蒙蒂·霍尔困境

《游行》杂志上广受欢迎的“询问玛丽莲”问答专栏讨论了蒙蒂·霍尔难题。详情还可参见玛丽琳·沃斯·萨凡特（Marylin vos Savant）的《逻辑思维的力量》（Power of Logical Thinking），圣马丁出版社，1996年。

玛丽林收到了以下问题：

假设你在一个游戏节目中，有三扇门供你选择。一扇门后面是一辆汽车，其他门后面是山羊。你选了一扇门，比如说1号，主人会打开另一扇门（比如说3号，门后面有一只山羊）。他对你说：“你想选2号门吗？”换个门对你有利吗？

克雷格。F.惠特克
马里兰州哥伦比亚

玛丽莲的回应引发了大量信件，其中大部分是来自那些愿意不接受她的解决方案。随后进行了几次通信迭代。最后，她给读者中的数学老师打了一个电话，要求他们组织实验，并把图表发给她。一些可以访问计算机的读者进行了计算机模拟。几年前，我以这样一句话结束了这段话：“终于，真相被确立并接受了。”。

事实证明，真相更为复杂。根据积累的经验，可以肯定地说，这场争论的主旨不是针对玛丽林的解决方案，而是针对她对克雷格公式的解释。事实上，有两种方法可以解释克雷格·惠特克所描述的蒙蒂的行为，“……主人知道门后面是什么，就打开了另一扇门，比如说3号门，它有一只山羊。”

一种解释源于对“主人，谁知道门后是什么”这句话所传达的信息的漠视。根据这种解释，克雷格的声明没有任何地方表明主人是根据他对门后的知识采取行动的。他刚打开门，门后（显然是偶然）发现了一只山羊。提到他的知识的唯一原因可能是为了避免提及他对这一发现缺乏惊讶。在整个手术过程中，主办方仍像人们想象的那样漠不关心。

另一方面，玛丽莲选择了另一种解释。她感觉到，主人对门后物品位置的了解被明确提及是有原因的。尽管其后没有同样明确的声明，大意是，基于他的知识，主机总是打开门，露出一只山羊，这就是问题所在。有关争议及其历史的更多信息，请查看蒙蒂·霍尔问题文章位于维基百科.

根据玛丽林的解释，有两种模拟。一个是平原和另一个通过一个扭转，加快了模拟进程，也许还增加了对蒙蒂困境发生了什么的洞察力。

解决方案#1

有三分之一的几率你会撞上奖品门，有三分之二的几率你将错过奖品。如果你不换，1/3是你获得奖品的概率。然而，如果你错过了（这是2/3的概率），那么奖品就在剩下的两扇门中的一扇门后面。此外，在这两个人中，主持人将打开空的那一个，让奖品门关闭。因此，如果你错过了，然后切换，你一定会得到奖品。综上所述，如果你不改变你的获胜机会是1/3，而如果你真的改变你的胜利机会是2/3。

解决方案#2

当主人打开一扇门后，两扇门仍然紧闭着，有同等概率的奖品落在他们身后。因此，无论你是否切换，你都有50-50的机会（即概率为1/2）撞上或错过奖品之门。

备注1

上述模拟工具的优点是很有启发性——有三个量，即。，

点击次数
无切换的获胜次数
切换时的损失数量

都是平等的。最好看一次。。。

备注2

S.K.Stein在他的书中数字优势利用蒙蒂·霍尔难题来演示数学家解决问题的方法。首先运行50个实验。接下来想想结果。（在下文中，他使用35毫米的胶卷罐来模拟舞台表演中的门。）

如果在对问题进行了更多思考之后，你仍然不确定答案，并且还没有准备好解释，那么请执行以下操作。（请记住，仅仅引用实验数据并不是一种解释。这些数据可能会让你相信某些事情是真实的，但它们并不能解释它。）

再拿一个容器，用四个而不是三个做类似的实验。把一沓纸放在一个罐子里。当你的朋友选择了一个罐子后，看看剩下的三个罐子，给他看两个空罐子。然后，这位朋友面临着在另外两个毒气罐之间的选择。进行与之前相同的实验。仔细想想你得到的结果。他们有什么建议？你有办法解释发生了什么吗？

进行这些实验不仅能给你一些线索，还能让你从日常生活中常见的狂热中解脱出来，这样你就可以在一段时间内专注于一件事。

如果你仍然不知道如何解释发生了什么，那么使用十个罐子。把水放进其中一个。在你的朋友选择了一个容器后，看看其他九个。给你的朋友看九个空罐中的八个，然后把八个都拿走。同样，只剩下两个罐子。进行类似的实验。

我相信你会解决这个问题，所以我相信我不会把答案写在书中的任何地方，甚至不会把它倒置在精美的印刷品后面。一路上，你很可能会计算出切换会选择汽车的时间比例，以及不切换会选择车辆的时间比例。使用这些分数，你将能够完全解释脑筋急转弯。然后你必须承认你可以用数学思考。你只是需要这个机会。

备注3

另一种解决方案可以通过比例原则.

