我不知道我们是否可以用卷积来证明你的陈述，这是我第一次看到它，所以我不知道有什么参考，但我有一个归纳证明。
第一项$a_1，a_2$与斐波那契数一致。
让我们假设：$a_1，a_2，\cdots，a_{x}，a_{x+1}$是第一个斐波那契数（这个假设在命题中使用），并证明$a_{x+2}$是下一个斐波那契数。
我们计算$a{x+2}-a{x+1}$：$$a{x+2}-a{x+1}=\sum_{n:\alpha（n）=x}\varphi（n$$我们知道$\lfloor x/k\rfloor-\lfloor-（x-1）/k\rploor=1$当$k|x$（对于$k\geq1$）时，$0$否则，所以$$a{x+2}-a{x+1}=\sum{n:\alpha（n）|x}\varphi（n，\，\，（1）$$但我们有
提议对于每个正整数$n$$\alpha（n）|x\Leftrightarrow n|a_x$$
证明首先，很明显，如果$\alpha（n）=k$加上$k|x$，那么$n|ak$，因为$ak$和$a_x$是斐波那契数，那么$a_k|a_x$finally$n|a_x$。
其次，给定$a_x$的除数$n$，让$\alpha（n）=k\leqx$，然后$n|a_k$so$n|gcd（a_k，a_x）=a_{gcd（x，k）}$（因为$a_x$和$a_k$是斐波那契数），使用$\alfa（n。
使用该命题，总和$（1）$变为：$$a{x+2}-a{x+1}=\sum{n:n|ax}\varphi（n）$$使用Euler的标识$\sum_{d:d|n}\varphi（d）=n$：$$a{x+2}-a{x+1}=ax$$
最后$a_{x+2}$是下一个斐波那契数
