数字规则

从柏拉图到现在的民主向量数学

乔治·斯皮罗

直到大约20年前，文科专业学生必须参加1-2门数学课程作为毕业要求，这门课程传统上来自微积分系列：微积分前或微积分一。微积分课程令人沮丧的保留率导致了对课程设置的重新评估。数学并不缺乏更多当前和相关的主题，这些主题需要最少的准备，并提供对学科深度和美丽的洞察力。其中包括社会选择理论。投票制度、国民议会席位分配问题、政党和民众代表组成联盟的权力和能力成为文科数学的主要内容。乔治·斯皮罗（George Szpiro）最近出版的书深入探讨了投票和分配的理论。

Szpiro的书远不是一本通常包含更多主题的教科书，篇幅超过700-800页，即使不是更多，价格也在100美元左右。这本书当然可以作为文科课程的补充。教师和学生都会发现它是一个丰富的信息来源，对主要主题进行了合理详尽的报道。但报道的完整性并不是本书的强项。作者巧妙地将社会选择理论的发展和演变置于一个广阔的历史背景中。这本书在将新兴的数学理论与历史环境相结合方面表现出色。

这本书由十三章组成，其中最后一章介绍了三个民主国家——瑞士、以色列和法国——的案例研究，以及它们处理民主进程中固有困难的方式。其他十二章中的每一章都侧重于一个特定的主题以及对其发展做出重大贡献的人物。除了关于柏拉图的第一章外，我发现细节的层次令人着迷。作者是一位清晰的故事讲述者和杰出的数学讲解者。

除了第一章中的苏格拉底和柏拉图外，作者还讲述了与普林尼（Plinys）、年轻人和老年人（以公元79年维苏威火山爆发为背景）、西班牙神学家和哲学家拉蒙·卢尔（Rymond Llully）、德国红衣主教尼古拉斯·库萨努斯（Nikolaus Cusanus）的遭遇（以及教皇分裂（背景），骑士Jean-Charles de Borda，数学家、工程师和海军军官，负责确定第一个长度单位。读者一章接一章地了解了康多塞侯爵、皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯、C.L.多奇森（又称刘易斯·卡罗尔）、肯尼斯·阿罗（1972年诺贝尔经济学奖获得者）等名人的生平和发现。

作者举例说明了许多投票程序，并举例说明了哪些程序会受到投票操纵（最早被年轻的普林尼注意到并明显应用），哪些程序会出现内部矛盾，即所谓的投票悖论。投票链的高潮是引入了阿罗不可能定理，该定理断言，在合理自然的假设下，任何投票系统（独裁规则除外）都无法避免所有令人烦恼的悖论——不一致是不可避免的。阿罗定理是一种最好的抽象公理化数学，在经济学和投票学中具有重要影响。肯尼斯·阿罗因其数学作品获得1972年诺贝尔经济学奖。

阿罗定理显示了数学的威力和局限性。就像哥德尔的不完全性定理一样，它使用强大的数学工具来阐明数学中可能会出现或可能不会出现的问题。投票制度的选择与其说是数学问题，不如说是共识和政治问题。斯皮罗（G.Szpiro）引导读者对本书的第二个主题——分配理论和方法——得出了相同的结论。

在美国，由于首次尝试采用分摊方法，政治而非数学发挥了主导作用。华盛顿总统否决了众议院通过的一项法案，该法案将采用亚历山大·汉密尔顿（Alexander Hamilton）的方法，这使得众议院接受了当时的国务卿托马斯·杰斐逊（Thomas Jefferson）正在考虑的第二种方法。（据说后者支持弗吉尼亚州，弗吉尼亚州是他本人和华盛顿的家乡。）有意义的是，这是美国总统第一次投否决票，也是华盛顿在任期内投的两次否决票中的唯一一次。

随着时间的推移，关于分配方法的内讧从国会蔓延到了学术界。1910年人口普查后，国会未能在表中的两种方法中进行选择：韦伯斯特等分（主要）法和希尔等分法。随着科学家们卷入这场争论，这两种方法分别将术语改为韦伯斯特-威尔科克斯（WW）和亨廷顿-希尔（HH）。他们的支持者在“康奈尔”和“哈佛”学校之间产生了分歧。（W.F.Wilcox是康奈尔大学的社会科学和统计教授，而E.V.Huntington是哈佛大学的数学和力学教授。）

斯皮罗以多汁的细节讲述了这场经常激烈争论的故事，展现了他需要幽默的幽默一面。到1929年初，不和的政界人士和学术界同僚们显然无法达成协议。国会随后求助于美国国家科学院（NAS）帮助解决这一问题。随后，由芝加哥大学、耶鲁大学、普林斯顿大学和约翰·霍普金斯大学教授组成的NAS研究小组发表了一份报告。“他们像剃刀一样锋利，推断出有必要解决整数分配问题。”该小组一致（尽管有一条辛辣的边线）建议采用HH方法。该方法最终被采纳，但政治考虑并没有让这件事就此罢休。1948年，由路德·艾森哈特（前研究小组成员）领导的另一个NAS委员会成立。该委员会还包括另外两位普林斯顿数学家马斯顿·莫尔斯（Marston Morse）和虚幻的约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）。委员会坚持HH方法。“这并不完全令人震惊，因为新委员会不会拒绝其前身，特别是因为三分之一的成员——委员会主席艾森哈特——提供了连续性。”

本书第十二章主要介绍了米歇尔·巴林斯基（Michel L.Balinski）和H.佩顿·杨（H.Peyton Young）1982年的研究成果。巴林斯基和杨证明，唯一能避免悖论的分摊方法是所谓的除数法在这篇评论中提到的方法中，杰斐逊、WW和它的死敌HH都属于这一类。他们还调查了公平代表权的问题：“一个国家应该得到不多于或不少于其公平份额的席位。”令人沮丧的是，没有一种除数方法能够保证符合这一要求。汉密尔顿的方法确实如此，但它也导致了各种悖论。他们的第三个结果涉及到一种方法可能产生的分配倾向，这种方法始终有利于小国或大国。他们发现，“在所有使用除数的方法中，Webster-Wilcox方法是唯一一种实际上没有偏见的方法。这一结论与两个NAS委员会的建议背道而驰。

“那又怎么样？在阿罗不可能定理三十年后，我们又一次陷入困境。我们只提出了三个简单的前提条件，即一个好的分配方法：它应该是无偏见的，避免悖论，并保持在配额内。这要求太高了吗？”数学表明，这个问题的答案是，“是的，太高了。”这就是数学无法超越的极限。这件事应该在人民之间，为了人民，以协商一致的方式解决。

总之，社会选择主题为数学实践提供了一个极好的来源，也为证明数学的力量和弱点提供了一种来源。乔治·斯皮罗（George Szpiro）的书对两个广受关注的主题进行了清晰而全面的描述。它提供了一个愉快和信息丰富的阅读。请看一看。

数字法则：从柏拉图到现在的民主数学,乔治·斯皮罗，第226页，普林斯顿大学出版社，2010年。国际标准书号0691139946。标价26.95美元$17.79温度亚马逊网站.

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