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皮克定理

1998年5月

乔治·亚历山大·皮克（Georg Alexander Pick）1859年出生于维也纳，1943年左右死于特雷森斯塔特集中营。[9]

该定理于1899年首次发表，1969年通过流行的数学快照H.Steinhaus著。该定理给出了简单格子多边形面积的一个优雅公式，其中“简单”，像往常一样只意味着缺乏自我交流。该定理覆盖的多边形的顶点位于正方形网格的节点处，或者晶格其节点与其相邻节点的间距为1。该公式不需要中学以上的数学水平，并且可以在几何板.

皮克定理

设P是一个格子多边形。假设P的内部有I（P）格点，边界上有B（P）格点。让A（P）表示P的面积。然后

A（P）=I（P）+B（P）/2-1

（小程序使用扫描转换[13]中的算法。这本书充满了思想。只是看起来这个还没有完全解决。小程序也出现在单独的页面从哪里可以把它拿起来，供教师在自己的页面上使用。）

利用皮克定理，人们可以确定地图（多边形）部分的面积。在透明纸上绘制一个网格以缩放并将网格叠加在地图上。计算贴图区域内部和边界上的节点数。使用选定的比例应用Pick公式。

更重要的是，还有其他几个漂亮结果的链接。Pick的公式相当于著名的欧拉公式[7]. 它还意味着基本属性Farey系列的。

法利系列F_N个n阶是0到1之间的不可约分数m/n的升序，其分母不超过n。分数m/n属于F_N个敌我识别

0≤m≤N，gcd（m，N）=1，

其中gcd（m，n）是m和n的最大公约数。例如，F₅是

0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1

法利系列的特点是有两个精彩的等效特性.

G.H.哈代以自己没有做任何“有用的”事情而感到自豪，他发现值得在他和E.M.赖特的书中包括法雷级数基本性质的三种不同证明。（这是一部经典作品，索引不在书的结尾，而是以现代的方式在网络上的其他地方。由于url一直在变化，你必须很难在那里找到它。）

法雷级数中各项的分母序列为回文的.证据可能不会立即显现。但是，正如通常情况一样，拥有更大的前景证明是有用的。Farey系列嵌入Stern-Brocot树这项财产几乎是免费的。

我上面提到的皮克斯定理的面积测量应用来自于现实世界的经验。Grünbaum和Shepard引用了D.W.DeTemple的话，他出席了一场关于林业中数学应用的演讲：

虽然演讲者没有意识到他实际上是在使用皮克公式，但我很高兴地看到，我最喜欢的一个数学结果不仅很漂亮，甚至很有用。

我很好奇林务员是否也分享了这一喜悦。数学有用也就不足为奇了。即使是G.H.哈代也会被人们记住，部分原因是哈代-温伯格定律在许多遗传问题的研究中变得至关重要[6]。我被本科生课本的标题迷住了，应用抽象代数（R.Lidl和G.Pilz，Springer-Verlag，1997年，第2版）哈代会怎么说？

当然，我们的目标是传递快乐。

工具书类

1. A.H.Beiler，数字理论中的再现1966年，多佛
2. M.Bruckheimer和A.Arcavi，Farey级数与Pick面积定理《数学智能》第17卷（1995年），第4期，第64-67页。
3. J.Cofman，重温数字和形状克拉伦登出版社，1995年
4. J.Conway和R.Guy，《数字之书》，哥白尼，1996
5. H.S.M.考克塞特，几何学导论约翰·威利父子公司，纽约，1961年
6. 大英百科全书
7. W.W.Funkenbusch，利用边定理从欧拉公式到皮克公式《美国数学月刊》第81卷（1974年），第647-648页
8. R.Graham、D.Knuth、O.Patashnik、，具体数学第2版，Addison-Wesley，1994年。
9. B.Grünbaum和G.C.Shepard，皮克定理《美国数学月刊》第100卷（1993年），第150-161页
10. G.H.Hardy，数学家的道歉剑桥大学出版社，1994年。
11. G.H.Hardy和E.M.Wright，数论导论，牛津大学出版社，第五版，1996年11月1日
12. R.Honsberger，数学的灵巧性，MAA，1970年
13. T.帕夫利迪斯，图形和图像处理算法，计算机科学出版社，1982年
14. H.斯坦豪斯，数学快照1999年，多佛
15. D.E.Varberg，皮克定理再认识《美国数学月刊》第92卷（1985年），第584-587页

在互联网上

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