几乎每个整数都有一个数字3。

这是一个听起来很吸引人的句子，需要澄清。当然，没有人会声称每个数字都有一个数字3几乎? 有无穷多个整数，其中显然有无限多个整数至少有一个数字等于3。例如，我们有一个无限序列3、33、333、3333等等。我们可以很容易地生成一个没有数字3的无限整数序列的示例：1、11、111、1111等等。

不过，这种说法并不完全是轻浮的。让我们依次考虑小于10、100、1000等的整数。对于每一组这样的整数，让我们计算其中有多少个至少有一个数字等于3。为了方便起见，让我们从0开始。

在用一个数字写的10个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，只有1有数字3，即数字3本身。在100个数字0、1、…、，9, 10, 11, ..., 98、99由1或2位数字写入，以下包括数字3:3、13、23、30、31…、。。。，38, 39, 43, 53, ..., 93.19个数字。当我们观察1000以下的数字时，很容易注意到有10组，每组100个连续整数。第一个，正如我们刚刚发现的，包含19个带数字3的整数。其他8组100个整数也是如此：那些以1、2、4、5、6、7、8或9开头的整数。所有以3开头的100个整数显然都至少有一个3。所以，在1000以下，有9·19+100个整数，其中有一个数字3。

 数字位数
不超过		  12三45678
的总数
这样的整数		  10100100010000100000100000010000000100000000
其中，
有数字3		  119271343940951468559521703156953279

数字Kn个用至少一个3写入的不超过n位的正整数满足递推关系:

(*)Kn+1=9千n个+ 10n个、n>0和K1= 1

（这是因为任何数字都以K计n个，当附加除3以外的任何数字时，将以K计算n+1。此外，还有10个n个长度的数量n+1以3结束。）

还有另一种方法可以获得数字Kn个。但首先让我们倒退一点。我不知道你是否注意到了这一点，但开头的句子“几乎每个整数都有一个数字3”有额外的歧义。整数s不包含数字，它们的常用十进制表示-数字-当然，其他人也是如此位置系统另一方面，在罗马数字，这个句子完全没有意义。）

什么是十进制数字？A类十进制数字是由字母（数字）0、1、2、3、4、5、6、7、8、9组成的任意字符串（单词）。只强加了一个条件，即字符串中的第一个字母与0不同。所以123是一个十进制数字，而0123不是。（原因是为了方便，但也为了避免不必要的歧义：0123表示与00123相同的整数。）

现在回到数字Kn个-小于10的正整数数n个其十进制数字包含数字3。一旦我们将感兴趣的字符串的长度限制为n，我们就可以（现在明确地）通过在前面加上适当数量的0来替换精确长度为n的字符串，甚至可以替换较短的数字。计算相同长度的字符串的数量比计算不同长度的字符串要方便得多。因此，我们要回答这样一个问题：“有多少长度为n的字符串包含至少一个数字3？”n个长度为n的（十进制）字符串。对于第一个数字，可以是允许的10（0，…，9）中的任何一个，对于第二个数字、第三个数字等，以及最后一个数字，n也是如此第个数字。同样，如果我们试图避免数字3，那么每个数字只有9个选择。因此，有9个n个不包含数字3的字符串。最后，长度为n且包含至少一个3的字符串的数量是差值10n个- 9n个.

你可能想检查一下Kn个= 10n个- 9n个满足重现性（*）n>0关于这个数字，值得注意的是(10n个- 9n个)/10n个= 1 - (9/10)n个随着n的增长趋于1。随着我们允许越来越长的数字，“其中包含数字3”的数字比例越来越接近1。几乎每个整数都有一个数字3.

那么，我们从这里要去哪里？关于手头的问题，有几个问题可以合理地提出。

显然，数字3的正确性也适用于其他数字。也就是说，对于所有非零数字。零是另一回事。关于0可以说什么？整数的小数展开式中有0的比例是多少？

同样清楚的是，我们可以考虑任何其他的位置系统，而不是十进制。展开式中为零的整数的分布是否取决于系统的基数？

如果我们查找一对后续数字会怎么样？例如，对于十进制扩展中包含27的整数，可以说什么？多个连续数字的问题似乎概括了原始语句，但实际上并没有。你明白为什么吗？

因此，包含给定数字的数字要比漏掉数字的数字“更多”。这两个集合索引两个系列的倒数，这两个倒数共同构成调和级数包含给定数字的整数的倒数序列是发散的，而缺少给定数字的整型倒数序列则是收敛的。

最后，将我们现在学到的与本福德定律.

工具书类

  1. G.H.Hardy和E.M.Wright，数论导论第五版，牛津科学出版社，1996年。
  2. Clifford A.Pickover，无限的关键约翰·威利父子公司，1995年

相关材料
阅读更多。。。

  • 什么是数字？
  • 无理数对无理幂可能是有理数
  • 虚角的平分线可能是实的
  • 距2平方根的距离
  • Pi是一个显著的数字

    • |联系人| |首页| |目录| |你知道吗||代数|

    版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼

    71895386