水之谜，实验数学-第二个JavaScript

现在可以问一个问题了：“这四个数字——3、5、8和4有什么特别之处？”事实上，有可能修改这些参数中的任何一个，但仍然有一个有意义的谜团吗？

例如，我解决原始谜题的方式可以用下表表示，每行有三个数字表示玻璃杯中的水量：

0	0	8
三	0	5
0	三	5
三	三	2
1	5	2
1	0	7
0	1	7
三	1	4

备注：提供了一个更短的解决方案吉姆·格兰特,比尔·格雷厄姆和一个匿名通讯员.

您可能会注意到，表中显示了0到8之间的所有数字，但6除外。还有可能得到6分吗？

B类私奔这个谜题还有另一种变体，可以通过定义四个数字的任意组合来进行实验。要定义一个新的谜题，请单击“定义”按钮。拼图定义控件将变为可编辑控件，以便您可以修改每个玻璃的容量或重新定义目标体积。再次单击“定义”以玩游戏。

以6为目标进行尝试。

你能用容量3、8、11和目标体积9来解决这个难题吗？

我们现在是在实验数学领域。玩四个数字的不同组合，你可能会想出一个似是而非的假设。您可以尝试用几个四分之一的数字来验证它。看看它是否有效。如果确实如此，请尝试严格证明。在这一页上，紧接着谜题之后，我给出了两个此类语句的示例（其中一个带有证明），我在玩了一段时间之后得出了这两个语句。

三玻璃拼图

倾倒自
倒入
拼图定义
容量
目标

这里有一个简单的例子，我用字母a、b、c、d分别表示三种容量和目标体积：

让容量a、b和c满足以下条件：

a=1
1+b>c/2

证明对于每个目标体积d，即1<d<c，谜题都有解。

它太简单了吗？检查原始谜题的概括：

假设

c是4的倍数
a=c/2-1，b=c/2+1，d=c/2

然后这个难题可以通过有限的步骤来解决。

为什么c应该是4的倍数？因为d=c/2仍然是偶数，所以a和b都是奇数，没有公共因子。

上述语句被称为纯粹存在定理。它并没有告诉你如何获得解决方案，它只是断言它的存在。（这是从实验数学到普通数学的一步，对吗？）。然而，从我对这个谜题的实验中得出的证据是建设性的也就是说，它提供了解决难题的方法。

证明：

我将分几个步骤进行。为了方便起见，我将使用三元组（x，y，z）来描述谜题的当前状态，例如x是第一个玻璃杯（容量为a的玻璃杯）中的水量，y是第二个玻璃杯中的水体积，z是第三个玻璃杯的水体积。

步骤1。

要解决这个难题，只需得到（0，1，c-1）即可。事实上，从第三个玻璃杯倒入你想到的第一个玻璃杯（a，1，c-a-1），它解决了这个难题，根据我们命题的条件，c-a-1=c-（c/2-1）-1=c/2=d。

第2步。

在用（0，1，c-1）替换了目标之后，我要做一些魔术，也就是说，我要生成两个数字，但不解释为什么我想要这两个而不想要其他。我给出的唯一理由是，在我玩了容量为3、5、8、然后是5、7、12的拼图之后，我注意到一些东西让我形成了一个非常合理的一般猜想，后来它成为了我要证明的命题。我注意到的事实正是如何在现阶段选择我需要的两个数字。

因此，设X=c/4和Y=c/4-1。那么下面是，当然，是真的

a*X-b*Y=1。

步骤3。

现在是建设性的部分。继续从第三个杯子倒入第一个，从第一个倒入第二个。当第二个杯子装满时，把它倒进第三个杯子。在这发生Y（步骤2中的数字）次之后，第一个玻璃杯将包含1盎司的水，第二个0盎司和第三个（c-1）盎司。这是上述等式的结果。现在，将第一个玻璃杯倒入第二个，然后执行步骤1。

Q.E.D.公司。

备注。

等式a*X-b*Y=1在数论中是众所周知的。它声称每对a和b都存在X和Y，没有公共因子。

备注。

3个玻璃的问题有一个自然解释在中重心坐标。伴随着Java模拟的一些不同的分析也是可获得的.

一个相关的问题。

为了吃一顿完美的早餐，一个家伙决定煮一个鸡蛋，精确到15分钟。他有两个小时的玻璃杯，一个7分钟，另一个11分钟。他应该如何着手准备早餐？他得转几次钟表？玻璃转动所需的最小圈数是多少？

解决方案

备注

最近我在M.Gardner家遇到了这个问题数学马戏团他还引用了一个类似的问题Howard P.Dinesman的高级数学难题（伦敦：Allen和Unwin，1968）。用4分钟沙漏和7分钟沙漏测量9分钟的最快方法是什么？

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