数字和功能

从经典实验数学家的角度

作者：Victor H.Moll

许多数学书都是由作者在不同场合所做笔记的集合而成的。这本书也是数字和功能作者：Victor Moll。莫尔准备了笔记，将发给他在杜兰大学教授的几门课程的参与者，这些课程广泛分布在整个课程中。也许，这本书与其他笔记集不同之处在于，作者首先准备笔记的意图。据作者称，收集关于不同主题的大量笔记的部分动机是在学习有趣的数学片段时为读者提供一些乐趣共有16章，可能并不是每个读者都会感到兴奋，但阅读，甚至浏览，这本书都很有趣。这本书——如果可以用这样的术语来描述数学课文的话——是温暖舒适的，而且常常令人愉快。正如法国作家乔治·佩雷克（Georges Perec）（Oulip小组成员）所写的关于阅读的文章，你不只是随时随地阅读，即使你读过任何东西。事实上，我拿着书的时候，大部分时间都在微笑。

这本书涵盖了大学数学的广泛领域：数字系统和数字理论，特殊的数字族(斐波那契,加泰罗尼亚语,斯特林,伯努利)、组合学、微积分与分析、多项式与特殊多项式族(伯努利,切比雪夫,勒让德,埃尔米特),Landen变换、和特殊函数（\（\Gamma\）、\（\psi\）和\（\zeta\））。这本书绝不是线性的，后面的章节有很多参考，我必须说，这些章节一点也不妨碍阅读，而是将材料结合成连贯的整体。

每一章都包含了大量令人惊讶的非常规数学。正如我相信作者会说的那样，下面给出几个例子。

在第一章中，简单概述了自然数公理化，然后评估了幂和\（\displaystyle\sum_｛k｝^｛n｝｛k ^n｝\）。使用的方法包括Gosper的自动方法和数学软件编程。下一个来排列，的乘法原理、和阶乘参考N.Sloane的整数序列在线百科全书.可分性和欧几里德算法紧随其后的是关于算法长度界限的拉梅定理，用\（\mbox表示{日志}_{10} b条/\管理层收购{日志}_{10} 其中，（b）是两个数字中最小的，其最大公约数由算法给出，而（phi）是黄金比例。然后是关于模运算，演示了\（\显示样式\ sum{j=1}^{n-1}\ frac{1}{j}=\ sum}j=1}^{n-1}j\空格（mbox{mod}\space n），表示质数（n），这意味着质数（n\）除以谐波数\（H_{n-1}\）；接下来是素因子分解和（p）-adic估值；两两互素整数无限集的存在性（因此，素数无限）；有理数在几个方面的可数性，其中Calkin-Wilf二叉树和D.Callan的“一行”证明；连分式；（sqrt{2}）的非理性；实数及其有理逼近；牛顿方法。

在第二章中(阶乘和二项式系数)，作者证明了各种二项式同余伯特兰假设素数的存在性，对于（n>0）；开发生成函数，特别是中心二项式系数的生成函数；证明勒让德公式（n！）的素因式分解和斯特林公式.

我不情愿地跳到第10章，专门讨论法利分数和Stern-Brocot树票价分数已被广泛用于构建数学表格，随着计算器和计算机的进步，数学表格的艺术似乎早已失去了意义。令人惊讶的是，Mathematica的Rationalize[]命令要么没有使用Farey分数，要么有一个错误，错误地给出了\（\displaystyle\mbox{Rationalize_}[Pi，0.1]=\frac{22}{7}\），而不是\（\displaystyle_frac{16}{5}\）。本章讨论了Stern-Brocot树上分母的分布，以及在给定区间内寻找分母最小的分数的算法。

现在我想谈谈这本书标题的第二部分，从经典实验数学家的角度正如作者在前言中所写，实验数学是一种相对较新的数学方法。第9章是一个很好的例子。任务是建立沃利斯公式

\（\显示样式W_{m}=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{（x^{2}+1）^{m+1}}\），\（m\in\mathbb{无}_{0}.\)

作者首先列出了数学产生的（W{m}）的前10个值，并提请读者注意，所有（10）都是（pi）的有理因子。他接下来观察到，分母似乎是（2）的幂，其中（2）-基本估值由

\（\显示样式\{2,4,5,8,9,11,12,16,17,19\}.\)

这导致了一种猜测，即指数总是以\（2m）为界，这使得寻找数字变得合理

\（\显示样式b{m}=2^｛2米｝宽_{m} /\圆周率。\)

这些结果是（1,3,10,35126462171664352431092378），可以在oeis.org网站。搜索返回

\（\显示样式b{m}={2m-1\选择m-1}=\压裂{1}{2}{2m\选择m}，\)

表示（显示样式W{m}=frac{pi}{2^{2m+1}}{2m\选择m}），这有待证明。还有另一种使用Mathematica通过\（b_m\）的因式分解进行猜测的方法。然后遵循几个证明：一个基于递归的证明，一个具有生成函数的证明，另一个基于递推的证明，但现在应用于Wallis公式的三角形式；此外，还有一个相关的二项式和恒等式和一个自动证明部分，可以通过在H.Wilf和D.Zeilberger开发的WZ包中输入单个命令来获得。最后，有一点值得注意，沃利斯公式是某个不等式的结果，该不等式引用了它的自动推导。

第9章在很大程度上反映了作者贯穿全书的方法。需要证明的（经典部分）是得到证明（通常以多种方式），结果（或证明）的动机通常是通过软件和猜测（经典实验部分）获得的。

总的来说，这是一本非常有趣的书，书中充斥着（主要是）初等数学。它写得很好，读起来很愉快。为了方便取用，我一直把它放在桌子上；它将在那里停留一段时间。我全心全意地向数学老师、老师和学生推荐，尤其是那些对这门学科只有一点兴趣的人。这本书一定会拓展他们的视野。

数字和函数。从经典实验数学家的角度,作者：Victor H.Moll。AMS，2012年。软封面，504张，58.00美元。国际标准图书编号978-0821887950

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