展现最佳状态的距离
每一个物体都有一个距离，在这个距离上它看起来最好。
在他精彩的书中数学家的道歉 G.H.哈代，本世纪上半叶最重要的分析家之一提出了一个论题…数学成就是最持久的。。。阿基米德当埃斯库罗斯被遗忘，因为语言会消亡，而数学思想不会消亡。"
在书的结尾，哈迪引用了C.P.Snow博士关于论文的效果这种数学名气有点太过隐晦了，不足以让人完全满意。“仅从埃斯库罗斯（当然，更多的是莎士比亚和托尔斯泰）的作品中，我们就能对他们的性格形成一个相当连贯的画面，而阿基米德和欧多克斯将只剩下名字。"
以下是本书的最后一段。
“当我们经过特拉法加广场的纳尔逊圆柱时，J.M.洛马斯先生把这一点说得更生动了。如果我在伦敦的圆柱上有一尊雕像，我会更喜欢圆柱高得让雕像看不见，还是低得让人能认出它的特征？我会选择第一个，大概是斯诺博士，第二个。”
这就是现实生活中经常发生的事情。能问对问题的人不在乎。而显然想知道的人不知道该问什么。我认为，如果要建雕像，最重要的问题是是雕像的柱子有多大，看起来最好？
虽然我不能给这个问题一个明确的答案，但我可以完全肯定地断言（当然，忽略了，其他人品尝），给定一尊雕像，与它之间确实存在一定的距离（也许没有唯一的定义）这尊雕像看起来很吸引人。这就是数学中所说的纯粹存在的证明.它这个应用程序是哈代另一篇论文的基础，除了一些次要的应用程序外，数学是完全无用的。
我的断言基于这样一个观点：任何物体的吸引力都是观察物体距离x的连续函数f（x）。我将此称为声明A。声明B声称f（x）达到其最大值。我会向你展示含义A=>B是连续函数的某种性质的结果。我们已经有了一个例子连续函数的一个简单性质如何帮助证明一个重要结果。在这里我打算用另一个。但这一点一开始就要理解。假设A=>B已经建立。推导B的一个明显方法是应用延期这意味着首先证明A，然后证明A=>B。然后B将紧随其后。
现在我们来看看为什么哈代认为数学没用。就A是关于“真实世界”的陈述而言现象，数学无法证明它。数学可以提供理由来相信这一说法（例如，距离的微小变化只会导致吸引力的微小变化），但绝对无法严格证明a。用的话来说J.E.Littlewood，“……就案件的性质而言，A无法进行演绎证明，因为它与现实世界有关……”因此，这首先是一个接受或不接受A的问题。然而，再次注意（在哈代看来）一旦A被接受为有效的数学陈述，它实际上就不再与“现实世界”现象直接相关。因此，哈迪坚持认为，接下来的事情仍然与任何真正的雕像或任何真正的柱子无关。
首先，我再作两个断言：
- 雕像被放置在无限远处，看不见，因此吸引力为0。
- 在距离0的地方，人们也能感觉到雕像，也许能闻到它的味道，但肯定看不到它。所以f（0）=0。
函数f是为所有x≥0定义的。从1开始我们可以也就是说f(
)=0. （这里没有欺骗，相信我。我只是抄近路一点，以免忘乎所以。）如果我们现在将半线x≥0弯曲成一个圆(在拓扑上这没关系）我们得到了一个定义在什么上的连续函数称为契约设置。然后应用以下定理。
定义在紧集上的连续函数在该集上获得其最大值和最小值。
备注
正如人们所料，观看放置在基座上的雕像会遇到各种各样的问题。雷吉奥蒙塔努斯（1436-1376）寻求距离底座上的雕像对着最大的角.
压实度
契约集合在数学中无处不在，具有各种不同的性质其中许多通常是等价的。因此有很多不同的定义也。这里重要的一点是集合是契约如果两者都是有界和关闭.
埃斯库罗斯（公元前525-456年）
希腊悲剧剧作家。写了90部剧本，其中只有7部幸存下来：《女主人公》，《波斯人》、《七人对抗底比斯》、《普罗米修斯被束缚》、《奥雷斯塔》三部曲（阿伽门蒙，奠基者，Eumenides公司。）
欧多克索斯（公元前400-350年）
柏拉图学院的学生。被称为数学家和天文学家先进的数论，首次系统地解释了日月运动，和行星。
工具书类
- G.H.哈代，数学家的道歉，剑桥大学出版社，1994年。
- 大英百科全书。
- 利特伍德杂项，B.Bollobas（编辑），剑桥大学出版社，1990年。
- P.J.Nahin，当最少是最好的普林斯顿大学出版社，2007年（第五次印刷）。
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