拉马努詹在给哈迪的最后一封信中定义了17雅可比θ函数-类似的函数具有他称之为“模拟θ函数”(沃森1936ab,Ramanujan 1988,第127-131页;拉马努扬2000年,第354-355页)。这些函数是q个-系列具有指数奇点这样,参数会因某些权力而终止特别是,如果是不一雅各比θ函数,则它是一个模拟θ函数,如果根团结一致 ,有一个近似值表单的
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(1)
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作为具有(Gordon和McIntosh,2000年)。
此外,如果统一的根源 有模块化的形式和实数和这样的话
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边界为径向接近,然后据说是一个强大的模拟θ函数(Gordon和McIntosh 2000)。
Ramanujan在他的“丢失的笔记本”中发现了另外三个模拟θ函数,随后被Watson(1936ab)重新发现。页面上的第一个公式Ramanujan丢失的笔记本中有15个与Watson调用的功能相关和(相当于Watson’s第63页上的第三个等式1936年的论文),遗失笔记本第31页上的最后一个公式与沃森有关电话和(相当于沃森论文第63页上的第四个等式)。这些命令Ramanujan最初的17个函数都是3、5或7。
Ramanujan的“丢失的笔记本”还包含了几个6阶和10阶的模拟θ函数,然而,Ramanujian并没有明确地将其确定为模拟θ功能。现在已经对其特性进行了详细调查(Andrews和Hickerson 1991,Choi 1999)。
不幸的是,虽然已知的身份清楚地表明,模仿“顺序”的θ函数与数字相关,没有对模拟θ函数的顺序进行正式定义已知。因此,“命令”一词必须仅被视为一种方便标签用于模拟θ函数(Andrews和Hickerson 1991)。
三阶模拟θ函数的完整列表如下
具有,,和由于沃森(1936ab;Dragonette 1952)。请注意不收敛,但奇偶偏级数和是收敛的,所以通常取这两个值的平均值(安德鲁斯和Hickerson 1991)。
下表总结了这些系列的前几个术语。特别是Dragonette(1952)认为系数系列的满足
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(10)
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哪里是一个配分函数P和是序列1,0,, 4,, 4,, 8,, 8,, ... (组织环境信息系统A064053号)对于,1, ....
功能 | 组织环境信息系统 | 系列 |
| A000025号 | 1, 1,,三,,,7,,6, ... |
| A053250型 | 1, 1, 0,, 1, 1,,, 0, 2, ... |
| A053251号 | 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, ... |
| A053252号 | 1,1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0,, 0, ... |
| A053253号 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 14, 18, 22, 29, ... |
| A053254号 | 1,,2,,2,,4,,5, ... |
| A053255号 | 1,,0, 1, 0,,1,,0, 1, ... |
Watson(1936ab)证明了连接Ramanujan模拟θ函数的基本关系,
哪里是一个雅可比θ函数(Dragonette 1952)。
Ramanujan(2000,第354-355页)给出了10个五阶模拟θ函数,由
(安德鲁斯,1986年)。注意,这里的符号遵循标准惯例.
Ramanujan给出了七个六阶模拟θ函数,由
(安德鲁斯和希克森,1991年)。
Ramanujan(2000年,第355页)也给出了三个七阶模拟θ函数,由
(Andrews,1986年)。
Gordon和McIntosh(2000)发现了8阶的8个模拟θ函数,
另请参见
Jacobi Theta函数,莫代尔积分,q个-系列
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安德鲁斯,G.E。“五阶和七阶模拟Theta函数。”事务处理。阿默尔。Soc公司。 293, 113-134, 1986.安德鲁斯,通用电气公司。“模拟Theta功能。”程序。交响乐。纯数学。 49,283-298, 1989.安德鲁斯,G.E。和Berndt,B。拉马努扬的遗失的笔记本,第一部分。纽约:施普林格,2005年。安德鲁斯,G.E。和Hickerson,D.“Ramanujan的‘失落’笔记本VII:第六阶模拟Theta功能。"高级数学。 89, 60-105, 1991.行李员,R.E.公司。A类Theta函数简介。纽约:霍尔特、莱茵哈特和温斯顿,第51页,1961年。伯恩特,B.C。和Rankin,R.A。拉马努扬:信件和评论。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第220-224页,1995Choi,Y.S.“Ramanujan的十阶模拟Theta函数丢失的笔记本。"发明。数学。 136, 497-569, 1999.德拉戈内特,洛杉矶。“Ramanujan模拟Theta级数的一些渐近公式。”事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。 73, 474-500, 1952.B.戈登和麦金托什,R.J。“一些八阶模拟Theta函数。”J.伦敦数学。Soc公司。 62, 321-335, 2000.B.戈登和R.J.麦金托什。“Ramanujan的五阶和七阶模拟Theta函数的模块化变换。”拉马努詹J。 7, 193-222, 2003.拉马努扬,S。失落的人笔记本和其他未出版的手稿。印度新德里:纳罗萨,1988年。拉马努扬,美国。收集斯里尼瓦萨·拉马努扬的论文(编辑G.H.Hardy,P.V.S.Aiyar,和B.M。威尔逊)。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,2000年。塞尔伯格,答:“你是Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung。”架构(architecture)。数学。og Naturvidenskab公司 41, 3-15, 1938.新泽西州斯隆。答:。序列A000025号/M0433,A053250型,A053251,A053252号,A053253号,A053254号,A053255号、和A064053号在“整数序列在线百科全书”中沃森,G.编号。“最后一个问题:模拟Theta函数的说明。”J.伦敦数学。Soc公司。 111936a年,第55-80页。G.N.沃森。“模拟Theta函数(I)。”J.伦敦数学。Soc公司。 11, 55-80,1936b年。G.N.沃森。“模拟Theta函数(II)。”程序。伦敦数学。Soc公司。 42, 274-304, 1937.参考Wolfram | Alpha
模拟Theta函数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“模拟Theta函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MockThetaFunction.html
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