数学证明

证明对于数学来说就像拼写（甚至书法）对于诗歌一样。数学作品由证明组成，正如诗歌由文字组成一样。

弗拉基米尔·阿诺尔德

约翰·保罗斯引用伯特兰·罗素（Bertrand Russell）的以下引文：

纯数学完全由这样的断言组成，如果某某命题对任何事物都成立，那么某某另一命题对该事物也成立。。。重要的是不要讨论这个命题是否真的是真的，更不要提什么东西应该是真的。。。如果我们的假设是关于任何事情的，而不是关于某个或多个特定的事情，那么我们的推导就构成了数学。因此，数学可以被定义为我们永远不知道自己在谈论什么，也不知道自己所说的是否属实的学科。

保罗接着说

虽然无处不在的人既不知道自己在说什么，也不知道自己说的是不是真的，这可能会错误地暗示数学天才猖獗，但这句引言确实对数学的形式公理化方法进行了简明扼要的总结，尽管有些言过其实。

这两种观点都是令人愉快和发人深省的。对我来说，前者只是简单地说证明命题是数学的本质。在不同的程度上，带着不同程度的快乐或悲伤，我们大多数人都接触过数学定理及其证明。即使是那些对极其乏味的数学练习记忆犹新的人，也不会否认偶尔会被建立抽象数学真理的尝试难倒。

我不确定是否有可能将练习完全从数学教室中删除。但我希望，随着时间的推移，数学的抽象方面会得到更多的重视。演练不包含任何知识。充其量，在对同一基本运动的多种变化流汗之后，我们可能会对运动的意义有一些大致的概念。（最坏的情况是，汗水和精力都会流失，而对数学的恐惧会在我们的良心上站稳脚跟，在于数学概念的抽象性和普遍性。非专业人士可能既欣赏音乐又欣赏其他艺术，而不善于创作音乐或绘画。没有理由不让更多的人学习欣赏数学美。

根据康德，两种感觉崇高的和美丽的唤起快乐，在崇高的情况下，这种快乐往往与恐惧交织在一起。按照这个标准，大多数人会把数学归类为崇高而非美丽。另一方面，康德也说，崇高移动而美丽魅力我相信数学对普通人来说都不会产生这些影响。尝试为了充分利用这一点，我将引用康德的第三句话来寻求庇护：“崇高必须永远是伟大的，美丽也可以是渺小的。”

健康生物学，一篇优秀的高中课文J.E.迈凯轮和L.Rotundo，谈到实验科学，关于证据有以下说法：“还要注意，科学家通常避免使用这个词证明证据可以支持假设或理论，但不能证明理论是正确的。在未来，一个新的想法总是有可能为证据提供更好的解释。“因此，我们看到证明是数学理论的一种特殊属性。证明可能只存在于B.Russell所描述的形式系统中。

值得注意的是，虽然证明和演绎推理在数学中起着重要且实际上是排他性的作用，但从一个证明到另一个证明，演绎步骤并不是数学的实现方式，例如，请参阅W.Thorston的一篇引人入胜的文章论数学的证明与进步.

有了这些预备知识，我想开始收集数学证明。我将区分两大类。第一个特点是简单。证明被定义为从一个命题到另一个命题的推导。一步推导就足够了。如果需要，可以发明公理。这是我在一本书中发现的最好的证据I.斯图尔特.我认为大多数证据都应该为中学生所用。

在第二组中，将主要根据证据的魅力来选择证据。简单是美的来源，将证明选入第二组是困难的，而且在必要时是主观的。第一本藏书是我在一本书中偶然发现的约翰·康韦的作品R.洪斯伯格。许多数学家会坚持认为数学对象（即使是最抽象的）也有自己的存在，就像物理对象一样。数学家可能只会发现它们并研究它们的属性。查看证据。想想那些黄金比率康威发明了它们吗？还是它们一直在填充网格？

  • 跳棋问题

    简单的证明

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    还有一些事实，一些数学陈述似乎隐藏着一些秘密，对大多数人来说是违反直觉的或令人惊讶的。通常，他们的证明要么简单，要么微不足道，这意味着需要额外列出

    吸引人的事实

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    证明意味着说服。更严格地说，证明是从公理或先前确定的事实中推论出事实的一系列过程。遵循逻辑规则的推论被默认为足够令人信服。然而，有时由于错误或疏忽，错误会突然出现在证据中。然后，证据可以提出一个令人信服的论据，证明事实的正确性，而事实本身可能是真的或假的。如果证据对错误陈述的有效性提出了令人信服的论点，则称为谬误的或a谬误有时，错误的演绎会导致正确的陈述。这种导致正确结果的残缺扣除，我将简单地指定为虚假、错误或无效的证据每一个都应该被判断为矛盾修饰法.

    谬误

    1. 1 = 0
    2. 1 = 2
    3. 1=2通过连分数
    4. 1/2 = 1
    5. 有两个中心的圆
    6. 错误的解剖
    7. 所有整数都等于1
    8. 所有整数均为偶数
    9. x的所有幂都是常数
    10. 2的所有幂等于1
    11. 所有三角形都是等腰的
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    13. 解决了Delian问题
    14. $\pi^e$是合理的
    15. 每个平行四边形都是矩形
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    17. 高尔顿悖论
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    19. 朗曼悖论
    20. 家兔繁殖；整数不
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    22. SSA公司
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    24. 所有自然数之和
    25. 从一点到一条直线的两个垂线

    无效的证明

    由哲学理解通过推理获得的知识，从任何事物的生成方式到属性。。。因此，我们也不会给任何错误的结论起这个名字；因为用自己理解的语言进行正确推理的人永远不会得出错误的结论。

    托马斯·霍布斯
    利维坦，第46章
    《企鹅经典》，1982年
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    4. 等边四边形I
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    8. 费马最后定理
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    11. 三角形不等式是必要的吗？
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    13. 勾股定理：一些伪证
    14. SSS系统
    15. 四边形何时可以刻字？
    16. 来自Marocco的不平等，有证据吗？

    参考文献

    1. R.Honsberger，数学宝石II，MAA，1976年
    2. 一、康德，美与崇高的情感观照，大学加利福尼亚出版社，1991年
    3. J.A.Paulos，超越数字，复古图书，1992年
    4. S.Savchev，T.Andreescu，数学模型，MAA，2003年
    5. 伊恩·斯图尔特，大自然的数字，BasicBooks，1995年

    宣言

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