使用自动回归（AR）模型-高斯波生成彩色噪声

重点关注点：了解如何使用自回归（AR）模型生成彩色噪声。应用Yule-Worker方程生成幂律噪声：粉红噪声、布朗噪声。

自动后退（AR）模型

一种不相关高斯随机序列 $x[n]$ 可以转换为相关高斯随机序列 $年[n]$ 使用AR时间序列模型。如果假设时间序列随机序列遵循自回归 $银币（N）$ 形式模型，

哪里 $x（n）$ 是零均值和方差的不相关高斯序列 $\西格玛_x^2$ ，自然趋势是估计模型参数 $a_1、a_2、\cdot、a_N$ 这里可以应用最小二乘法来查找模型参数，但随着顺序的增加，计算变得繁琐 $N个$ 增加。幸运的是，AR模型系数可以用Yule Walker方程.

Yule-Walker方程与自回归模型参数相关 $a_1、a_2、\cdot、a_N$ 自相关 $R_{yy}[k]$ 随机过程的 $年[n]$ 。使用Yule-Walker方程确定模型参数需要两步：

1.给定 $年[n]$ ，估计过程的自相关 $R_{yy}[n]$ .如果 $R_{yy}[n]$ 已被指定为函数，请按原样使用（请参阅中Jakes频谱或多普勒频谱的自相关方程书中第11.3.2节).

2.求解Yule-Walker方程以找到模型参数 $a_k\；\左（k=0,1，…，N \右）$ 和噪声sigma $\西格玛_x^2$ .

Yule-Walker方程

尤勒-沃克方程可以紧凑地写成

尤勒-沃克方程以矩阵形式写成，由一组 $N个$ 线性方程和 $N个$ 未知参数。

以紧凑形式表示方程（3），

$\mathbf{R_{yy}}\mathbf}a}=-\mathbf{R_{yy}}\quad\quad\quid\quad（4）$

AR模型参数 $\mathbf{a}$ 可以通过求解找到

$\mathbf{a}=-\mathbf{R_{yy}}^{-1}\mathbf{R_{yy}}\quad\quad\quid\quad（5）$

模型参数求解后 $（_k）$ 、噪声方差 $\西格玛_x^2$ 可以通过应用 $（_k）$ 在方程式（2）中，通过设置 $l=0$ . The芳基命令（在Matlab和Python的spectrum包中）使用Levinson算法有效地求解Yule-Walker方程[1][2].一旦模型参数 $（_k）$ 得到，AR模型可以实现为一个形式的emph{infinte pulse response（IIR）}滤波器

$H（z）=\dfrac{1}{1+\sum\limits_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}\quad\quad\quid\quad（6）$

例子： $1/f^\阿尔法$ 幂律噪声产生

幂律 $1/f^\阿尔法$ 在功率谱中表征了许多自然系统中波动的观测值。许多自然系统都表现出一些 $1/f^\阿尔法$ 噪声是一个随机过程，其功率谱密度的幂指数可以取值 $-2\geq\alpha\leq 2$ 简单地说， $1/f^{\alpha}$ 噪声是功率谱密度为 $1/f^\阿尔法$ 在其整个频率范围内。

$S（f）=\frac{1}{|f|^\alpha}\quad\quad（7）$

这个 $1/f^\阿尔法$ 噪声可以根据 $\阿尔法$ .

紫色噪音– $\阿尔法$ =-2，功率谱密度与 $第^2页$ .
蓝色噪音– $\阿尔法$ =-1，功率谱密度与 $（f）$ .
白噪声– $\阿尔法$ =0时，整个光谱的功率谱密度是平坦的。
粉红色噪音– $\阿尔法$ =1，功率谱密度与 $第1页$ 也就是说，它减少了 $3 \; 分贝$ 每倍频程随频率的增加而增加。
布朗噪声– $\阿尔法$ =2，功率谱密度与 $1/f^2$ ，因此它减少了 $6 \; 分贝$ 每倍频程随频率的增加而增加。

幂律噪声可以通过一个有序的自回归（AR）滤波器对零均值白噪声进行排序来产生 $N个$ :

$\sum_{k=0}^{k=N}a_ky[N-k]=x[N]\quad\quad\quid\quad（8）$

其中， $x（n）$ 是一个零米白噪声过程。参考中描述的AR生成方法[3]，AR滤波器的系数可以生成为

$\开始{aligned}a0&=1\\ak&=\left（k-1-\frac{\alpha}{2}\right）\frac{ak-1}{k}\end{aligned}\quad\quad\quid（9）$

其可以实现为无限冲激响应使用方程（6）中描述的滤波器传递函数进行滤波。

下面的脚本实现了此方法，示例结果如下图所示。

有关Matlab代码，请参阅本书

模拟彩色噪声样本及其PSD估计：粉色噪声（α=1）和棕色噪声（α=2） — 图1：模拟彩色噪声样本及其PSD估计值：粉色噪声（α=1）和棕色噪声（α=2）

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参考文献

[1]Gene H.Golub，Charles F.Van Loan，《矩阵计算》，ISBN-9780801854149，约翰霍普金斯大学出版社，1996年，第143页。↗
[2]J.Durbin，《模型中时间序列的拟合》，《国际统计研究所评论》，28:233-2431960年。↗
[3]Kasdin，N.J.有色噪声和随机过程的离散模拟 $1/f^\阿尔法$ 《电力法噪声产生》，《美国电气与电子工程师协会会刊》，第83卷，第5期，1995年，第802-827页。↗

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本章主题

随机变量-模拟概率系统
● 介绍
●绘制估计PDF
● 单变量随机变量
□均匀随机变量
□伯努利随机变量
□二项式随机变量
□指数随机变量
□泊松过程
□高斯随机变量
□齐方随机变量
□非中心齐方随机变量
□Chi分布随机变量
□瑞利随机变量
□Ricean随机变量
□Nakagami-m分布随机变量
●中心极限定理——一个证明
● 生成相关随机变量
□生成两个相关随机变量序列
□利用Cholesky分解生成多个相关随机变量序列
●生成相关高斯序列
□谱分解法
□自动后退（AR）模型

关于“使用自回归（AR）模型生成彩色噪声”的2点思考

K螺母

2020年3月15日晚上8:09

有趣的是看到自相关和PSD指数之间的联系。

我实现了第99页书中的代码。

我该如何从PSD中描述阿尔帕山？
如果我在日志空间中为PSD拟合一条线，那么这条线会受到PSD下端的噪声严重影响。

示例代码：
log_f=10log10（F（2：结束））；
log_p=10log10（Pyy（2：结束））；
Const=polyfit（log_f，log_p，1）；

斜率=常数（1）；
偏移=常数（2）；
Yp=多值（Const，log_f）；

在生成示例噪声后，您有没有对斜率和偏移进行稳健估计的示例？
答复
- 马图拉纳坦
  
  2020年3月16日下午12:16
  
  该方法仅适用于具有一定统计特性的噪声。α、PSD和AR模型之间的关系无法通过简单的线-场模型获得。必须根据经验数据进行估算。
  
  噪声应该表现出分形现象（长记忆性和自相似性），以便此方法工作。以下参考资料可能会帮助您进一步了解。
  
  [1] Jan Beran，“长内存进程统计”，ISBN-13:978-0412049019，Chapman和Hall/CRC；第1版（1994年10月1日）URL:https://amzn.to/2w9I0NO
  [2] 塔贾纳·斯塔德尼茨基。《测量分形》，《生理学前沿》第3卷第127页。2012年5月7日，doi:10.3389/fphys.2012.0127网址：https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3345945/
  答复

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