特里·帕斯卡提出他的变体解决方案。另请查看Ashutosh Joshi的描述方法这帮助他接受了玛丽林的解决方案。布鲁诺·巴罗斯发现了一个不同的方法.然而另一种观点由Peter Stikker介绍。

Michael Gerard Wilson给了我一个自然而然的解决方案：

你好，亚历克斯，

就在不久前，我接受了这样的观点，即每次换门都是正确的，因为这可以提高你获胜的机会，但我很难说服我的朋友们，这是正确的答案。然而，我的一个朋友刚刚提出了这个解释，我认为这个解释应该很明显。

假设你选择了你的门（当然是三扇门中的一扇门）。然后，蒙蒂说，在不展示任何一扇门后面的东西的情况下，你可以坚持你的第一选择，也可以同时拥有另外两扇门。我想大多数人都会把这两扇门合在一起。

Kenneth Kaplan发现，计算失败概率有助于得出正确的结论：

我相信其他人也有这样的见解，但我总是发现，当（1）你不改变，（2）你改变时，更容易考虑失败的可能性。

如果你不换，你会损失2/3的时间。如果你真的转换了，那么2/3的时间里奖品仍然有效，而你会在1/2的时间里做出错误的选择，所以当你转换时输掉奖品的机会只有(2/3)·(1/2) = 1/3.你已经把输球的机会减半了=通过换人获胜的机会增加了一倍。

《大学数学杂志》（The College Mathematical Journal）（1999年11月第30卷第5期，第369页）发表了一篇与埃里希·纽沃思（Erich Neuwirth）有关的类似论据。埃里奇这样说：

我想我已经找到了最短的可能解决方案。想象一下两个玩家，第一个总是呆在选定的门上，第二个总是切换。然后，在每场比赛中，他们中只有一人获胜。由于“不切换”策略的获胜概率显然是1/3，因此第二个策略的获胜几率是2/3，因此切换是正确的选择。

德夫林问题出现了新的转折：

……假设你正在玩七门游戏。你选择了三扇门。蒙蒂现在打开了剩下的三扇门，向你展示它背后没有奖品。然后他说：“你愿意坚持你选择的三扇窗吗？还是你愿意用我没有打开的另一扇门来交换它们？”你怎么办？你会坚持你的三扇门吗？或者你会做他提供的3换1交易吗？

马库斯·比佐尼（Marcus Bizony）想出了一个装置，帮助克服许多人在思考这个问题时遇到的心理障碍：

或者考虑一下这个方法：当你指定一扇门的时候，你把它分成了他的和我的。他有两辆，你有一辆，所以他可能有车（这里的“可能”意思是“可能性更大”）。现在他给你看了一只山羊——你总是知道他至少有一只，所以你什么也没学到，因此仍然认为他可能有车。现在唯一的区别是，如果他有车，你知道车在哪里。所以你认为：他可能有车，他肯定会把车放在那里。。。。。所以它可能就在那里。显然你必须改变你的选择。

多阶段蒙蒂·霍尔困境

“在三层楼的蒙蒂·霍尔困境中，决策分为两个阶段，第一阶段是选择，然后决定继续使用或切换到剩下的唯一一个在主机显示错误的门后，可以选择其他选项。基本概念的有趣扩展Monty Hall Dilemma由统计部的M.Bhaskara Rao提供在北达科他大学。他分析了当困境扩大时会发生什么超越了这两个阶段。阶段的数量可以是门的数量减去一的数量。

“假设有四扇门，其中一扇门是赢家。主持人说：

“你指向其中一扇门，然后我会打开另一扇门。然后你决定是否坚持用您原来的选择或切换到剩余的门之一。然后我将打开另一个（除了当前的选择）非赢家。然后，你将坚持上一个选择的门来做出最终决定或者通过切换到剩下的唯一一扇门。

“现在有三个阶段，可以总结出四种不同的策略如下:

阶段	1	2	三	获胜概率
	拾取	斗杆	斗杆	.250
	拾取	交换机	斗杆	.375
	拾取	斗杆	交换机	.750
	拾取	交换机	交换机	.625

“在蒙蒂·霍尔基本困境中接受2/3解决方案正确性的人可能认为在第2阶段和第3阶段都切换会取得最佳效果。然而，如图所示三阶段蒙蒂·霍尔困境的解决方案是坚持第二阶段，切换到第三阶段。这些显著的可能性由Rao在美国统计学家基本原则是在多级Monty Hall进退两难，一个人应该坚持自己最初的直觉，直到最后一次机会，然后转换。"

三壳游戏

马丁·加德纳啊哈！明白了描述了以下变体：

操作员：伙计们，站起来。看看你能不能猜出豌豆在哪个壳下面。如果你赢了，你的钱会加倍。

玩了一会儿游戏后，马克先生决定他赢不了三分之一。

操作员：不要离开，麦克。我会让你休息一下。选择任意壳。我会翻身的一个空的。那么豌豆必须在另外两颗豌豆的下面，所以你获胜的机会往上走。

可怜的马克先生破产得很快。他没有意识到空壳的转动对他的机会没有影响。你明白为什么了吗？

注释

这个问题实际上是相同的，但从不同的角度来看。自Mark先生以来他做出了选择，没有一个操作员的行动可以改变他的机会。所以，至少对我来说，壳牌游戏很明显地表明，除非你切换到蒙蒂霍尔困境（即如果你玩壳牌游戏），你的机会仍然是1比3。但是，如果切换，则选择两扇门中的一扇门。

工具书类

A.K.Dewdney，200%无，John Wiley&Sons公司，1993年
M.加德纳，啊哈！明白了。困惑与喜悦的悖论，弗里曼公司，纽约，1982年
J.de Pillis，777数学转换初学者，MAA，2002年，第143-146页
J.Havil，不可能的？，普林斯顿大学出版社，2008
M.vos Savant，逻辑思维的力量《圣马丁出版社》，纽约，1996年
S.K.Stein，数字优势，约翰·威利父子公司，1996年

蒙蒂·霍尔问题

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