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使用Java小程序的交互式专栏
亚历克斯·博戈莫尼
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三罐问题
2000年5月
根据一个故事[卡斯纳，第159页]，西蒙·丹尼斯·泊松，19位最伟大的数学家之一第个世纪，由于偶然遇到一个简单的问题，他对数学产生了兴趣
两个朋友谁有一个八夸脱的水罐希望分享它平均。他们还有两个空罐子，一个装着五夸脱，另三个装着。他们如何精确测量4夸脱水？
在[Ball&Coxeter公司（第27页）问题出现时有这样一句话：“解决方案没有困难。”它位于另一个问题之前，有4罐容量为5、11、13和24的罐子，“只能通过试验才能解决”。问题通过叙述来呈现：
三名男子抢走了一位男士的一个花瓶，里面装着24盎司的香脂。在逃跑时，他们遇到了一位玻璃销售商，他们购买了三艘船。到达安全地点后，他们希望将战利品分开，但发现他们的船只可以分别容纳5盎司、11盎司和13盎司。他们如何将香脂等分？
截至2018年，任何浏览器都不支持Java插件(了解更多信息). 这个Wolfram演示,Jug问题，显示相同或相似主题的项目，但不同于名为“Water”的原始Java小程序。最初给出的指令可能不再精确对应。
如果没有其他问题的话，这些问题总结了一个有意义的计数练习，可以分发给低年级的孩子。
但也有一些有价值的数学涉及的问题大多被老师和学生忽视。（这是根据我收到的关于解决方案存在性的问题数量来判断的。）
按容量递增的顺序标记水壶A、B、C。让我们同意对容量本身使用相同的字母。让x，y，z表示水罐中的水量。特别地，x+y+z=C。谜题的一个典型状态——水的分布——用三元组描述（x，y，z）。对于原始问题，初始状态如下（0，0，C）具有C=8。
这是存在的陈述：
设C=A+B，其中A和B互素。那么任何数量0≤Q≤C可以用三个水壶A、B和C测量。
从（0，0，C）开始，从C倒入A，从A倒入B，得到（0、A、C-A）。这是基本的必须重复步骤，直到B变满：（r、B、C-Aq），对于某些整数r、 q>0。此时，从B倒入C，从A倒入B：（0，r，C-Aq+B）这只是（0，r，2C-A（q+1））。这是一个第二的步骤。遵循基本步骤，直到B变满，然后应用第二步，依此类推。模C、 第三个容器将依次包含数量0、-A、-2A、-3A、。。。因为A和B被假定为互素，所以A和C也是互素的。因此，所有数量0，-A，-2A，-3A-A（C-1）是不同的模C。换句话说，集合{0，-A（C型），-2A（C型只是一个置换集合的{0，1，2，…，C-1}.
这个问题和证明具有令人惊讶的几何解释[考克塞特和格雷策，第89页]。直角坐标和极坐标是平面解析几何的重要工具。球面坐标适用于球体的几何体，圆柱体上的柱坐标也适用于球体。有几种坐标系，其中三角形的顶点和边以公平的方式处理。最重要的是重心的和三线性的协调。
对于ΔABC平面中的点P，其到BC、CA和AB边（有符号）距离的三倍称为三线坐标（相对于ΔABC）距离的符号，例如，到AB的距离是正的还是负的，取决于P与顶点C位于AB的同一侧还是不同的一侧重心坐标定义为三角形APB、BPC和CPA的三重（有符号）区域。在这两个系统中，P的位置完全由任意两个数字定义；第三个数字是多余的。因此，坐标被视为同种类的.
例如，如果r是入侵的-ΔABC内切圆的半径，则其中心的三线坐标为（r，r，r）它以同质形式表现为r:r:r，或者简单地说是1:1:1。另一方面，在均匀重心坐标下，1:1:1对应于质心（也称为重心或重心)ΔABC的。对于等边三角形，两个坐标系重合。
三罐问题的三重量描述（x，y，z）与三线坐标非常吻合。画一个等边三角形ABC，让顶点有三线坐标（C，0，0）,（0，C，0）、和（0，0，C）-按照这个顺序。AB、BC和CA侧的定义如下z=0,x=0、和y=0分别为。其中一个坐标为常数整数的其他直线构成平行于ΔABC两侧的三角形网格线。例如，线条x=常数平行于BC侧。
满足3 Jugs问题内置约束的（整数）点（例如。，0≤x≤>A）填充平行四边形。只有平行四边形边界上的点才能通过有效的拼图移动获得。基本移动对应于一条倒置的“V”线，一侧平行于AC（从C倾倒到A），另一侧平行于AB（从A倾倒到B）
罐子B在平行四边形的“西方”侧的点上是满的。靠近那一侧，倒V的左腿可能无法到达平行四边形的底线。在这种情况下，必须进行二次移动：首先平行于BC线，到达平行四边形的“东侧”（倒入B到C），然后倒入底部（从a倒入B）
因为我们只对模运算，我们可能忽略了在平行四边形西侧进行次要移动的必要性，而只应用基本移动。由于A和C互为素数，所以所有行z=常数（mod C）最终将被覆盖。
条件A+B=C有双重作用。首先，再加上A和B的相对首要性，它确保了除1外，所有三种能力都没有共同的因素。如果不是这样，用三个具有指定容量的容器可以测量的数量将共享它们的共同因子。对于一般可解的问题，所有三个容量的互素性是一个必要条件。然而，这还不够。当三个罐子相当大.条件A+B=C防止这种情况发生。
这就完成了对3 Jugs问题解决方案存在性的分析。是的2还有4个Jugs问题，这对未来的泊松来说是一个诱惑。
工具书类
- W.W.Rouse Ball和H.S.M.Coxeter，数学娱乐和论文1987年，多佛
- H.S.M.Coxeter和S.L.Greitzer，重新访问的几何图形，MAA 1967年
- E.Kasner和J.Newman，数学与想象力西蒙和舒斯特，1958年
