂的非周期吸引轨道。”同样，他引用了拜林浩（Bai-Lin Hao）的话，将混沌（粗略地）描述为“一种没有周期性的秩序”

事实证明，即使是专门讨论混乱的教科书也没有真正定义这个词。例如，威金斯（1990年，第437页）说，“一个动态系统显示对封闭不变集（包括将调用混乱”塔博（1989年，第34页）说：“确定性方程的混沌解意味着解其结果对初始条件非常敏感（即初始条件的微小变化条件导致结果的巨大差异）及其在阶段中的演变空间看起来很随机。“最后，拉斯班德（1990年，第1页）说，“‘混沌’一词的使用意味着对系统的一些观察，也许通过测量，并且这些观测值或测量值会发生不可预测的变化。当没有明显的规律性或订单。”

因此，描述混沌的一种简单但稍有不精确的方法是“混沌系统的区别在于对初始条件的敏感依赖性，以及在相空间中的演化似乎非常随机。”

特别是，混乱动力系统是通常以

1.拥有稠密的具有周期轨道的点集合，

2.对系统的初始条件敏感（以便最初的相邻点可以快速演变为非常不同的状态），这是一个有时已知的特性作为蝴蝶效应、和

3.存在拓扑传递的.

然而，应该注意的是，尽管混沌具有“随机”外观，但它是一种确定性演化。此外，还有一些混沌系统没有有周期轨道（周期轨道只存在于KAM公司托里岛对于可积情形的足够强扰动，孤岛不一定生存下来）。此外，在所谓的量子混乱，轨迹不会以指数形式发散，因为它们受到约束因为整个进化必须是单一的。

规则行为和混沌行为之间的边界通常具有以下特征周期加倍，然后是四足动物，等等，尽管其他通向混乱的途径也是可能（Ababanel等。1993; Hilborn 1994；斯特罗加茨，1994年，第363-365页）。

表现出混沌行为的简单物理系统的一个例子是磁摆在含有两个或更多吸引磁铁的平面上的运动。摆锤最终静止的磁铁（由于摩擦阻尼）在很大程度上取决于摆锤的起始位置和速度（Dickau）。另一个这样的系统是双摆（一个末端连着另一个摆的摆）。

M.Tabor和F.Calogero主张将混沌解释为运动黎曼曲面（Tabor和Weiss 1981年，Fournier等。1988年，邦蒂斯等。1993年，Bountis 1995年）。