使用自动回归（AR）模型生成彩色噪声

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重点关注点：了解如何使用自回归（AR）模型生成彩色噪声。应用Yule-Walker方程产生幂律噪声：粉红噪声、布朗噪声。

自动后退（AR）模型

一个不相关的高斯随机序列x（n）可以转换为相关高斯随机序列年[n]使用AR时间序列模型。如果假设时间序列随机序列遵循自回归银币（N）形式模型，

哪里x（n）是零均值和方差的不相关高斯序列\西格玛_x^2，自然趋势是估计模型参数a_1、a_2、\cdot、a_N这里可以应用最小二乘法来查找模型参数，但随着顺序的增加，计算变得繁琐N个增加。幸运的是，AR模型系数可以用Yule Walker方程.

Yule-Walker方程与自回归模型参数相关a_1、a_2、\cdot、a_N自相关R_{yy}[k]随机过程的年[n]。使用Yule-Walker方程确定模型参数需要两步：

1.给定年[n]，估计过程的自相关R_{yy}[n].如果R_{yy}[n]已指定为函数，请按原样使用（请参见中Jakes谱或多普勒谱的自相关方程本书第11.3.2节).

2.求解Yule-Walker方程以找到模型参数a_k\；\左（k=0,1，…，N\right）和噪声sigma\西格玛_x^2.

Yule-Walker方程

Yule-Walker方程可以简洁地写成

尤尔·沃克方程
方程（2）尤勒-沃克方程

Yule-Walker方程以矩阵形式编写，包括一组N个线性方程和N个未知参数。

以紧凑形式表示方程（3），

\mathbf{R_{yy}}\mathbf}a}=-\mathbf{R_{yy}}\quad\quad\quid\quad（4）

AR模型参数\mathbf{a}可以通过求解找到

\mathbf{a}=-\mathbf{R_{yy}}^{-1}\mathbf{R_{yy}}\quad\quad\quid\quad（5）

模型参数求解后（_k）、噪声方差\西格玛_x^2可以通过应用（_k）在方程式（2）中，通过设置l=0. The芳基命令（在Matlab和Python的spectrum包中）使用Levinson算法有效地求解Yule-Walker方程[1][2].一旦模型参数（_k）得到，AR模型可以实现为一个形式的emph{infinte pulse response（IIR）}滤波器

H（z）=\dfrac{1}{1+\sum\limits_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}\quad\quad\quid\quad（6）

例子：1/f^\阿尔法幂律噪声产生

幂律1/f^\阿尔法在功率谱中表征了许多自然系统中波动的观测值。许多自然系统表现出一些1/f^\阿尔法噪声是一个随机过程，其功率谱密度的幂指数可以取值-2\geq\alpha\leq 2 简单地说，1/f^{\alpha}噪声是功率谱密度为1/f^\阿尔法在其整个频率范围内。

S（f）=\frac{1}{|f|^\alpha}\quad\quad（7）

这个1/f^\阿尔法可以根据以下值将噪声分为不同类型\阿尔法.

紫色噪音–\阿尔法=-2，功率谱密度与第^2页.
蓝色噪音–\阿尔法=-1，功率谱密度与（f）.
白噪声–\阿尔法=0时，整个光谱的功率谱密度是平坦的。
粉红色噪音–\阿尔法=1，功率谱密度与第1页也就是说，它减少了3 \; 分贝每倍频程随频率的增加而增加。
布朗噪声–\阿尔法=2，功率谱密度与1/f^2，因此它减少了6 \; 分贝每倍频程随频率的增加而增加。

幂律噪声可以通过一个有序的自回归（AR）滤波器对零均值白噪声进行排序来产生N个:

\sum_{k=0}^{k=N}a_ky[N-k]=x[N]\quad\quad\quid\quad（8）

哪里，x（n）是一个零米白噪声过程。参考中描述的AR生成方法[3]，AR滤波器的系数可以生成为

\开始{aligned}a0&=1\\ak&=\left（k-1-\frac{\alpha}{2}\right）\frac{ak-1}{k}\end{aligned}\quad\quad\quid（9）

其可以实现为无限冲激响应使用方程（6）中描述的滤波器传递函数进行滤波。

下面的脚本实现了此方法，示例结果如下图所示。

有关Matlab代码，请参阅本书

模拟彩色噪声样本及其PSD估计：粉色噪声（α=1）和棕色噪声（α=2）
图1：模拟颜色噪声样本及其PSD估计：粉红色噪声（α=1）和棕色噪声（α=2）

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工具书类

[1]Gene H.Golub，Charles F.Van Loan，《矩阵计算》，ISBN-9780801854149，约翰霍普金斯大学出版社，1996年，第143页。↗
[2]J.Durbin，《模型中时间序列的拟合》，《国际统计研究所评论》，28:233-2431960年。↗
[3]Kasdin，N.J.有色噪声和随机过程的离散模拟1/f^\阿尔法幂律噪声产生，IEEE学报，第83卷，第5期，1995年，第802-827页。↗

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本章主题

随机变量-模拟概率系统
● 介绍
●绘制估计PDF
● 单变量随机变量
 □均匀随机变量
 □伯努利随机变量
 □二项式随机变量
 □指数随机变量
□泊松过程
□高斯随机变量
□卡方随机变量
 □非中心齐方随机变量
 □Chi分布随机变量
□瑞利随机变量
□Ricean随机变量
□Nakagami-m分布随机变量
●中心极限定理——一个证明
● 生成相关随机变量
 □生成两个相关随机变量序列
 □利用Cholesky分解生成多个相关随机变量序列
●生成相关高斯序列
 □谱分解法
 □自动后退（AR）模型

关于“使用自回归（AR）模型生成颜色噪声”的2个想法

  1. 有趣的是看到自相关和PSD指数之间的联系。

    我实现了第99页书中的代码。

    我该如何从PSD中描述阿尔帕山？
    如果我在日志空间中为PSD拟合一条线，那么这条线会受到PSD下端的噪声严重影响。

    示例代码：
    log_f=10log10（F（2：结束））；
    log_p=10    log10（Pyy（2：结束））；
    Const=polyfit（log_f，log_p，1）；

    斜率=常数（1）；
    偏移=常数（2）；
    Yp=多值（Const，log_f）；

    在生成示例噪声后，您有没有对斜率和偏移进行稳健估计的示例？

    答复

    • 该方法仅适用于具有一定统计特性的噪声。α、PSD和AR模型之间的关系无法通过简单的线-场模型获得。必须根据经验数据进行估算。

      噪声应该表现出分形现象（长记忆性和自相似性），以便此方法工作。以下参考资料可能会帮助您进一步了解。

      [1] Jan Beran，“长内存进程统计”，ISBN-13:978-0412049019，Chapman和Hall/CRC；第1版（1994年10月1日）URL:https://amzn.to/2w9I0NO
      [2] 塔贾纳·斯塔德尼茨基。《测量分形》，《生理学前沿》第3127卷。2012年5月7日，doi:10.3389/fphys.2012.0127网址：https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3345945/

      答复

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